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3.已知一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边长x的取值范围是
1＜x＜7
；若x是奇数，则x的值是3或5
；若x是偶数，则x的值是2或4或6
。答案
3.1＜x＜7 3或5 2或4或6
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第一步先利用该定理，代入已知的两边长3和4，求出第三边x的取值范围；第二步在得到的取值范围内，分别筛选出符合奇数、偶数要求的x的值即可。
【解析】
1. 求第三边长x的取值范围：
根据三角形三边关系，可得两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即：
$4 - 3 ＜ x ＜ 4 + 3$
计算得：$1 ＜ x ＜ 7$
2. 若x是奇数：
在$1 ＜ x ＜ 7$的范围内，符合条件的奇数有3、5，因此x的值是3或5。
3. 若x是偶数：
在$1 ＜ x ＜ 7$的范围内，符合条件的偶数有2、4、6，因此x的值是2或4或6。
【答案】
$1＜x＜7$；$3$或$5$；$2$或$4$或$6$
【知识点】
三角形三边关系；奇数的概念；偶数的概念
【点评】
本题属于基础考点类题目，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是牢记三边关系的取值范围规则，再结合奇偶数的性质筛选对应数值即可，注意第三边不能取到两边差和两边和的端点值。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第一步先利用该定理，代入已知的两边长3和4，求出第三边x的取值范围；第二步在得到的取值范围内，分别筛选出符合奇数、偶数要求的x的值即可。
【解析】
1. 求第三边长x的取值范围：
根据三角形三边关系，可得两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即：
$4 - 3 ＜ x ＜ 4 + 3$
计算得：$1 ＜ x ＜ 7$
2. 若x是奇数：
在$1 ＜ x ＜ 7$的范围内，符合条件的奇数有3、5，因此x的值是3或5。
3. 若x是偶数：
在$1 ＜ x ＜ 7$的范围内，符合条件的偶数有2、4、6，因此x的值是2或4或6。
【答案】
$1＜x＜7$；$3$或$5$；$2$或$4$或$6$
【知识点】
三角形三边关系；奇数的概念；偶数的概念
【点评】
本题属于基础考点类题目，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是牢记三边关系的取值范围规则，再结合奇偶数的性质筛选对应数值即可，注意第三边不能取到两边差和两边和的端点值。
【难度系数】
0.8
4.△ABC的边长如图3所示，写出一个符合条件的m的整数值：
6(答案不唯一)
。答案
4.6(答案不唯一)
解析
【分析】
要确定第三边m的整数值，需先根据三角形三边关系求出m的取值范围。首先明确三角形的三边关系为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已知的两条边长计算出取值范围后，从中选取整数即可。
【解析】
已知△ABC的两条边AB=2，BC=5，第三边为AC=m。
根据三角形三边关系可得：
BC - AB ＜ m ＜ BC + AB
代入数值计算：
5 - 2 ＜ m ＜ 5 + 2
即3 ＜ m ＜ 7
因为m为整数，所以m可取4、5、6，写出其中一个即可，例如6。
【答案】
6（答案不唯一，4、5均可）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础类题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题核心是准确求出第三边的取值范围，需注意第三边不能等于两边之和或两边之差，否则无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
要确定第三边m的整数值，需先根据三角形三边关系求出m的取值范围。首先明确三角形的三边关系为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已知的两条边长计算出取值范围后，从中选取整数即可。
【解析】
已知△ABC的两条边AB=2，BC=5，第三边为AC=m。
根据三角形三边关系可得：
BC - AB ＜ m ＜ BC + AB
代入数值计算：
5 - 2 ＜ m ＜ 5 + 2
即3 ＜ m ＜ 7
因为m为整数，所以m可取4、5、6，写出其中一个即可，例如6。
【答案】
6（答案不唯一，4、5均可）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础类题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题核心是准确求出第三边的取值范围，需注意第三边不能等于两边之和或两边之差，否则无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
5.一个等腰三角形的一条边长是2 cm，另一条边长是9 cm，求这个三角形的周长。
