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5. 试说明：$10^2 × 5^{12} - 25^7$ 能被3整除.
答案
5. 解:$\because 10^2×5^{12}-25^7=(2×5)^2×5^{12}-(5^2)^7=2^2×5^2×5^{12}-5^{14}=(4-1)×5^{14}=3×5^{14}$,$\therefore 3×5^{14}$含有因数3.$\therefore 10^2×5^{12}-25^7$能被3整除.
解析
【分析】
要说明式子能被3整除，只需将式子化简后证明其含有因数3即可。解题时先利用幂的运算法则，将原式中不同底数的幂统一为底数是5的幂，再合并同类项、提取公因式对式子变形，最终验证变形后的式子含有因数3即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}10^2×5^{12} - 25^7&=(2×5)^2×5^{12}-(5^2)^7 \\&=2^2×5^2×5^{12} - 5^{14} \\&=4×5^{14} - 5^{14} \\&=(4-1)×5^{14} \\&=3×5^{14}\end{aligned}$
∵ $3×5^{14}$含有因数3，
∴ $10^2 × 5^{12} - 25^7$能被3整除。
【答案】
$10^2 × 5^{12} - 25^7$能被3整除。
【知识点】
1. 幂的乘方与积的乘方 2. 同底数幂的乘法 3. 整除的判定
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题核心是通过统一幂的底数对原式化简，变形后得到含有因数3的式子即可完成证明，要求熟练掌握幂的相关运算性质，能灵活对不同形式的幂进行转化。
【难度系数】
0.7
要说明式子能被3整除，只需将式子化简后证明其含有因数3即可。解题时先利用幂的运算法则，将原式中不同底数的幂统一为底数是5的幂，再合并同类项、提取公因式对式子变形，最终验证变形后的式子含有因数3即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}10^2×5^{12} - 25^7&=(2×5)^2×5^{12}-(5^2)^7 \\&=2^2×5^2×5^{12} - 5^{14} \\&=4×5^{14} - 5^{14} \\&=(4-1)×5^{14} \\&=3×5^{14}\end{aligned}$
∵ $3×5^{14}$含有因数3，
∴ $10^2 × 5^{12} - 25^7$能被3整除。
【答案】
$10^2 × 5^{12} - 25^7$能被3整除。
【知识点】
1. 幂的乘方与积的乘方 2. 同底数幂的乘法 3. 整除的判定
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题核心是通过统一幂的底数对原式化简，变形后得到含有因数3的式子即可完成证明，要求熟练掌握幂的相关运算性质，能灵活对不同形式的幂进行转化。
【难度系数】
0.7
6. 甲、乙两位同学将一个多项式分解因式,甲同学因看错了二次项系数而分解成$x(x+1)(x+9)$,乙同学因看错了一次项系数而分解成$x(x-1)(x-5)$.
(1)求原来正确的多项式;
(2)将原来的多项式分解因式.
(1)求原来正确的多项式;
(2)将原来的多项式分解因式.
答案
6. 解:(1)$\because x(x+1)(x+9)=x^3+10x^2+9x$,$x(x-1)(x-5)=x^3-6x^2+5x$,$\therefore$ 原来的多项式为$x^3-6x^2+9x$.
(2)$x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2$.
(2)$x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 甲仅看错二次项系数，说明他分解结果展开后的三次项系数、一次项系数、常数项均正确；2. 乙仅看错一次项系数，说明他分解结果展开后的三次项系数、二次项系数、常数项均正确；3. 先将两人的分解结果分别展开，提取对应正确的系数，组合得到原多项式，再对原多项式进行因式分解即可。
【解析】
(1) 先展开甲、乙的分解结果：
甲的结果展开：$x(x+1)(x+9)=x(x^2+10x+9)=x^3+10x^2+9x$，由甲仅看错二次项系数，可得原多项式三次项系数为1、一次项系数为9、常数项为0；
乙的结果展开：$x(x-1)(x-5)=x(x^2-6x+5)=x^3-6x^2+5x$，由乙仅看错一次项系数，可得原多项式三次项系数为1、二次项系数为-6、常数项为0；
结合上述正确系数，可得原多项式为$x^3-6x^2+9x$。
(2) 分解原多项式：
先提取公因式$x$：$x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)$，再利用完全平方公式分解括号内的二次三项式：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，因此最终分解结果为$x(x-3)^2$。
【答案】
(1) $x^3-6x^2+9x$
(2) $x(x-3)^2$
【知识点】
多项式乘法，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题重点考查对因式分解和多项式乘法互逆关系的理解，解题关键是明确看错某类系数时其余系数的正确性，因式分解时要注意分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 甲仅看错二次项系数，说明他分解结果展开后的三次项系数、一次项系数、常数项均正确；2. 乙仅看错一次项系数，说明他分解结果展开后的三次项系数、二次项系数、常数项均正确；3. 先将两人的分解结果分别展开，提取对应正确的系数，组合得到原多项式，再对原多项式进行因式分解即可。
【解析】
(1) 先展开甲、乙的分解结果：
甲的结果展开：$x(x+1)(x+9)=x(x^2+10x+9)=x^3+10x^2+9x$，由甲仅看错二次项系数，可得原多项式三次项系数为1、一次项系数为9、常数项为0；
乙的结果展开：$x(x-1)(x-5)=x(x^2-6x+5)=x^3-6x^2+5x$，由乙仅看错一次项系数，可得原多项式三次项系数为1、二次项系数为-6、常数项为0；
结合上述正确系数，可得原多项式为$x^3-6x^2+9x$。
(2) 分解原多项式：
先提取公因式$x$：$x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)$，再利用完全平方公式分解括号内的二次三项式：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，因此最终分解结果为$x(x-3)^2$。
【答案】
(1) $x^3-6x^2+9x$
(2) $x(x-3)^2$
【知识点】
多项式乘法，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题重点考查对因式分解和多项式乘法互逆关系的理解，解题关键是明确看错某类系数时其余系数的正确性，因式分解时要注意分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
7. 小明准备完成题目:解分式方程:$\frac{x}{x-3}=2-\frac{◆}{3-x}$,发现数字◆印刷不清楚.
