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【例1】如右图，在平面直角坐标系中，线段AC的端点A在y轴的正半轴上，AC//x轴，点C在第一象限内，函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象交AC于点B，D为x轴上一点，连接CD，BD.若$BC=2AB$，则$△ BCD$的面积为.
【点拨】如右图，连接OB，OC.由AC//x轴可知，$△ AOB$为直角三角形，$\therefore S_{△ AOB}=1$.
又$\because BC=2AB$，
$\therefore S_{△ BOC}=2S_{△ AOB}=2$，
$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ BOC}=2$.
【解】2
【点拨】如右图，连接OB，OC.由AC//x轴可知，$△ AOB$为直角三角形，$\therefore S_{△ AOB}=1$.
又$\because BC=2AB$，
$\therefore S_{△ BOC}=2S_{△ AOB}=2$，
$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ BOC}=2$.
【解】2
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知的反比例函数入手，回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，由此可先求出$△ AOB$的面积；再结合$BC=2AB$的条件，$△ AOB$和$△ BOC$同高，面积比等于底边长的比，即可求出$△ BOC$的面积；最后根据$AC// x$轴，可知$△ BCD$和$△ BOC$同底等高，面积相等，就能得到$△ BCD$的面积。
【解析】
连接$OB$、$OC$。
1. 因为$AC// x$轴，点$A$在$y$轴正半轴上，所以$OA⊥ AC$，$△ AOB$是直角三角形。
又因为点$B$在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×2=1$。
2. $△ AOB$和$△ BOC$同高（高均为$AC$到$y$轴的垂直距离，即$OA$的长度），底的比为$AB:BC=1:2$，所以面积比也为$1:2$，因此$S_{△ BOC}=2S_{△ AOB}=2×1=2$。
3. 因为$AC// x$轴，点$O$和点$D$都在$x$轴上，所以点$O$、$D$到直线$AC$的距离相等（即平行线$AC$与$x$轴之间的距离），$△ BCD$和$△ BOC$同底$BC$，高相等，所以$S_{△ BCD}=S_{△ BOC}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，平行线的性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题型，解题的核心是熟练运用反比例函数k的几何意义，结合三角形面积与底、高的关系，通过构造辅助线将未知面积转化为可求的三角形面积即可求解，解题思路灵活，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的反比例函数入手，回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，由此可先求出$△ AOB$的面积；再结合$BC=2AB$的条件，$△ AOB$和$△ BOC$同高，面积比等于底边长的比，即可求出$△ BOC$的面积；最后根据$AC// x$轴，可知$△ BCD$和$△ BOC$同底等高，面积相等，就能得到$△ BCD$的面积。
【解析】
连接$OB$、$OC$。
1. 因为$AC// x$轴，点$A$在$y$轴正半轴上，所以$OA⊥ AC$，$△ AOB$是直角三角形。
又因为点$B$在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×2=1$。
2. $△ AOB$和$△ BOC$同高（高均为$AC$到$y$轴的垂直距离，即$OA$的长度），底的比为$AB:BC=1:2$，所以面积比也为$1:2$，因此$S_{△ BOC}=2S_{△ AOB}=2×1=2$。
3. 因为$AC// x$轴，点$O$和点$D$都在$x$轴上，所以点$O$、$D$到直线$AC$的距离相等（即平行线$AC$与$x$轴之间的距离），$△ BCD$和$△ BOC$同底$BC$，高相等，所以$S_{△ BCD}=S_{△ BOC}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，平行线的性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题型，解题的核心是熟练运用反比例函数k的几何意义，结合三角形面积与底、高的关系，通过构造辅助线将未知面积转化为可求的三角形面积即可求解，解题思路灵活，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
【例2】如右图，已知一次函数$y_1=\frac{1}{2}x - 2$与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象在第一、第三象限分别交于$A(6,1),B(a,-3)$两点，连接$OA,OB$。
(1)求反比例函数的解析式。
(2)求$△ AOB$的面积。
(3)直接写出当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围。