答案
5.20 cm
解析
【分析】
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题中仅给出两条不同的边长，因此需要分两种情况讨论：①2cm为腰长，9cm为底边长；②9cm为腰长，2cm为底边长。接下来需要依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后，再计算符合条件的三角形的周长即可。
【解析】
解：已知等腰三角形的两边长为2cm和9cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2cm，底边长为9cm，则三角形三边长为2cm，2cm，9cm。
此时$2+2=4\mathrm{cm}$，$4\mathrm{cm}＜9\mathrm{cm}$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为9cm，底边长为2cm，则三角形三边长为9cm，9cm，2cm。
此时$9+2=11\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，$9+9=18\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
周长为：$9+9+2=20\mathrm{cm}$
【答案】
20 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题易错点是直接默认两种边长均可作为腰长计算周长，忽略了三角形三边关系的验证，解题时要注意先判断三边是否能构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题中仅给出两条不同的边长，因此需要分两种情况讨论：①2cm为腰长，9cm为底边长；②9cm为腰长，2cm为底边长。接下来需要依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后，再计算符合条件的三角形的周长即可。
【解析】
解：已知等腰三角形的两边长为2cm和9cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2cm，底边长为9cm，则三角形三边长为2cm，2cm，9cm。
此时$2+2=4\mathrm{cm}$，$4\mathrm{cm}＜9\mathrm{cm}$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为9cm，底边长为2cm，则三角形三边长为9cm，9cm，2cm。
此时$9+2=11\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，$9+9=18\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
周长为：$9+9+2=20\mathrm{cm}$
【答案】
20 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题易错点是直接默认两种边长均可作为腰长计算周长，忽略了三角形三边关系的验证，解题时要注意先判断三边是否能构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
1. 三角形中,连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形的中线.
一个三角形有三条中线,这三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的.
2. 三角形一个内角的与它的对边相交所得的线段叫作三角形的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一点.
3. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画,所得线段叫作三角形的高.
4. 锐角三角形的三条高都在三角形;直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边;钝角三角形有条高在三角形外部.
一个三角形有三条中线,这三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的.
2. 三角形一个内角的与它的对边相交所得的线段叫作三角形的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一点.
3. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画,所得线段叫作三角形的高.
4. 锐角三角形的三条高都在三角形;直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边;钝角三角形有条高在三角形外部.
答案
解：
1. 重心
2. 平分线
3. 垂线
4. 内部；两
1. 重心
2. 平分线
3. 垂线
4. 内部；两
解析
【分析】
本题属于三角形基础概念识记类题目，解题时只需对应回忆三角形中线、角平分线、高的相关定义及性质，逐个填空即可。首先回忆三角形中线交点的名称，再对应角平分线、高的定义，最后梳理不同类型三角形高的位置特点，就能准确写出答案。
