登录
1. 9的平方根是 （
A.3
B.±3
C.±√3
D.±81
B
）A.3
B.±3
C.±√3
D.±81
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先明确题目考查平方根的计算，第一步回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；同时记住正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。9是正数，所以它有两个平方根，接下来找出平方后等于9的数即可：3的平方是9，-3的平方也是9，因此9的平方根是±3，再对应选项选出正确答案即可，注意不要和算术平方根（仅指正的那个平方根）混淆。
【解析】
根据平方根的定义：若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根。
∵$(±3)^2=9$
∴9的平方根是$±3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平方根概念的理解与运用，解题时要注意区分平方根和算术平方根，避免漏记正数的负平方根而选错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目考查平方根的计算，第一步回忆平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；同时记住正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。9是正数，所以它有两个平方根，接下来找出平方后等于9的数即可：3的平方是9，-3的平方也是9，因此9的平方根是±3，再对应选项选出正确答案即可，注意不要和算术平方根（仅指正的那个平方根）混淆。
【解析】
根据平方根的定义：若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根。
∵$(±3)^2=9$
∴9的平方根是$±3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平方根概念的理解与运用，解题时要注意区分平方根和算术平方根，避免漏记正数的负平方根而选错。
【难度系数】
0.8
2.在平面直角坐标系中，点$M(-2,3)$在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2.B
解析
【分析】
要判断点所在的象限，首先要明确平面直角坐标系四个象限对应的横、纵坐标的符号特征，再提取所给点的横、纵坐标符号，和特征一一对应就能得出结果。四个象限的符号规律为：第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负。
【解析】
首先明确各象限的坐标符号特点：
第一象限：$(+,+)$，第二象限：$(-,+)$，第三象限：$(-,-)$，第四象限：$(+,-)$。
点$M(-2,3)$的横坐标是$-2$，符号为负，纵坐标是$3$，符号为正，符合第二象限的坐标符号特征，因此点$M$在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查对各象限坐标符号规律的记忆，掌握对应规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断点所在的象限，首先要明确平面直角坐标系四个象限对应的横、纵坐标的符号特征，再提取所给点的横、纵坐标符号，和特征一一对应就能得出结果。四个象限的符号规律为：第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负。
【解析】
首先明确各象限的坐标符号特点：
第一象限：$(+,+)$，第二象限：$(-,+)$，第三象限：$(-,-)$，第四象限：$(+,-)$。
点$M(-2,3)$的横坐标是$-2$，符号为负，纵坐标是$3$，符号为正，符合第二象限的坐标符号特征，因此点$M$在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查对各象限坐标符号规律的记忆，掌握对应规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.若$x＞y$,则下列式子错误的是（
A.$x+\frac{1}{3}＞y+\frac{1}{3}$
B.$x-3＞y-3$
C.$\frac{x}{3}＞\frac{y}{3}$
D.$-3x＞-3y$
D
）A.$x+\frac{1}{3}＞y+\frac{1}{3}$
B.$x-3＞y-3$
C.$\frac{x}{3}＞\frac{y}{3}$
D.$-3x＞-3y$
答案
3.D
解析
【分析】
本题要求选出错误的不等式变形选项，解题核心是熟练掌握不等式的三条基本性质，结合已知条件$x＞y$，逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，即可找到错误选项。
【解析】
首先明确不等式的三条基本性质：
1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
2. 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。
逐一分析选项：
A选项：$x＞y$两边同时加$\frac{1}{3}$，根据性质1，不等号方向不变，可得$x+\frac{1}{3}＞y+\frac{1}{3}$，变形正确，不符合题意；
B选项：$x＞y$两边同时减3，根据性质1，不等号方向不变，可得$x-3＞y-3$，变形正确，不符合题意；
C选项：$x＞y$两边同时除以正数3，根据性质2，不等号方向不变，可得$\frac{x}{3}＞\frac{y}{3}$，变形正确，不符合题意；
D选项：$x＞y$两边同时乘负数-3，根据性质3，不等号方向要改变，应得到$-3x ＜ -3y$，所以原式$-3x＞-3y$变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式性质的基础考查题，易错点是在不等式两边同时乘（或除以）负数时，容易忽略改变不等号的方向，解题时要注意判断乘除的数的正负性。
【难度系数】
0.8
