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4. 在反比例函数 $y=\frac{4-k}{x}$ 的图象上有两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。当 $x_1＜0＜x_2$ 时，有 $y_1＜y_2$，则 $k$ 的取值范围是（
A.$k＜0$
B.$k＞0$
C.$k＜4$
D.$k＞4$
C
）A.$k＜0$
B.$k＞0$
C.$k＜4$
D.$k＞4$
答案
4.C
解析
【分析】
首先观察两点横坐标的特征：$x_1＜0＜x_2$，说明A、B两点分别位于y轴的两侧，不在同一象限。结合反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{m}{x}$的比例系数$m＞0$时，图象分布在第一、三象限，此时$x＜0$对应的函数值$y＜0$，$x＞0$对应的函数值$y＞0$，满足x负时的函数值小于x正时的函数值；当$m＜0$时，图象分布在第二、四象限，$x＜0$对应的$y＞0$，$x＞0$对应的$y＜0$，此时x负的函数值大于x正的函数值，不符合题中$y_1＜y_2$的条件。因此我们只需要令比例系数$4-k＞0$，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 点$A(x_1,y_1)$满足$x_1＜0$，点$B(x_2,y_2)$满足$x_2＞0$，
∴ A、B两点分别位于y轴左右两侧，分属不同象限。
已知当$x_1＜0＜x_2$时，$y_1＜y_2$，说明x取负值时对应的函数值小于x取正值时对应的函数值，由此可得反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴ 反比例函数的比例系数大于0，即$4 - k ＞ 0$，
解不等式得：$k ＜ 4$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是根据跨象限两点的函数值大小关系，准确判断反比例函数比例系数的符号，熟练掌握反比例函数的象限分布规律即可快速求解。
【难度系数】
0.75
首先观察两点横坐标的特征：$x_1＜0＜x_2$，说明A、B两点分别位于y轴的两侧，不在同一象限。结合反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{m}{x}$的比例系数$m＞0$时，图象分布在第一、三象限，此时$x＜0$对应的函数值$y＜0$，$x＞0$对应的函数值$y＞0$，满足x负时的函数值小于x正时的函数值；当$m＜0$时，图象分布在第二、四象限，$x＜0$对应的$y＞0$，$x＞0$对应的$y＜0$，此时x负的函数值大于x正的函数值，不符合题中$y_1＜y_2$的条件。因此我们只需要令比例系数$4-k＞0$，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 点$A(x_1,y_1)$满足$x_1＜0$，点$B(x_2,y_2)$满足$x_2＞0$，
∴ A、B两点分别位于y轴左右两侧，分属不同象限。
已知当$x_1＜0＜x_2$时，$y_1＜y_2$，说明x取负值时对应的函数值小于x取正值时对应的函数值，由此可得反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴ 反比例函数的比例系数大于0，即$4 - k ＞ 0$，
解不等式得：$k ＜ 4$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是根据跨象限两点的函数值大小关系，准确判断反比例函数比例系数的符号，熟练掌握反比例函数的象限分布规律即可快速求解。
【难度系数】
0.75
5. (2025—2026上饶广信区检测)在平面直角坐标系中，点$A(3,2)$，$B(-4,1)$，$C(-2,n)$分别在三个不同的象限.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过其中两点，则$n$的值为
$-3$
.答案
5.$-3$
解析
【分析】
首先判断各点所在象限：点A(3,2)横、纵坐标均为正，在第一象限；点B(-4,1)横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限。已知三点在不同象限，点C横坐标为负，因此只能在第三象限，可得n＜0。再结合反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分支只能同时在第一、三象限（k＞0）或第二、四象限（k＜0），不可能同时经过第一、第二象限的点，因此A、B不能同时在反比例函数图象上，只需分反比例函数过A、C和过B、C两种情况讨论，排除不符合三点不同象限的情况即可求出n的值。
【解析】
步骤1：判断各点所在象限
点A(3,2)在第一象限，点B(-4,1)在第二象限。
∵A、B、C在三个不同的象限，点C的横坐标为-2＜0，
∴点C只能在第三象限，即n＜0。
步骤2：结合反比例函数性质分析可能经过的点
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的两个分支只能位于第一、三象限或第二、四象限，因此不可能同时经过第一象限的A和第二象限的B，因此函数图象只能经过A、C两点或B、C两点。
步骤3：分类讨论求解
①若反比例函数经过A、C两点：
则$k=3×2=-2n$，即$6=-2n$，解得$n=-3$。
此时C点坐标为$(-2,-3)$，位于第三象限，符合三点在不同象限的条件。
②若反比例函数经过B、C两点：
则$k=(-4)×1=-2n$，即$-4=-2n$，解得$n=2$。
此时C点坐标为$(-2,2)$，位于第二象限，与B点同象限，不符合题意，舍去。