【解析】
1. 根据三角形中线相关定义，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，因此第一空填重心；
2. 根据三角形角平分线的定义，三角形一个内角的平分线与它的对边相交所得的线段叫作三角形的角平分线，因此第二空填平分线；
3. 根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，所得线段叫作三角形的高，因此第三空填垂线；
4. 结合不同三角形高的位置特点：锐角三角形的三条高都在三角形内部；钝角三角形有2条高在三角形外部，因此第四空填内部，第五空填两。
【答案】
1. 重心
2. 平分线
3. 垂线
4. 内部；两
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题直接考察三角形核心线段的基础概念与性质，均为需要牢固记忆的基础内容，掌握这些概念是学习三角形后续相关知识的前提。
【难度系数】
0.9
本题属于三角形基础概念识记类题目，解题时只需对应回忆三角形中线、角平分线、高的相关定义及性质，逐个填空即可。首先回忆三角形中线交点的名称，再对应角平分线、高的定义，最后梳理不同类型三角形高的位置特点，就能准确写出答案。
【解析】
1. 根据三角形中线相关定义，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，因此第一空填重心；
2. 根据三角形角平分线的定义，三角形一个内角的平分线与它的对边相交所得的线段叫作三角形的角平分线，因此第二空填平分线；
3. 根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，所得线段叫作三角形的高，因此第三空填垂线；
4. 结合不同三角形高的位置特点：锐角三角形的三条高都在三角形内部；钝角三角形有2条高在三角形外部，因此第四空填内部，第五空填两。
【答案】
1. 重心
2. 平分线
3. 垂线
4. 内部；两
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题直接考察三角形核心线段的基础概念与性质，均为需要牢固记忆的基础内容，掌握这些概念是学习三角形后续相关知识的前提。
【难度系数】
0.9
1. 三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（
A.直线
B.射线
C.线段
D.射线或线段
C
）A.直线
B.射线
C.线段
D.射线或线段
答案
1.C
解析
【分析】
解这道题的思考路径如下：首先要明确直线、射线、线段的核心区别，再对应回忆三角形中线、角平分线、高的定义，二者结合就能判断出正确结论。首先记清三类线的端点特征：直线无端点、可无限延伸；射线1个端点、一端可无限延伸；线段2个端点、长度固定。再看三角形的三类线，都是顶点和对边上某一点的连线，都有两个固定端点，因此都属于线段。
【解析】
1. 先辨析直线、射线、线段的差异：
直线：无端点，可向两端无限延伸，无固定长度；
射线：只有1个端点，可向一端无限延伸，无固定长度；
线段：有2个端点，长度固定。
2. 再对应三角形三类特殊线的定义：
三角形的中线：连接三角形顶点和对边中点的线段，有2个端点；
三角形的角平分线：三角形内角平分线与对边相交后，顶点到交点的线段（注意：单独的角平分线是射线，但三角形内的角平分线是线段），有2个端点；
三角形的高：顶点向对边作垂线后，顶点到垂足的线段，有2个端点。
3. 综上，三类线都符合线段的特征，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线射线线段辨析
2. 三角形三线概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易把三角形的角平分线和单独的角平分线（射线）混淆，只要牢牢抓住三角形内的三类特殊线都有两个固定端点的特征，就能快速判断正确。
【难度系数】
0.75
解这道题的思考路径如下：首先要明确直线、射线、线段的核心区别，再对应回忆三角形中线、角平分线、高的定义，二者结合就能判断出正确结论。首先记清三类线的端点特征：直线无端点、可无限延伸；射线1个端点、一端可无限延伸；线段2个端点、长度固定。再看三角形的三类线，都是顶点和对边上某一点的连线，都有两个固定端点，因此都属于线段。
【解析】
1. 先辨析直线、射线、线段的差异：
直线：无端点，可向两端无限延伸，无固定长度；
射线：只有1个端点，可向一端无限延伸，无固定长度；
线段：有2个端点，长度固定。
2. 再对应三角形三类特殊线的定义：
三角形的中线：连接三角形顶点和对边中点的线段，有2个端点；
三角形的角平分线：三角形内角平分线与对边相交后，顶点到交点的线段（注意：单独的角平分线是射线，但三角形内的角平分线是线段），有2个端点；
三角形的高：顶点向对边作垂线后，顶点到垂足的线段，有2个端点。
3. 综上，三类线都符合线段的特征，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线射线线段辨析
2. 三角形三线概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易把三角形的角平分线和单独的角平分线（射线）混淆，只要牢牢抓住三角形内的三类特殊线都有两个固定端点的特征，就能快速判断正确。
