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1. 如图1,以AB为边的三角形共有 （
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
D
）A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：找出所有以AB为边的三角形。首先回忆三角形的构成特征：三角形有3个顶点、3条边，固定AB为其中一条边后，只需找到所有能与A、B共同构成三角形的第三个顶点即可，计数时要按照一定顺序排查，避免漏数或重复计数。
【解析】
根据三角形的定义，以AB为边的三角形必须同时包含顶点A和顶点B，按顺序枚举所有符合条件的三角形，最终可数出共3个满足要求的三角形，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形的定义 2.三角形的边的识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是明确计数标准，有序排查即可，注意不要出现漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求：找出所有以AB为边的三角形。首先回忆三角形的构成特征：三角形有3个顶点、3条边，固定AB为其中一条边后，只需找到所有能与A、B共同构成三角形的第三个顶点即可，计数时要按照一定顺序排查，避免漏数或重复计数。
【解析】
根据三角形的定义，以AB为边的三角形必须同时包含顶点A和顶点B，按顺序枚举所有符合条件的三角形，最终可数出共3个满足要求的三角形，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形的定义 2.三角形的边的识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是明确计数标准，有序排查即可，注意不要出现漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.8
2.如图2，AE是$△ ABC$的中线，D是BE上一点，若$BD=5$，$CD=9$，则$CE$的长为
（
A.5
B.6
C.7
D.8
（
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件切入，看到AE是△ABC的中线，先回忆三角形中线的定义：三角形的中线连接顶点和对边中点，因此E是BC的中点，可得$CE=\frac{1}{2}BC$。接下来需要先求出BC的总长度，观察点D的位置，D在BE上，说明B、D、E、C四点共线，因此BC的长度等于BD与CD的长度之和，算出BC长度后除以2即可得到CE的长。
【解析】
∵ 点D在BE上，B、E、C在同一直线上
∴ $BC = BD + CD$
已知$BD=5$，$CD=9$，代入得：
$BC = 5 + 9 = 14$
又
∵ AE是$△ ABC$的中线
∴ E是BC的中点，即$CE = \frac{1}{2}BC$
∴ $CE = \frac{1}{2} × 14 = 7$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的定义；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握三角形中线的性质，结合线段的和差关系即可快速求出结果，注意明确各线段的位置关系，避免混淆线段的和差。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件切入，看到AE是△ABC的中线，先回忆三角形中线的定义：三角形的中线连接顶点和对边中点，因此E是BC的中点，可得$CE=\frac{1}{2}BC$。接下来需要先求出BC的总长度，观察点D的位置，D在BE上，说明B、D、E、C四点共线，因此BC的长度等于BD与CD的长度之和，算出BC长度后除以2即可得到CE的长。
【解析】
∵ 点D在BE上，B、E、C在同一直线上
∴ $BC = BD + CD$
已知$BD=5$，$CD=9$，代入得：
$BC = 5 + 9 = 14$
又
∵ AE是$△ ABC$的中线
∴ E是BC的中点，即$CE = \frac{1}{2}BC$
∴ $CE = \frac{1}{2} × 14 = 7$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的定义；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握三角形中线的性质，结合线段的和差关系即可快速求出结果，注意明确各线段的位置关系，避免混淆线段的和差。
【难度系数】
0.8
3. 如图 3，$△ ABC$ 的边 AC 上的高是（
A.线段 HA
B.线段 BH
C.线段 BC
D.线段 BA
B
）A.线段 HA
B.线段 BH
C.线段 BC
D.线段 BA
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三角形高的定义，解题思路如下：第一步明确我们要找的是AC边上的高，根据高的定义，需要先找到AC边所对的顶点，再找从这个顶点出发、垂直于AC边的垂线段即可。首先AC边的对顶点是点B，再观察各选项中的线段，判断哪条是从B向AC作的垂线段，就能得到正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
本题中要找△ABC边AC上的高，首先确定AC边对应的顶点是点B，观察图形可知，过点B作AC所在直线的垂线，垂足为H，因此线段BH就是AC边上的高。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对三角形高的概念的理解，解题的关键是准确匹配对应边和相对的顶点，明确高是顶点到对边的垂线段，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆三角形高的定义，解题思路如下：第一步明确我们要找的是AC边上的高，根据高的定义，需要先找到AC边所对的顶点，再找从这个顶点出发、垂直于AC边的垂线段即可。首先AC边的对顶点是点B，再观察各选项中的线段，判断哪条是从B向AC作的垂线段，就能得到正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