综上，$n$的值为-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
点的坐标与象限；反比例函数图象性质；反比例函数k值求解
【点评】
本题将平面直角坐标系中点的象限特征和反比例函数性质结合考查，解题时要先根据三点不同象限的限制确定C点的所在象限，再结合反比例函数图象的分布特点分类讨论，注意排除不符合题意的情况，着重考查了分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先判断各点所在象限：点A(3,2)横、纵坐标均为正，在第一象限；点B(-4,1)横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限。已知三点在不同象限，点C横坐标为负，因此只能在第三象限，可得n＜0。再结合反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分支只能同时在第一、三象限（k＞0）或第二、四象限（k＜0），不可能同时经过第一、第二象限的点，因此A、B不能同时在反比例函数图象上，只需分反比例函数过A、C和过B、C两种情况讨论，排除不符合三点不同象限的情况即可求出n的值。
【解析】
步骤1：判断各点所在象限
点A(3,2)在第一象限，点B(-4,1)在第二象限。
∵A、B、C在三个不同的象限，点C的横坐标为-2＜0，
∴点C只能在第三象限，即n＜0。
步骤2：结合反比例函数性质分析可能经过的点
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的两个分支只能位于第一、三象限或第二、四象限，因此不可能同时经过第一象限的A和第二象限的B，因此函数图象只能经过A、C两点或B、C两点。
步骤3：分类讨论求解
①若反比例函数经过A、C两点：
则$k=3×2=-2n$，即$6=-2n$，解得$n=-3$。
此时C点坐标为$(-2,-3)$，位于第三象限，符合三点在不同象限的条件。
②若反比例函数经过B、C两点：
则$k=(-4)×1=-2n$，即$-4=-2n$，解得$n=2$。
此时C点坐标为$(-2,2)$，位于第二象限，与B点同象限，不符合题意，舍去。
综上，$n$的值为-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
点的坐标与象限；反比例函数图象性质；反比例函数k值求解
【点评】
本题将平面直角坐标系中点的象限特征和反比例函数性质结合考查，解题时要先根据三点不同象限的限制确定C点的所在象限，再结合反比例函数图象的分布特点分类讨论，注意排除不符合题意的情况，着重考查了分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在平面直角坐标系中,字母“M”的五个顶点的坐标分别为$A(1,5),B(1,3),C(1,1),D(3,2),E(3,4)$.已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}$（$k＞0,x＞0$）.
(1)当$k$的值为5时,图象经过字母“M”中的点
(2)当$k$的值为2时,图象与字母“M”中的线段
(1)当$k$的值为5时,图象经过字母“M”中的点
A
.(2)当$k$的值为2时,图象与字母“M”中的线段
CD
有交点.答案
6.(1)A (2)CD
解析
【分析】
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$可变形为$k=xy$，若点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标乘积等于$k$。当$k=5$时，只需计算五个顶点的横纵坐标乘积，等于5的点即为图象经过的点。
(2) 当$k=2$时，反比例函数为$y=\frac{2}{x}$，首先明确字母“M”的线段为$AE$、$EB$、$BD$、$CD$，分别联立各线段的解析式与反比例函数解析式，判断解是否在线段的横、纵坐标取值范围内，即可找到有交点的线段。
【解析】
(1) 当$k=5$时，计算各顶点的$xy$值：
$A(1,5)$：$1×5=5$，符合$k=5$；
$B(1,3)$：$1×3=3≠5$；
$C(1,1)$：$1×1=1≠5$；
$D(3,2)$：$3×2=6≠5$；
$E(3,4)$：$3×4=12≠5$。
因此图象经过点$A$。
(2) 当$k=2$时，反比例函数为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$，依次分析各线段：
线段$AE$、$EB$上点的纵坐标均不小于3，当$y≥3$时，$x=\frac{2}{y}≤\frac{2}{3}＜1$，小于线段的最小横坐标1，无交点；
线段$BD$：设解析式为$y=ax+b$，代入$B(1,3)$、$D(3,2)$得$\begin{cases}a+b=3\\3a+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=\frac{7}{2}\end{cases}$，即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}(1≤ x≤3)$。联立$y=\frac{2}{x}$得$-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}=\frac{2}{x}$，整理得$x^2-7x+4=0$，解得正根为$x=\frac{7-\sqrt{33}}{2}\approx0.63＜1$，不在$[1,3]$范围内，无交点；
