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8.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3 km,平路每小时走4 km,下坡每小时走5 km,那么从甲地到乙地需54 min,从乙地到甲地需42 min.设从甲地到乙地上坡与平路的路程分别为x km,y km,依题意,所列方程组正确的是（
A.$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{54}{60}, \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{42}{60} \end{cases}$
B.$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{54}{60}, \\ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = \dfrac{42}{60} \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 54, \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = 42 \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 54, \\ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = 42 \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{54}{60}, \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{42}{60} \end{cases}$
B.$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{54}{60}, \\ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = \dfrac{42}{60} \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 54, \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = 42 \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 54, \\ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = 42 \end{cases}$
答案
8.A
解析
【分析】
本题是行程类二元一次方程组应用题，解题思路如下：①先回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；②注意单位统一：题目中速度单位是km/h，给出的时间单位是分钟，需要先将分钟换算为小时，因此可直接排除时间未换算的C、D选项；③分析往返的路程与速度变化：从甲地到乙地，上坡路程为x km、速度3km/h，平路路程y km、速度4km/h，两段时间相加等于总时间54分钟（即$\frac{54}{60}$小时）；从乙地返回甲地时，原上坡路段变为下坡路段，路程仍为x km、速度变为5km/h，平路路程和速度不变，两段时间相加等于总时间42分钟（即$\frac{42}{60}$小时），据此即可选出正确方程组。
【解析】
首先统一单位：$54\mathrm{min}=\frac{54}{60}\mathrm{h}$，$42\mathrm{min}=\frac{42}{60}\mathrm{h}$。
根据“时间=路程÷速度”列方程：
1. 从甲地到乙地：上坡时间为$\frac{x}{3}$h，平路时间为$\frac{y}{4}$h，总时间为$\frac{54}{60}$h，可得方程：$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{54}{60}$；
2. 从乙地到甲地：原上坡路段变为下坡，下坡时间为$\frac{x}{5}$h，平路时间仍为$\frac{y}{4}$h，总时间为$\frac{42}{60}$h，可得方程：$\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{42}{60}$。
因此所列方程组为$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{54}{60}, \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{42}{60} \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用，行程问题等量关系，时间单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是明确往返过程中上下坡的速度变化，同时注意时间单位的统一，避免因忽略单位换算错选选项。
【难度系数】
0.8
本题是行程类二元一次方程组应用题，解题思路如下：①先回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；②注意单位统一：题目中速度单位是km/h，给出的时间单位是分钟，需要先将分钟换算为小时，因此可直接排除时间未换算的C、D选项；③分析往返的路程与速度变化：从甲地到乙地，上坡路程为x km、速度3km/h，平路路程y km、速度4km/h，两段时间相加等于总时间54分钟（即$\frac{54}{60}$小时）；从乙地返回甲地时，原上坡路段变为下坡路段，路程仍为x km、速度变为5km/h，平路路程和速度不变，两段时间相加等于总时间42分钟（即$\frac{42}{60}$小时），据此即可选出正确方程组。
【解析】
首先统一单位：$54\mathrm{min}=\frac{54}{60}\mathrm{h}$，$42\mathrm{min}=\frac{42}{60}\mathrm{h}$。
根据“时间=路程÷速度”列方程：
1. 从甲地到乙地：上坡时间为$\frac{x}{3}$h，平路时间为$\frac{y}{4}$h，总时间为$\frac{54}{60}$h，可得方程：$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{54}{60}$；
2. 从乙地到甲地：原上坡路段变为下坡，下坡时间为$\frac{x}{5}$h，平路时间仍为$\frac{y}{4}$h，总时间为$\frac{42}{60}$h，可得方程：$\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{42}{60}$。
因此所列方程组为$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{54}{60}, \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{42}{60} \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用，行程问题等量关系，时间单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是明确往返过程中上下坡的速度变化，同时注意时间单位的统一，避免因忽略单位换算错选选项。
【难度系数】
0.8
9.某企业新增了一个项目,为了节约资源,保护环境,该企业决定购买A,B两种型号的污水处理设备共8台,具体情况如下表:
经预算,企业最多支出89万元购买设备,且要求月处理污水不低于1 380吨.设购买A种型号的污水处理设备x台,可列不等式组为.
经预算,企业最多支出89万元购买设备,且要求月处理污水不低于1 380吨.设购买A种型号的污水处理设备x台,可列不等式组为.