本题中要找△ABC边AC上的高，首先确定AC边对应的顶点是点B，观察图形可知，过点B作AC所在直线的垂线，垂足为H，因此线段BH就是AC边上的高。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对三角形高的概念的理解，解题的关键是准确匹配对应边和相对的顶点，明确高是顶点到对边的垂线段，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.如图4,一扇窗户打开后,用窗钩BC可将其固定,其中的数学原理是 （
A.三角形具有稳定性
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
D.三角形的两边之和大于第三边
A
）A.三角形具有稳定性
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
D.三角形的两边之和大于第三边
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察题中的结构，窗钩固定后，窗户、窗框与窗钩会共同构成三角形结构。接下来回忆各选项对应的数学原理：三角形稳定性是三角形特有的不易变形的性质，常用于固定结构；两点确定一条直线多用于确定直线位置；两点之间线段最短多用于路径选择问题；三角形两边之和大于第三边用于判断线段能否构成三角形。结合“固定窗户”的需求，对应到三角形稳定不易变形的特性即可选出正确答案。
【解析】
当窗钩BC固定后，点B、点C与窗户和窗框的连接点共同构成三角形结构。三角形具有稳定性，即三边长度确定时，三角形的形状和大小就完全固定，不会轻易变形，因此可以将窗户固定在当前位置。
对其他选项逐一排除：
B选项“两点确定一条直线”适用于确定直线位置的场景（如用两枚钉子固定木条），与固定窗户的原理无关；
C选项“两点之间线段最短”是路径选择的原理，和结构固定无关；
D选项“三角形的两边之和大于第三边”用于判断三条线段能否组成三角形，不符合本题场景。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是数学原理在实际生活中的应用类题目，结合常见的生活场景考察对基础几何性质的理解，需要同学们学会关联生活现象与数学知识，属于基础常考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题中的结构，窗钩固定后，窗户、窗框与窗钩会共同构成三角形结构。接下来回忆各选项对应的数学原理：三角形稳定性是三角形特有的不易变形的性质，常用于固定结构；两点确定一条直线多用于确定直线位置；两点之间线段最短多用于路径选择问题；三角形两边之和大于第三边用于判断线段能否构成三角形。结合“固定窗户”的需求，对应到三角形稳定不易变形的特性即可选出正确答案。
【解析】
当窗钩BC固定后，点B、点C与窗户和窗框的连接点共同构成三角形结构。三角形具有稳定性，即三边长度确定时，三角形的形状和大小就完全固定，不会轻易变形，因此可以将窗户固定在当前位置。
对其他选项逐一排除：
B选项“两点确定一条直线”适用于确定直线位置的场景（如用两枚钉子固定木条），与固定窗户的原理无关；
C选项“两点之间线段最短”是路径选择的原理，和结构固定无关；
D选项“三角形的两边之和大于第三边”用于判断三条线段能否组成三角形，不符合本题场景。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是数学原理在实际生活中的应用类题目，结合常见的生活场景考察对基础几何性质的理解，需要同学们学会关联生活现象与数学知识，属于基础常考题。
【难度系数】
0.9
5.若长度为x,2,3的三条线段能首尾相连组成一个三角形,则x的值可能为（
A.6
B.5
C.1
D.3
D
）A.6
B.5
C.1
D.3
答案
D
解析
【分析】
要确定x的可能取值，需先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再对比选项判断即可。三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对于已知的两条边长2和3，可直接用“两边之差＜第三边＜两边之和”快速求出第三边x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
$3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2$
计算得$1 ＜ x ＜ 5$
对选项逐一判断：
A选项，6＞5，不符合取值范围，排除；
B选项，5=5，此时2+3=5，三条线段无法围成三角形，排除；
C选项，1=1，此时1+2=3，三条线段无法围成三角形，排除；
D选项，3满足$1＜3＜5$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，解题的关键是准确计算第三边的取值范围，注意边界值无法构成三角形，避免误选。
【难度系数】
0.9
要确定x的可能取值，需先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再对比选项判断即可。三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对于已知的两条边长2和3，可直接用“两边之差＜第三边＜两边之和”快速求出第三边x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
$3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2$
计算得$1 ＜ x ＜ 5$
对选项逐一判断：
A选项，6＞5，不符合取值范围，排除；
B选项，5=5，此时2+3=5，三条线段无法围成三角形，排除；
C选项，1=1，此时1+2=3，三条线段无法围成三角形，排除；