【难度系数】
0.75
2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先回忆不同类型三角形三条高的交点位置特点，再结合题目给出的“交点恰好是三角形的一个顶点”这一条件逐一比对即可。首先明确三类三角形高的交点规律：锐角三角形的三条高都在内部，交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，交点也在三角形外部；直角三角形的两条直角边本身就是对应边上的高，两条直角边的交点就是直角顶点，也就是三条高的交点，正好匹配题目条件。
【解析】
我们分别分析三类三角形高的交点位置：
1. 锐角三角形：三条高均在三角形内部，交点位于三角形内部，不符合题意；
2. 直角三角形：两条直角边分别是对应边上的高，斜边上的高也过直角顶点，因此三条高的交点就是直角顶点，符合题意；
3. 钝角三角形：三条高的交点位于三角形外部，不符合题意。
综上应选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的概念；不同三角形高的交点特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对各类三角形高的位置及交点特点的识记，掌握相关概念后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆不同类型三角形三条高的交点位置特点，再结合题目给出的“交点恰好是三角形的一个顶点”这一条件逐一比对即可。首先明确三类三角形高的交点规律：锐角三角形的三条高都在内部，交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，交点也在三角形外部；直角三角形的两条直角边本身就是对应边上的高，两条直角边的交点就是直角顶点，也就是三条高的交点，正好匹配题目条件。
【解析】
我们分别分析三类三角形高的交点位置：
1. 锐角三角形：三条高均在三角形内部，交点位于三角形内部，不符合题意；
2. 直角三角形：两条直角边分别是对应边上的高，斜边上的高也过直角顶点，因此三条高的交点就是直角顶点，符合题意；
3. 钝角三角形：三条高的交点位于三角形外部，不符合题意。
综上应选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的概念；不同三角形高的交点特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对各类三角形高的位置及交点特点的识记，掌握相关概念后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是该三角形的（
A.中线
B.高
C.角平分线
D.无法确定
A
）A.中线
B.高
C.角平分线
D.无法确定
答案
3.A
解析
【分析】
要判断哪条线段能把三角形分成两个面积相等的部分，首先回忆三角形的面积公式：三角形面积=1/2×底×高。若两个三角形的底相等、高相同，那么二者面积相等。接下来逐一分析各选项线段的性质，看哪条线段分割出的两个三角形满足“等底同高”的条件即可。
【解析】
结合三角形面积公式逐个分析选项：
1. 分析选项A：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此中线会将对边分为长度相等的两段，即分割得到的两个三角形的底相等；同时这两个三角形的高都是原三角形中该顶点到对边的距离，属于同一条高。根据面积公式，等底同高的两个三角形面积相等，因此中线符合要求。
2. 分析选项B：普通三角形的高只能保证分割出的两个三角形高相同，但对边被分成的两段长度不相等，即底不相等，因此面积不相等，只有等腰三角形底边上的高才同时是中线，不具有普适性，不符合要求。
3. 分析选项C：三角形的角平分线仅能将顶角分成两个相等的角，无法保证对边被分成等长的两段，因此分割出的两个三角形面积不一定相等，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握“等底同高的三角形面积相等”这一结论，结合三角形各类线段的性质判断即可，是三角形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪条线段能把三角形分成两个面积相等的部分，首先回忆三角形的面积公式：三角形面积=1/2×底×高。若两个三角形的底相等、高相同，那么二者面积相等。接下来逐一分析各选项线段的性质，看哪条线段分割出的两个三角形满足“等底同高”的条件即可。
【解析】
结合三角形面积公式逐个分析选项：
1. 分析选项A：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此中线会将对边分为长度相等的两段，即分割得到的两个三角形的底相等；同时这两个三角形的高都是原三角形中该顶点到对边的距离，属于同一条高。根据面积公式，等底同高的两个三角形面积相等，因此中线符合要求。
2. 分析选项B：普通三角形的高只能保证分割出的两个三角形高相同，但对边被分成的两段长度不相等，即底不相等，因此面积不相等，只有等腰三角形底边上的高才同时是中线，不具有普适性，不符合要求。