本题要求选出错误的不等式变形选项，解题核心是熟练掌握不等式的三条基本性质，结合已知条件$x＞y$，逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，即可找到错误选项。
【解析】
首先明确不等式的三条基本性质：
1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
2. 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
3. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。
逐一分析选项：
A选项：$x＞y$两边同时加$\frac{1}{3}$，根据性质1，不等号方向不变，可得$x+\frac{1}{3}＞y+\frac{1}{3}$，变形正确，不符合题意；
B选项：$x＞y$两边同时减3，根据性质1，不等号方向不变，可得$x-3＞y-3$，变形正确，不符合题意；
C选项：$x＞y$两边同时除以正数3，根据性质2，不等号方向不变，可得$\frac{x}{3}＞\frac{y}{3}$，变形正确，不符合题意；
D选项：$x＞y$两边同时乘负数-3，根据性质3，不等号方向要改变，应得到$-3x ＜ -3y$，所以原式$-3x＞-3y$变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式性质的基础考查题，易错点是在不等式两边同时乘（或除以）负数时，容易忽略改变不等号的方向，解题时要注意判断乘除的数的正负性。
【难度系数】
0.8
4.二元一次方程$2x+y=7$的正整数解有
（
A.2组
B.3组
C.4组
D.5组
（
B
）A.2组
B.3组
C.4组
D.5组
答案
4.B
解析
【分析】
要找二元一次方程的正整数解，首先明确正整数解要求x、y都是大于0的整数。我们可以先把方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再根据正整数的限制条件确定其中一个未知数的取值范围，逐个代入验证就能找出所有符合条件的解。
【解析】
对原方程变形可得：$ y = 7 - 2x $
因为x、y均为正整数，所以需满足：
$ x＞0 $，且$ y=7-2x＞0 $
解不等式$ 7-2x＞0 $，得$ x＜3.5 $
结合x是正整数，x可取的值为1、2、3：
当$ x=1 $时，$ y=7-2×1=5 $，符合要求；
当$ x=2 $时，$ y=7-2×2=3 $，符合要求；
当$ x=3 $时，$ y=7-2×3=1 $，符合要求；
x取大于3的正整数时，y为负数，不符合正整数要求。
因此符合条件的正整数解共有3组。
【答案】B
【知识点】
二元一次方程的解；正整数的概念；一元一次不等式的简单应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的理解，解题时通过正整数的限制条件缩小未知数的取值范围，再逐一验证即可得到结果，解题时要注意不要漏解，也不要计入不符合条件的解。
【难度系数】
0.8
要找二元一次方程的正整数解，首先明确正整数解要求x、y都是大于0的整数。我们可以先把方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再根据正整数的限制条件确定其中一个未知数的取值范围，逐个代入验证就能找出所有符合条件的解。
【解析】
对原方程变形可得：$ y = 7 - 2x $
因为x、y均为正整数，所以需满足：
$ x＞0 $，且$ y=7-2x＞0 $
解不等式$ 7-2x＞0 $，得$ x＜3.5 $
结合x是正整数，x可取的值为1、2、3：
当$ x=1 $时，$ y=7-2×1=5 $，符合要求；
当$ x=2 $时，$ y=7-2×2=3 $，符合要求；
当$ x=3 $时，$ y=7-2×3=1 $，符合要求；
x取大于3的正整数时，y为负数，不符合正整数要求。
因此符合条件的正整数解共有3组。
【答案】B
【知识点】
二元一次方程的解；正整数的概念；一元一次不等式的简单应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的理解，解题时通过正整数的限制条件缩小未知数的取值范围，再逐一验证即可得到结果，解题时要注意不要漏解，也不要计入不符合条件的解。
【难度系数】
0.8
5. 如图1，直线c与直线a，b相交，下列条件中，不能判定直线a，b平行的是（
A.∠2=∠3
B.∠1=∠4
C.∠1+∠3=180°
D.∠1+∠4=180°
D
）A.∠2=∠3
B.∠1=∠4
C.∠1+∠3=180°
D.∠1+∠4=180°
答案
5.D
解析
【分析】
要判断哪个条件不能判定直线a、b平行，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）思考。我们可以利用对顶角相等、邻补角互补的性质，把选项中给出的角的关系，转化为a、b被c所截形成的同位角、内错角或同旁内角的关系，逐一验证每个选项能否推出a//b，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若∠2=∠3，因为∠3和它的对顶角（直线b、c相交形成的与∠3相对的角）相等，可得∠2与该对顶角（a、b被c所截的同位角）相等，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，不符合题意；
B. 若∠1=∠4，由∠1+∠2=180°（邻补角互补）、∠4+和∠2对应的同位角=180°（邻补角互补），可得∠2与该同位角相等，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，不符合题意；
C. 若∠1+∠3=180°，由∠1+∠2=180°（邻补角互补），可得∠2=∠3，又因为∠3和它的对顶角（与∠2是同位角）相等，因此∠2与该同位角相等，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，不符合题意；
D. 若∠1+∠4=180°，由∠1+∠2=180°可得∠2=∠4，仅能推出∠2和∠4相等，无法得到a、b被c所截的同位角/内错角相等，也无法得到同旁内角互补，因此不能判定a//b，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，能结合对顶角、邻补角的性质对角的数量关系做合理转化，再对应判定条件验证即可。