D选项，3满足$1＜3＜5$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用类题目，解题的关键是准确计算第三边的取值范围，注意边界值无法构成三角形，避免误选。
【难度系数】
0.9
6.如图5,△ABC的角平分线AD,中线BE交于点O,有以下结论:①AO是△ABE的角平分线;②BO是△ABD的中线.对于这两个结论,下列判断正确的是 (
A.①②都对
B.①②都不对
C.①对,②不对
D.①不对,②对
C
)A.①②都对
B.①②都不对
C.①对,②不对
D.①不对,②对
答案
C
解析
【分析】
解题时先明确三角形角平分线、中线的定义，再结合题目的已知条件逐个判断两个结论是否正确：首先根据AD是△ABC的角平分线，可推出AD平分∠BAC，进而判断AO是否为△ABE的角平分线；再根据BE是△ABC的中线仅能得到E是AC中点，无法得到O是AD中点，以此判断BO是否为△ABD的中线。
【解析】
1. 判断结论①：
已知AD是△ABC的角平分线，根据角平分线定义，可得∠BAD=∠CAD，即∠BAO=∠EAO，说明AO平分△ABE的内角∠BAE，因此AO是△ABE的角平分线，结论①正确。
2. 判断结论②：
已知BE是△ABC的中线，根据中线定义，仅能得到E是AC的中点，没有条件证明O是AD的中点，因此BO不是连接△ABD顶点B和对边AD中点的线段，不符合三角形中线的定义，结论②错误。
综上，①对，②不对，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形角平分线定义，三角形中线定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查对三角形两类重要线段（角平分线、中线）定义的掌握，解题时要紧扣定义判断，避免主观臆断交点的位置性质。
【难度系数】
0.7
解题时先明确三角形角平分线、中线的定义，再结合题目的已知条件逐个判断两个结论是否正确：首先根据AD是△ABC的角平分线，可推出AD平分∠BAC，进而判断AO是否为△ABE的角平分线；再根据BE是△ABC的中线仅能得到E是AC中点，无法得到O是AD中点，以此判断BO是否为△ABD的中线。
【解析】
1. 判断结论①：
已知AD是△ABC的角平分线，根据角平分线定义，可得∠BAD=∠CAD，即∠BAO=∠EAO，说明AO平分△ABE的内角∠BAE，因此AO是△ABE的角平分线，结论①正确。
2. 判断结论②：
已知BE是△ABC的中线，根据中线定义，仅能得到E是AC的中点，没有条件证明O是AD的中点，因此BO不是连接△ABD顶点B和对边AD中点的线段，不符合三角形中线的定义，结论②错误。
综上，①对，②不对，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形角平分线定义，三角形中线定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查对三角形两类重要线段（角平分线、中线）定义的掌握，解题时要紧扣定义判断，避免主观臆断交点的位置性质。
【难度系数】
0.7
7.下列有关三角形的中线、角平分线、高的说法中,正确的是 （
A.平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线
B.三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C.钝角三角形的三条高都在三角形外
D.三角形的三条中线总在三角形内
D
）A.平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线
B.三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C.钝角三角形的三条高都在三角形外
D.三角形的三条中线总在三角形内
答案
D
解析
【分析】
本题考查三角形的角平分线、中线、高的相关概念，解题时需先明确三类线段的定义、属性（都是线段而非射线或直线）以及不同类型三角形中三类线段的位置特点，再逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的角平分线是平分三角形内角的线段，它的一个端点在三角形的顶点，另一个端点在该顶点的对边上，并非射线，因此A错误。
B选项：三角形的中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，不是直线，因此B错误。
C选项：钝角三角形中，只有钝角所对边上的高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，并非三条高都在三角形外，因此C错误。
D选项：无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，三条中线都是连接顶点和对边中点的线段，全部在三角形内部，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心是准确区分三角形三类重要线段的定义，注意区分线段、射线、直线的差异，同时牢记不同类型三角形高的位置特点，避免概念混淆即可正确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形的角平分线、中线、高的相关概念，解题时需先明确三类线段的定义、属性（都是线段而非射线或直线）以及不同类型三角形中三类线段的位置特点，再逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的角平分线是平分三角形内角的线段，它的一个端点在三角形的顶点，另一个端点在该顶点的对边上，并非射线，因此A错误。
B选项：三角形的中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，不是直线，因此B错误。
C选项：钝角三角形中，只有钝角所对边上的高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，并非三条高都在三角形外，因此C错误。