3. 分析选项C：三角形的角平分线仅能将顶角分成两个相等的角，无法保证对边被分成等长的两段，因此分割出的两个三角形面积不一定相等，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握“等底同高的三角形面积相等”这一结论，结合三角形各类线段的性质判断即可，是三角形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
4.已知△ABC的高AD在△ABC的外部，则∠A的度数的取值范围是
0°＜∠A＜90°
。答案
4.0°＜∠A＜90°
解析
【分析】
解题时首先回忆不同类型三角形的高的位置规律：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形夹钝角的两条边上的高在三角形外部。本题中AD是顶点A向BC边作的高，且在三角形外部，说明BC是夹钝角的边，即钝角为∠B或∠C，结合三角形内角和为180°且一个三角形仅能有1个钝角，即可推出∠A的取值范围。
【解析】
1. 明确不同三角形高的位置规律：
锐角三角形：所有高都在三角形内部；
直角三角形：两条高为直角边，斜边上的高在内部；
钝角三角形：夹钝角的两条边上的高在三角形外部，钝角对边上的高在内部。
2. 已知AD是△ABC中过顶点A作的BC边上的高，且AD在△ABC外部，说明BC是夹钝角的边，即△ABC的钝角为∠B或∠C，钝角不是∠A。
3. 根据三角形内角和为180°，且一个三角形中最多只有1个钝角，因此剩下的两个角（包括∠A）都为锐角，即角度大于0°且小于90°。
【答案】
0°＜∠A＜90°
【知识点】
三角形的高的特征；三角形内角和定理；钝角三角形的性质
【点评】
本题重点考查不同类型三角形高的位置差异，需要结合三角形内角和的性质判断角的类型，解题时要注意区分不同顶点作出的高的位置特点，避免混淆钝角的所属顶点导致出错。
【难度系数】
0.65
解题时首先回忆不同类型三角形的高的位置规律：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形夹钝角的两条边上的高在三角形外部。本题中AD是顶点A向BC边作的高，且在三角形外部，说明BC是夹钝角的边，即钝角为∠B或∠C，结合三角形内角和为180°且一个三角形仅能有1个钝角，即可推出∠A的取值范围。
【解析】
1. 明确不同三角形高的位置规律：
锐角三角形：所有高都在三角形内部；
直角三角形：两条高为直角边，斜边上的高在内部；
钝角三角形：夹钝角的两条边上的高在三角形外部，钝角对边上的高在内部。
2. 已知AD是△ABC中过顶点A作的BC边上的高，且AD在△ABC外部，说明BC是夹钝角的边，即△ABC的钝角为∠B或∠C，钝角不是∠A。
3. 根据三角形内角和为180°，且一个三角形中最多只有1个钝角，因此剩下的两个角（包括∠A）都为锐角，即角度大于0°且小于90°。
【答案】
0°＜∠A＜90°
【知识点】
三角形的高的特征；三角形内角和定理；钝角三角形的性质
【点评】
本题重点考查不同类型三角形高的位置差异，需要结合三角形内角和的性质判断角的类型，解题时要注意区分不同顶点作出的高的位置特点，避免混淆钝角的所属顶点导致出错。
【难度系数】
0.65
5.如图4，AD为△ABC的角平分线，DE//AB交AC于点E。若∠BAC=110°，求∠ADE的度数。
图4
图4答案
5.55°
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先根据AD是角平分线的条件，利用角平分线的定义求出∠BAD的度数；再结合DE平行AB的条件，利用平行线的内错角相等的性质，得到∠ADE与∠BAD相等，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=110°
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×110° = 55°$
又
∵DE//AB
∴∠ADE = ∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∴∠ADE = 55°
【答案】
55°
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算题，核心是对几何基础性质的应用，解题时理清已知条件对应哪些性质即可快速求解，要注意区分平行线的性质和判定定理，避免用错。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件出发：首先根据AD是角平分线的条件，利用角平分线的定义求出∠BAD的度数；再结合DE平行AB的条件，利用平行线的内错角相等的性质，得到∠ADE与∠BAD相等，即可求出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=110°
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×110° = 55°$
又
∵DE//AB
∴∠ADE = ∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∴∠ADE = 55°
【答案】
55°
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算题，核心是对几何基础性质的应用，解题时理清已知条件对应哪些性质即可快速求解，要注意区分平行线的性质和判定定理，避免用错。
【难度系数】
0.9