【点拨】(1)将$A(6,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$可求$m$的值，从而可得反比例函数的解析式。(2)求得点$B$的坐标，设直线$AB$交$x$轴于点$C$，由$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$求解。(3)根据点$A,B$的横坐标及图象求解。
【解】(1)将$A(6,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$中，得$1=\frac{m}{6}$，解得$m=6$，$\therefore y_2=\frac{6}{x}$。
(2)设直线$AB$交$x$轴于点$C$，如图。
把$B(a,-3)$代入$y_1=\frac{1}{2}x -2$，得$-3=\frac{1}{2}a -2$，解得$a=-2$，$\therefore B(-2,-3)$。将$y=0$代入$y_1=\frac{1}{2}x -2$，解得$x=4$，$\therefore$点$C$的坐标为$(4,0)$，即$OC=4$，$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC· y_A + \frac{1}{2}OC· (-y_B)=\frac{1}{2}OC· (y_A - y_B)=\frac{1}{2}×4×(1+3)=8$。
(3)当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞6$。
(1)求反比例函数的解析式。
(2)求$△ AOB$的面积。
(3)直接写出当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围。
【点拨】(1)将$A(6,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$可求$m$的值，从而可得反比例函数的解析式。(2)求得点$B$的坐标，设直线$AB$交$x$轴于点$C$，由$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$求解。(3)根据点$A,B$的横坐标及图象求解。
【解】(1)将$A(6,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$中，得$1=\frac{m}{6}$，解得$m=6$，$\therefore y_2=\frac{6}{x}$。
(2)设直线$AB$交$x$轴于点$C$，如图。
把$B(a,-3)$代入$y_1=\frac{1}{2}x -2$，得$-3=\frac{1}{2}a -2$，解得$a=-2$，$\therefore B(-2,-3)$。将$y=0$代入$y_1=\frac{1}{2}x -2$，解得$x=4$，$\therefore$点$C$的坐标为$(4,0)$，即$OC=4$，$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC· y_A + \frac{1}{2}OC· (-y_B)=\frac{1}{2}OC· (y_A - y_B)=\frac{1}{2}×4×(1+3)=8$。
(3)当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞6$。
答案
解：
(1) 将$A(6,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$中，得
$1=\frac{m}{6}$，
解得$m=6$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{6}{x}$。
(2) 设直线$AB$交$x$轴于点$C$。
把$B(a,-3)$代入$y_1=\frac{1}{2}x - 2$，得
$-3=\frac{1}{2}a - 2$，
解得$a=-2$，
∴$B(-2,-3)$。
将$y=0$代入$y_1=\frac{1}{2}x - 2$，得$\frac{1}{2}x - 2=0$，解得$x=4$，
∴点$C$的坐标为$(4,0)$，即$OC=4$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}OC· y_A + \frac{1}{2}OC· |y_B|\\&=\frac{1}{2}×4×1 + \frac{1}{2}×4×3\\&=8\end{aligned}$
(3) 当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞6$。
(1) 将$A(6,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$中，得
$1=\frac{m}{6}$，
解得$m=6$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{6}{x}$。
(2) 设直线$AB$交$x$轴于点$C$。
把$B(a,-3)$代入$y_1=\frac{1}{2}x - 2$，得
$-3=\frac{1}{2}a - 2$，
解得$a=-2$，
∴$B(-2,-3)$。
将$y=0$代入$y_1=\frac{1}{2}x - 2$，得$\frac{1}{2}x - 2=0$，解得$x=4$，
∴点$C$的坐标为$(4,0)$，即$OC=4$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}OC· y_A + \frac{1}{2}OC· |y_B|\\&=\frac{1}{2}×4×1 + \frac{1}{2}×4×3\\&=8\end{aligned}$