线段$CD$：设解析式为$y=mx+n$，代入$C(1,1)$、$D(3,2)$得$\begin{cases}m+n=1\\3m+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=\frac{1}{2}\end{cases}$，即$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(1≤ x≤3)$。联立$y=\frac{2}{x}$得$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=\frac{2}{x}$，整理得$x^2+x-4=0$，解得正根为$x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}\approx1.56$，在$[1,3]$范围内，对应$y\approx1.28$也在$CD$的纵坐标范围$[1,2]$内，因此图象与线段$CD$有交点。
【答案】
(1)$A$；(2)$CD$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式的确定，函数交点的判断
【点评】
本题围绕反比例函数的图象性质展开，解题核心是掌握反比例函数图象上的点满足$k=xy$，判断与线段的交点时，要注意解的取值范围需符合线段的坐标边界。
【难度系数】
0.7
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$可变形为$k=xy$，若点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标乘积等于$k$。当$k=5$时，只需计算五个顶点的横纵坐标乘积，等于5的点即为图象经过的点。
(2) 当$k=2$时，反比例函数为$y=\frac{2}{x}$，首先明确字母“M”的线段为$AE$、$EB$、$BD$、$CD$，分别联立各线段的解析式与反比例函数解析式，判断解是否在线段的横、纵坐标取值范围内，即可找到有交点的线段。
【解析】
(1) 当$k=5$时，计算各顶点的$xy$值：
$A(1,5)$：$1×5=5$，符合$k=5$；
$B(1,3)$：$1×3=3≠5$；
$C(1,1)$：$1×1=1≠5$；
$D(3,2)$：$3×2=6≠5$；
$E(3,4)$：$3×4=12≠5$。
因此图象经过点$A$。
(2) 当$k=2$时，反比例函数为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$，依次分析各线段：
线段$AE$、$EB$上点的纵坐标均不小于3，当$y≥3$时，$x=\frac{2}{y}≤\frac{2}{3}＜1$，小于线段的最小横坐标1，无交点；
线段$BD$：设解析式为$y=ax+b$，代入$B(1,3)$、$D(3,2)$得$\begin{cases}a+b=3\\3a+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=\frac{7}{2}\end{cases}$，即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}(1≤ x≤3)$。联立$y=\frac{2}{x}$得$-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}=\frac{2}{x}$，整理得$x^2-7x+4=0$，解得正根为$x=\frac{7-\sqrt{33}}{2}\approx0.63＜1$，不在$[1,3]$范围内，无交点；
线段$CD$：设解析式为$y=mx+n$，代入$C(1,1)$、$D(3,2)$得$\begin{cases}m+n=1\\3m+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=\frac{1}{2}\end{cases}$，即$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(1≤ x≤3)$。联立$y=\frac{2}{x}$得$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=\frac{2}{x}$，整理得$x^2+x-4=0$，解得正根为$x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}\approx1.56$，在$[1,3]$范围内，对应$y\approx1.28$也在$CD$的纵坐标范围$[1,2]$内，因此图象与线段$CD$有交点。
【答案】
(1)$A$；(2)$CD$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式的确定，函数交点的判断
【点评】
本题围绕反比例函数的图象性质展开，解题核心是掌握反比例函数图象上的点满足$k=xy$，判断与线段的交点时，要注意解的取值范围需符合线段的坐标边界。
【难度系数】
0.7
7. 如下图，$△ AOB$是等腰直角三角形，$∠ ABO=90°$，双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$经过点$B$，过点$A(4,0)$作$x$轴的垂线交双曲线于点$C$，连接$BC$.
(1)点$B$的坐标为
(2)求$BC$所在直线的解析式.
(1)点$B$的坐标为
$(2,2)$
.(2)求$BC$所在直线的解析式.
答案
7.解:(1)$(2,2)$
(2)$∵$双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 经过点 $B(2,2)$,
$∴2=\frac{k}{2}$,解得 $k=4$,
$∴$双曲线的解析式为 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$.
$∵AC⊥x$ 轴,$A(4,0)$,
$∴$点 $C$ 的横坐标为 4.
将 $x=4$ 代入 $y=\frac{4}{x}$,得 $y=\frac{4}{4}=1$,
$∴$点 $C$ 的坐标为 $(4,1)$.