答案
9.$\begin{cases}12x+10(8-x)≤89,\\200x+160(8-x)≥1\ 380\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先明确数量关系：购买A、B两种设备共8台，设A种x台，则B种为(8-x)台。接下来找题目中的两个不等限制条件：①总支出最多89万元，即两种设备的总花费小于等于89万元；②月处理污水量不低于1380吨，即两种设备的月总处理量大于等于1380吨。分别根据两个不等关系列不等式，组合即可得到所求不等式组。
【解析】
解：已知购买A种型号污水处理设备x台，两种设备共8台，因此购买B种型号设备(8-x)台。
1. 根据“最多支出89万元”列不等式：
A设备总费用为12x万元，B设备总费用为10(8-x)万元，总费用不超过89万元，可得：
$12x + 10(8-x) ≤ 89$
2. 根据“月处理污水不低于1380吨”列不等式：
A设备月处理总量为200x吨，B设备月处理总量为160(8-x)吨，总处理量不少于1380吨，可得：
$200x + 160(8-x) ≥ 1380$
将两个不等式联立，即可得到所求不等式组。
【答案】
$\begin{cases}12x+10(8-x)≤89,\\200x+160(8-x)≥1\ 380\end{cases}$
【知识点】
一元一次不等式组的实际应用、用不等式表示不等关系
【点评】
本题考查不等式组在实际问题中的应用，解题的核心是抓住题干中“最多”“不低于”这类表示不等关系的关键词，结合已知的单价、处理能力等条件分别列不等式，注意两类限制条件需同时满足，因此需联立为不等式组。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数量关系：购买A、B两种设备共8台，设A种x台，则B种为(8-x)台。接下来找题目中的两个不等限制条件：①总支出最多89万元，即两种设备的总花费小于等于89万元；②月处理污水量不低于1380吨，即两种设备的月总处理量大于等于1380吨。分别根据两个不等关系列不等式，组合即可得到所求不等式组。
【解析】
解：已知购买A种型号污水处理设备x台，两种设备共8台，因此购买B种型号设备(8-x)台。
1. 根据“最多支出89万元”列不等式：
A设备总费用为12x万元，B设备总费用为10(8-x)万元，总费用不超过89万元，可得：
$12x + 10(8-x) ≤ 89$
2. 根据“月处理污水不低于1380吨”列不等式：
A设备月处理总量为200x吨，B设备月处理总量为160(8-x)吨，总处理量不少于1380吨，可得：
$200x + 160(8-x) ≥ 1380$
将两个不等式联立，即可得到所求不等式组。
【答案】
$\begin{cases}12x+10(8-x)≤89,\\200x+160(8-x)≥1\ 380\end{cases}$
【知识点】
一元一次不等式组的实际应用、用不等式表示不等关系
【点评】
本题考查不等式组在实际问题中的应用，解题的核心是抓住题干中“最多”“不低于”这类表示不等关系的关键词，结合已知的单价、处理能力等条件分别列不等式，注意两类限制条件需同时满足，因此需联立为不等式组。
【难度系数】
0.8
10.某市轻轨一号线开通后学生上学大为便捷.某学校为了了解学生上学所用的交通工具的情况,在全校学生中进行随机抽样调查,并根据收集的数据绘制了如图3所示的两幅统计图(信息尚不完整),请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1)此次共调查了
(2)将条形图补充完整,并计算扇形图中公交车对应的扇形的圆心角的度数;
(3)若全校共有1 000名学生,估计该校乘坐轻轨上学的学生人数.
(1)此次共调查了
200
名学生;(2)将条形图补充完整,并计算扇形图中公交车对应的扇形的圆心角的度数;
(3)若全校共有1 000名学生,估计该校乘坐轻轨上学的学生人数.