(3) 当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞6$。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式只需知道其图象上一个点的坐标，将已知点A(6,1)代入反比例函数表达式$y_2=\frac{m}{x}$，即可求出m的值，得到反比例函数解析式。
(2) 求△AOB的面积时，由于A、B分别在第一、三象限，直接计算面积较复杂，可先求出点B的坐标，再找到一次函数与x轴的交点C，将△AOB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形均以OC为底，高分别为点A的纵坐标、点B纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积后相加即可。
(3) 求$y_1＞y_2$时x的取值范围，结合函数图象，找一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的取值即可，注意反比例函数图象在x=0处断开，要分区间判断。
【解析】
(1) 将$A(6,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$中，得
$1=\frac{m}{6}$，
解得$m=6$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{6}{x}$。
(2) 设直线$AB$交$x$轴于点$C$。
把$B(a,-3)$代入$y_1=\frac{1}{2}x - 2$，得
$-3=\frac{1}{2}a - 2$，
解得$a=-2$，
∴$B(-2,-3)$。
将$y=0$代入$y_1=\frac{1}{2}x - 2$，得$\frac{1}{2}x - 2=0$，解得$x=4$，
∴点$C$的坐标为$(4,0)$，即$OC=4$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}OC· y_A + \frac{1}{2}OC· |y_B|\\&=\frac{1}{2}×4×1 + \frac{1}{2}×4×3\\&=8\end{aligned}$
(3) 结合函数图象可得，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞6$。
【答案】
(1) $y_2=\frac{6}{x}$
(2) $8$
(3) $-2＜x＜0$或$x＞6$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，坐标系内三角形面积计算，函数图象比较函数值大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数综合的基础经典题型，涵盖了解析式求解、不规则图形面积计算、数形结合判断取值范围三类核心考点，其中割补法求坐标系内三角形面积、结合图象判断函数值大小对应的自变量范围是需要熟练掌握的重点方法。
【难度系数】
0.6
(1) 求反比例函数解析式只需知道其图象上一个点的坐标，将已知点A(6,1)代入反比例函数表达式$y_2=\frac{m}{x}$，即可求出m的值，得到反比例函数解析式。
(2) 求△AOB的面积时，由于A、B分别在第一、三象限，直接计算面积较复杂，可先求出点B的坐标，再找到一次函数与x轴的交点C，将△AOB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形均以OC为底，高分别为点A的纵坐标、点B纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积后相加即可。
(3) 求$y_1＞y_2$时x的取值范围，结合函数图象，找一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的取值即可，注意反比例函数图象在x=0处断开，要分区间判断。
【解析】
(1) 将$A(6,1)$代入$y_2=\frac{m}{x}$中，得
$1=\frac{m}{6}$，
解得$m=6$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{6}{x}$。
(2) 设直线$AB$交$x$轴于点$C$。
把$B(a,-3)$代入$y_1=\frac{1}{2}x - 2$，得
$-3=\frac{1}{2}a - 2$，
解得$a=-2$，
∴$B(-2,-3)$。
将$y=0$代入$y_1=\frac{1}{2}x - 2$，得$\frac{1}{2}x - 2=0$，解得$x=4$，
∴点$C$的坐标为$(4,0)$，即$OC=4$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}\\&=\frac{1}{2}OC· y_A + \frac{1}{2}OC· |y_B|\\&=\frac{1}{2}×4×1 + \frac{1}{2}×4×3\\&=8\end{aligned}$
(3) 结合函数图象可得，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞6$。
【答案】
(1) $y_2=\frac{6}{x}$
(2) $8$
(3) $-2＜x＜0$或$x＞6$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，坐标系内三角形面积计算，函数图象比较函数值大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数综合的基础经典题型，涵盖了解析式求解、不规则图形面积计算、数形结合判断取值范围三类核心考点，其中割补法求坐标系内三角形面积、结合图象判断函数值大小对应的自变量范围是需要熟练掌握的重点方法。
【难度系数】
0.6