(1)他把“◆”猜成5,请你解方程:$\frac{x}{x-3}=2-\frac{5}{3-x}$;
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几?
(1)他把“◆”猜成5,请你解方程:$\frac{x}{x-3}=2-\frac{5}{3-x}$;
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几?
答案
7. 解:(1)方程整理,得$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{5}{x-3}$,去分母,得$x=2(x-3)+5$,解得$x=1$.经检验,$x=1$是原方程的解.$\therefore$ 分式方程的解为$x=1$.
(2)设原题中“◆”是$a$,则方程变形,得$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{a}{x-3}$,去分母,得$x=2(x-3)+a$,解得$x=6-a$.$\because$ 原分式方程无解,$\therefore x=3$.把$x=3$代入整式方程,得$a=3$,故◆=3.
(2)设原题中“◆”是$a$,则方程变形,得$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{a}{x-3}$,去分母,得$x=2(x-3)+a$,解得$x=6-a$.$\because$ 原分式方程无解,$\therefore x=3$.把$x=3$代入整式方程,得$a=3$,故◆=3.
解析
【分析】
这道题分为两个小问，解题思路如下：
(1) 解已知参数的分式方程：首先利用$3-x=-(x-3)$将方程右边的分母统一为$x-3$，再通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的解是否使原分式方程的分母不为0，判断是否为原方程的解。
(2) 已知分式方程无解求参数：先设“◆”为$a$，按照同样的步骤去分母得到关于$x$的整式方程，用含$a$的式子表示$x$；分式方程无解的本质是解为增根，即这个$x$的值让原方程分母为0，也就是$x=3$，将$x=3$代入整式方程即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 整理方程，将分母化为同分母：
$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{5}{x-3}$
方程两边同时乘以最简公分母$x-3$（$x≠3$）去分母得：
$x=2(x-3)+5$
展开计算：
$x=2x-6+5$
移项合并同类项解得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-3=1-3=-2≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
(2) 设原题中“◆”代表的数字是$a$，则原方程变形为：
$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{a}{x-3}$
方程两边同时乘以$x-3$去分母得：
$x=2(x-3)+a$
展开整理得：
$x=2x-6+a$
移项解得：
$x=6-a$
因为原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，原方程分母为0时$x=3$，即增根为$x=3$。
将$x=3$代入$x=6-a$得：
$3=6-a$
解得$a=3$，即原题中“◆”是3。
【答案】
(1) $x=1$；(2) 3
【知识点】
分式方程的解法，增根的概念，分式方程无解判定
【点评】
本题围绕分式方程的相关知识设题，重点考查分式方程的求解步骤和无解条件的应用，解题时要注意分式方程必须检验增根，掌握增根的意义是求解含参数的分式方程无解类问题的关键。
【难度系数】
0.7
这道题分为两个小问，解题思路如下：
(1) 解已知参数的分式方程：首先利用$3-x=-(x-3)$将方程右边的分母统一为$x-3$，再通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的解是否使原分式方程的分母不为0，判断是否为原方程的解。
(2) 已知分式方程无解求参数：先设“◆”为$a$，按照同样的步骤去分母得到关于$x$的整式方程，用含$a$的式子表示$x$；分式方程无解的本质是解为增根，即这个$x$的值让原方程分母为0，也就是$x=3$，将$x=3$代入整式方程即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 整理方程，将分母化为同分母：
$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{5}{x-3}$
方程两边同时乘以最简公分母$x-3$（$x≠3$）去分母得：
$x=2(x-3)+5$
展开计算：
$x=2x-6+5$
移项合并同类项解得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-3=1-3=-2≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
(2) 设原题中“◆”代表的数字是$a$，则原方程变形为：
$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{a}{x-3}$
方程两边同时乘以$x-3$去分母得：
$x=2(x-3)+a$
展开整理得：
$x=2x-6+a$
移项解得：
$x=6-a$
因为原分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，原方程分母为0时$x=3$，即增根为$x=3$。
将$x=3$代入$x=6-a$得：
$3=6-a$
解得$a=3$，即原题中“◆”是3。
【答案】
(1) $x=1$；(2) 3
【知识点】
分式方程的解法，增根的概念，分式方程无解判定
【点评】
本题围绕分式方程的相关知识设题，重点考查分式方程的求解步骤和无解条件的应用，解题时要注意分式方程必须检验增根，掌握增根的意义是求解含参数的分式方程无解类问题的关键。
【难度系数】
0.7