【难度系数】
0.7
要判断哪个条件不能判定直线a、b平行，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）思考。我们可以利用对顶角相等、邻补角互补的性质，把选项中给出的角的关系，转化为a、b被c所截形成的同位角、内错角或同旁内角的关系，逐一验证每个选项能否推出a//b，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若∠2=∠3，因为∠3和它的对顶角（直线b、c相交形成的与∠3相对的角）相等，可得∠2与该对顶角（a、b被c所截的同位角）相等，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，不符合题意；
B. 若∠1=∠4，由∠1+∠2=180°（邻补角互补）、∠4+和∠2对应的同位角=180°（邻补角互补），可得∠2与该同位角相等，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，不符合题意；
C. 若∠1+∠3=180°，由∠1+∠2=180°（邻补角互补），可得∠2=∠3，又因为∠3和它的对顶角（与∠2是同位角）相等，因此∠2与该同位角相等，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，不符合题意；
D. 若∠1+∠4=180°，由∠1+∠2=180°可得∠2=∠4，仅能推出∠2和∠4相等，无法得到a、b被c所截的同位角/内错角相等，也无法得到同旁内角互补，因此不能判定a//b，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，能结合对顶角、邻补角的性质对角的数量关系做合理转化，再对应判定条件验证即可。
【难度系数】
0.7
6.解不等式$\frac{2x-3}{3}≤\frac{x-3}{5}+1$，并在数轴上表示其解集.
答案
6. $x≤3$ 数轴略
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式求解的基础题，解题思路和一元一次方程求解步骤相似，依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，最后按要求表示解集。思考时需注意：去分母时不等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的常数项；系数化为1时，若未知数系数为正，不等号方向无需改变，若为负则要改变不等号方向，本题中未知数系数为正，不用调整不等号方向；数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含用空心圈，小于某数时解集向左延伸。
【解析】
解：1. 去分母：不等式两边同时乘3和5的最小公倍数15，注意常数项1也要乘15，得：
$5(2x-3) ≤ 3(x-3) + 1×15$
2. 去括号：根据乘法分配律展开括号，得：
$10x - 15 ≤ 3x - 9 + 15$
3. 化简右侧常数项：计算$-9+15=6$，得：
$10x -15 ≤ 3x +6$
4. 移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，得：
$10x -3x ≤ 6 +15$
5. 合并同类项：分别计算左右两边，得：
$7x ≤21$
6. 系数化为1：两边同时除以7（7为正数，不等号方向不变），得：
$x ≤3$
数轴表示：在数轴上找到表示3的点，画实心圆点，从该点向左画一条射线即可表示解集。
【答案】
$x≤3$，数轴略
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题，求解步骤和一元一次方程高度相似，易错点为去分母时漏乘常数项、移项忘记变号、数轴表示时混淆实心点和空心圈的使用规则，解题时细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次不等式求解的基础题，解题思路和一元一次方程求解步骤相似，依次按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，最后按要求表示解集。思考时需注意：去分母时不等式两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，不能漏乘不含分母的常数项；系数化为1时，若未知数系数为正，不等号方向无需改变，若为负则要改变不等号方向，本题中未知数系数为正，不用调整不等号方向；数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含用空心圈，小于某数时解集向左延伸。
【解析】
解：1. 去分母：不等式两边同时乘3和5的最小公倍数15，注意常数项1也要乘15，得：
$5(2x-3) ≤ 3(x-3) + 1×15$
2. 去括号：根据乘法分配律展开括号，得：
$10x - 15 ≤ 3x - 9 + 15$
3. 化简右侧常数项：计算$-9+15=6$，得：
$10x -15 ≤ 3x +6$
4. 移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号，得：
$10x -3x ≤ 6 +15$
5. 合并同类项：分别计算左右两边，得：
$7x ≤21$
6. 系数化为1：两边同时除以7（7为正数，不等号方向不变），得：
$x ≤3$
数轴表示：在数轴上找到表示3的点，画实心圆点，从该点向左画一条射线即可表示解集。
【答案】
$x≤3$，数轴略
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题，求解步骤和一元一次方程高度相似，易错点为去分母时漏乘常数项、移项忘记变号、数轴表示时混淆实心点和空心圈的使用规则，解题时细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
7.如图2所示的平面直角坐标系中，将三角形ABC平移后得到三角形DEF.已知点B的对应点E的坐标是$(0,-3)$，点A与点D对应，点C与点F对应.