D选项：无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，三条中线都是连接顶点和对边中点的线段，全部在三角形内部，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心是准确区分三角形三类重要线段的定义，注意区分线段、射线、直线的差异，同时牢记不同类型三角形高的位置特点，避免概念混淆即可正确作答。
【难度系数】
0.8
8. 王师傅想做一个三角形框架，现有两根长度分别为8 cm和10 cm的细木条，需要将其中一根截成两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以选择截成两段的木条是（
A.8 cm长的
B.10 cm长的
C.两根都可以
D.无法确定
B
）A.8 cm长的
B.10 cm长的
C.两根都可以
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
解题核心是运用三角形三边关系判断，我们可以分两种情况讨论：分别假设截8cm的木条、截10cm的木条，判断截后得到的三根木条是否满足三角形三边要求即可。首先回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，我们只需要判断较小两边的和是否大于最长边就能快速验证。
【解析】
三角形的三边需满足：任意两边之和大于第三边。我们分两种情况分析：
1. 若截8cm长的木条：截成的两段长度之和为8cm，此时三根木条的长度分别为两段小于8cm的木条、10cm的整根木条，较小两边之和为8cm，小于最长边10cm，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
2. 若截10cm长的木条：截成的两段长度之和为10cm，此时三根木条的长度分别为两段小于10cm的木条、8cm的整根木条，只要截成的两段长度都大于1cm，就能满足较小两边之和大于第三边，例如截成3cm和7cm，3+7＞8，3+8＞7，7+8＞3，符合三边关系，可以构成三角形。
因此只能选择截10cm长的木条。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
这道题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题时要注意分类讨论不同的截取情况，抓住“截得的两段之和等于被截木条长度”这个关键点，结合三边关系快速判断即可。
【难度系数】
0.7
解题核心是运用三角形三边关系判断，我们可以分两种情况讨论：分别假设截8cm的木条、截10cm的木条，判断截后得到的三根木条是否满足三角形三边要求即可。首先回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，我们只需要判断较小两边的和是否大于最长边就能快速验证。
【解析】
三角形的三边需满足：任意两边之和大于第三边。我们分两种情况分析：
1. 若截8cm长的木条：截成的两段长度之和为8cm，此时三根木条的长度分别为两段小于8cm的木条、10cm的整根木条，较小两边之和为8cm，小于最长边10cm，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
2. 若截10cm长的木条：截成的两段长度之和为10cm，此时三根木条的长度分别为两段小于10cm的木条、8cm的整根木条，只要截成的两段长度都大于1cm，就能满足较小两边之和大于第三边，例如截成3cm和7cm，3+7＞8，3+8＞7，7+8＞3，符合三边关系，可以构成三角形。
因此只能选择截10cm长的木条。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
这道题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题时要注意分类讨论不同的截取情况，抓住“截得的两段之和等于被截木条长度”这个关键点，结合三边关系快速判断即可。
【难度系数】
0.7
二、填空题
9.一个三角形的两边长分别是2和4，若它的第三边长为偶数，则这个三角形的第三边长为
9.一个三角形的两边长分别是2和4，若它的第三边长为偶数，则这个三角形的第三边长为
4
。答案
4
解析
【分析】
解题时首先要用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边长为x，先根据三边关系求出x的取值范围，再结合“第三边长为偶数”的限制条件，从取值范围内筛选出符合要求的数值即可。
【解析】
设这个三角形的第三边长为x，根据三角形三边关系可得：
$4 - 2 ＜ x ＜ 4 + 2$
即$2 ＜ x ＜ 6$
已知第三边长为偶数，在$2＜x＜6$的范围内的偶数只有4，因此第三边长为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系；偶数的识别
【点评】
本题是基础类题目，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先准确求出第三边的取值范围，再结合给定的限制条件筛选结果，掌握三边关系定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边长为x，先根据三边关系求出x的取值范围，再结合“第三边长为偶数”的限制条件，从取值范围内筛选出符合要求的数值即可。
【解析】
设这个三角形的第三边长为x，根据三角形三边关系可得：
$4 - 2 ＜ x ＜ 4 + 2$
即$2 ＜ x ＜ 6$
已知第三边长为偶数，在$2＜x＜6$的范围内的偶数只有4，因此第三边长为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系；偶数的识别
【点评】
本题是基础类题目，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先准确求出第三边的取值范围，再结合给定的限制条件筛选结果，掌握三边关系定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