答案
10.(1)200 (2)图略 $36°$ (3)450人
解析
【分析】
解题的核心是先结合两幅统计图的公共信息求出调查总人数：已知乘坐轻轨的人数为90人，且对应扇形占比为45%，用对应人数除以对应占比即可得到总人数，这是后续计算的基础；再用总人数减去已知三组的人数得到“其他”组的人数，即可补全条形图，用公交车人数占总人数的比例乘360°就能算出其对应扇形的圆心角；最后用样本中乘坐轻轨的占比乘全校总人数，即可估计全校乘坐轻轨上学的人数。
【解析】
(1) 由条形统计图得乘坐轻轨的人数为90人，由扇形统计图得乘坐轻轨的人数占调查总人数的45%，因此调查总人数为：
$90÷45\% = 200$（名）
(2) 先计算“其他”组的人数：
$200 - 90 - 20 - 30 = 60$（名），据此将条形图中“其他”对应的条形高度画到60的位置即可（补图略）。
公交车对应扇形的圆心角度数：
$\frac{20}{200}×360° = 36°$
(3) 用样本中乘坐轻轨的占比估计全校情况：
$1000×45\% = 450$（人）
【答案】
(1)200
(2)补图略，公交车对应的扇形圆心角为$36°$
(3)450人
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，样本估计总体
【点评】
本题属于统计部分的常规题型，考察两类统计图表的结合应用，解题时要准确找到两类图表中相互对应的信息，计算圆心角和估计总体时要注意占比的正确使用。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先结合两幅统计图的公共信息求出调查总人数：已知乘坐轻轨的人数为90人，且对应扇形占比为45%，用对应人数除以对应占比即可得到总人数，这是后续计算的基础；再用总人数减去已知三组的人数得到“其他”组的人数，即可补全条形图，用公交车人数占总人数的比例乘360°就能算出其对应扇形的圆心角；最后用样本中乘坐轻轨的占比乘全校总人数，即可估计全校乘坐轻轨上学的人数。
【解析】
(1) 由条形统计图得乘坐轻轨的人数为90人，由扇形统计图得乘坐轻轨的人数占调查总人数的45%，因此调查总人数为：
$90÷45\% = 200$（名）
(2) 先计算“其他”组的人数：
$200 - 90 - 20 - 30 = 60$（名），据此将条形图中“其他”对应的条形高度画到60的位置即可（补图略）。
公交车对应扇形的圆心角度数：
$\frac{20}{200}×360° = 36°$
(3) 用样本中乘坐轻轨的占比估计全校情况：
$1000×45\% = 450$（人）
【答案】
(1)200
(2)补图略，公交车对应的扇形圆心角为$36°$
(3)450人
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，样本估计总体
【点评】
本题属于统计部分的常规题型，考察两类统计图表的结合应用，解题时要准确找到两类图表中相互对应的信息，计算圆心角和估计总体时要注意占比的正确使用。
【难度系数】
0.8
11.糖葫芦一般是用竹签穿上山楂，再蘸糖稀，静置冷却后制作而成的.现将一些山楂分别穿在若干根竹签上，如果每根竹签穿5个山楂，那么剩2个山楂；如果每根竹签穿7个山楂，那么刚好剩4根竹签.这些竹签有多少根？山楂有多少个？
答案
11.竹签有15根,山楂有77个.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程应用的实际问题，解题时首先要找准题目中的不变量：竹签总数量和山楂总数量是固定不变的。我们可以先设竹签的数量为未知数x，再分别用含x的式子表示两种穿法对应的山楂总数量，根据山楂总数量相等建立方程求解即可。需要注意第二种穿法“剩4根竹签”，说明实际用来穿山楂的竹签数是总竹签数减4，不要误将总竹签数直接代入计算。
【解析】
解：设这些竹签有$ x $根。
根据山楂总数量不变，可列方程：
$ 5x + 2 = 7(x - 4) $
展开右侧得：$ 5x + 2 = 7x - 28 $
移项得：$ 7x - 5x = 2 + 28 $
合并同类项得：$ 2x = 30 $
系数化为1得：$ x = 15 $
则山楂的数量为：$ 5×15 + 2 = 77 $（个）
验证：用第二种穿法计算，$ 7×(15-4)=7×11=77 $，结果一致。
【答案】
竹签有15根，山楂有77个。
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系建立
【点评】
本题属于典型的盈亏类实际应用题，解题核心是抓住题目中的不变量建立等量关系，审题时要注意区分“剩余山楂”和“剩余竹签”的不同含义，避免因错读题意列错方程。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程应用的实际问题，解题时首先要找准题目中的不变量：竹签总数量和山楂总数量是固定不变的。我们可以先设竹签的数量为未知数x，再分别用含x的式子表示两种穿法对应的山楂总数量，根据山楂总数量相等建立方程求解即可。需要注意第二种穿法“剩4根竹签”，说明实际用来穿山楂的竹签数是总竹签数减4，不要误将总竹签数直接代入计算。
【解析】
解：设这些竹签有$ x $根。
根据山楂总数量不变，可列方程：
$ 5x + 2 = 7(x - 4) $
展开右侧得：$ 5x + 2 = 7x - 28 $
移项得：$ 7x - 5x = 2 + 28 $
合并同类项得：$ 2x = 30 $
系数化为1得：$ x = 15 $
则山楂的数量为：$ 5×15 + 2 = 77 $（个）
验证：用第二种穿法计算，$ 7×(15-4)=7×11=77 $，结果一致。
【答案】
竹签有15根，山楂有77个。
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系建立
【点评】
本题属于典型的盈亏类实际应用题，解题核心是抓住题目中的不变量建立等量关系，审题时要注意区分“剩余山楂”和“剩余竹签”的不同含义，避免因错读题意列错方程。
【难度系数】
0.7