(1)求三角形ABC的面积；
(2)画出平移后的三角形DEF，并写出点D，F的坐标；
(3)若线段AC上一点P的坐标为$(m,n)$，求它的对应点$P'$的坐标.
(1)求三角形ABC的面积；
(2)画出平移后的三角形DEF，并写出点D，F的坐标；
(3)若线段AC上一点P的坐标为$(m,n)$，求它的对应点$P'$的坐标.
答案
7.(1)2.5 (2)画图略 $D(1,-1),F(-2,-2)$
(3)$P'(m-3,n-4)$
(3)$P'(m-3,n-4)$
解析
【分析】
(1) 求网格中三角形面积可采用割补法：先找到包围三角形的最小矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积，这是网格图形面积计算的常用方法。
(2) 要画出平移后的图形，首先确定平移规律：对比点B的原坐标和对应点E的坐标，得到横、纵坐标的变化规则，再将A、C两点按相同规律平移得到D、F，顺次连接三点即可得到△DEF，同时写出D、F的坐标。
(3) 平移过程中所有点的坐标变化规律和整体平移规律一致，将点P的坐标按平移规律运算，即可得到对应点P'的坐标。
【解析】
首先根据坐标系得出△ABC三个顶点坐标：$A(4,3)$，$B(3,1)$，$C(1,2)$
(1) 用割补法计算面积：
取包围△ABC的矩形，顶点为$(1,1)$、$(4,1)$、$(4,3)$、$(1,3)$，矩形面积为$3×2=6$
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$
因此$△ ABC$的面积$=6-1-1-1.5=2.5$
(2) 求平移规律：点$B(3,1)$对应点$E(0,-3)$，横坐标变化为$0-3=-3$，纵坐标变化为$-3-1=-4$，即平移规则为：横坐标减3，纵坐标减4。
点A平移后D的坐标：$(4-3,3-4)=(1,-1)$
点C平移后F的坐标：$(1-3,2-4)=(-2,-2)$
在坐标系中描出D、E、F三点，顺次连接即可得到△DEF（画图略）
(3) 平移中所有点的坐标变化规则一致，已知点$P(m,n)$，因此对应点$P'$的坐标为$(m-3,n-4)$
【答案】
(1) $2.5$
(2) 画图略，$D(1,-1)$，$F(-2,-2)$
(3) $P'(m-3,n-4)$
【知识点】
网格面积计算，平移的性质，坐标与图形平移
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，既考查了网格图形面积的计算技巧，也考查了平移的坐标变化规律，核心是掌握割补法的应用和平移前后坐标的变化规则。
【难度系数】
0.7
(1) 求网格中三角形面积可采用割补法：先找到包围三角形的最小矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积，这是网格图形面积计算的常用方法。
(2) 要画出平移后的图形，首先确定平移规律：对比点B的原坐标和对应点E的坐标，得到横、纵坐标的变化规则，再将A、C两点按相同规律平移得到D、F，顺次连接三点即可得到△DEF，同时写出D、F的坐标。
(3) 平移过程中所有点的坐标变化规律和整体平移规律一致，将点P的坐标按平移规律运算，即可得到对应点P'的坐标。
【解析】
首先根据坐标系得出△ABC三个顶点坐标：$A(4,3)$，$B(3,1)$，$C(1,2)$
(1) 用割补法计算面积：
取包围△ABC的矩形，顶点为$(1,1)$、$(4,1)$、$(4,3)$、$(1,3)$，矩形面积为$3×2=6$
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$
因此$△ ABC$的面积$=6-1-1-1.5=2.5$
(2) 求平移规律：点$B(3,1)$对应点$E(0,-3)$，横坐标变化为$0-3=-3$，纵坐标变化为$-3-1=-4$，即平移规则为：横坐标减3，纵坐标减4。
点A平移后D的坐标：$(4-3,3-4)=(1,-1)$
点C平移后F的坐标：$(1-3,2-4)=(-2,-2)$
在坐标系中描出D、E、F三点，顺次连接即可得到△DEF（画图略）
(3) 平移中所有点的坐标变化规则一致，已知点$P(m,n)$，因此对应点$P'$的坐标为$(m-3,n-4)$
【答案】
(1) $2.5$
(2) 画图略，$D(1,-1)$，$F(-2,-2)$
(3) $P'(m-3,n-4)$
【知识点】
网格面积计算，平移的性质，坐标与图形平移
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，既考查了网格图形面积的计算技巧，也考查了平移的坐标变化规律，核心是掌握割补法的应用和平移前后坐标的变化规则。
【难度系数】
0.7