设 $BC$ 所在直线的解析式为 $y=ax+b$. 把 $B(2,2)$,
$C(4,1)$代入 $y=ax+b$,得$\begin{cases}2a+b=2,\\4a+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$
$∴BC$ 所在直线的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
(2)$∵$双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 经过点 $B(2,2)$,
$∴2=\frac{k}{2}$,解得 $k=4$,
$∴$双曲线的解析式为 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$.
$∵AC⊥x$ 轴,$A(4,0)$,
$∴$点 $C$ 的横坐标为 4.
将 $x=4$ 代入 $y=\frac{4}{x}$,得 $y=\frac{4}{4}=1$,
$∴$点 $C$ 的坐标为 $(4,1)$.
设 $BC$ 所在直线的解析式为 $y=ax+b$. 把 $B(2,2)$,
$C(4,1)$代入 $y=ax+b$,得$\begin{cases}2a+b=2,\\4a+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$
$∴BC$ 所在直线的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
解析
【分析】
(1) 求点B坐标：已知△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=90°，A点坐标为(4,0)，可得OA长度为4。过点B作x轴的垂线，根据等腰直角三角形“斜边上的高等于斜边的一半，且平分斜边”的性质，可知点B的横坐标和纵坐标相等，均为OA长度的一半，即2，即可得到B点坐标。
(2) 求BC直线解析式：首先将B点坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数的完整表达式；再根据AC⊥x轴、A点横坐标为4，可知C点横坐标也为4，代入反比例函数即可求出C点纵坐标，得到C点坐标；最后设一次函数一般式，将B、C两点坐标代入，解二元一次方程组求出一次函数的系数，即可得到BC的直线解析式。
【解析】
(1) 过点B作BD⊥x轴于D，
∵△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=90°，A(4,0)，
∴OA=4，BD=OD=AD=$\frac{1}{2}$OA=2，又
∵B在第一象限，
∴点B的坐标为(2,2)。
(2)
∵双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 经过点 $B(2,2)$,
$∴2=\frac{k}{2}$,解得 $k=4$,
$∴$双曲线的解析式为 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$.
$∵AC⊥x$ 轴,$A(4,0)$,
$∴$点 $C$ 的横坐标为 4.
将 $x=4$ 代入 $y=\frac{4}{x}$,得 $y=\frac{4}{4}=1$,
$∴$点 $C$ 的坐标为 $(4,1)$.
设 $BC$ 所在直线的解析式为 $y=ax+b$. 把 $B(2,2)$,$C(4,1)$代入 $y=ax+b$,得$\begin{cases}2a+b=2,\\4a+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$
$∴BC$ 所在直线的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,2)}$
(2) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x+3}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数与几何的基础综合题，解题核心是结合几何性质求出关键点的坐标，再利用函数的基本性质求解解析式，能有效考察对基础知识点的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求点B坐标：已知△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=90°，A点坐标为(4,0)，可得OA长度为4。过点B作x轴的垂线，根据等腰直角三角形“斜边上的高等于斜边的一半，且平分斜边”的性质，可知点B的横坐标和纵坐标相等，均为OA长度的一半，即2，即可得到B点坐标。
(2) 求BC直线解析式：首先将B点坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数的完整表达式；再根据AC⊥x轴、A点横坐标为4，可知C点横坐标也为4，代入反比例函数即可求出C点纵坐标，得到C点坐标；最后设一次函数一般式，将B、C两点坐标代入，解二元一次方程组求出一次函数的系数，即可得到BC的直线解析式。
【解析】
(1) 过点B作BD⊥x轴于D，
∵△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=90°，A(4,0)，
∴OA=4，BD=OD=AD=$\frac{1}{2}$OA=2，又
∵B在第一象限，
∴点B的坐标为(2,2)。
(2)
∵双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 经过点 $B(2,2)$,
$∴2=\frac{k}{2}$,解得 $k=4$,
$∴$双曲线的解析式为 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$.
$∵AC⊥x$ 轴,$A(4,0)$,
$∴$点 $C$ 的横坐标为 4.
将 $x=4$ 代入 $y=\frac{4}{x}$,得 $y=\frac{4}{4}=1$,
$∴$点 $C$ 的坐标为 $(4,1)$.
设 $BC$ 所在直线的解析式为 $y=ax+b$. 把 $B(2,2)$,$C(4,1)$代入 $y=ax+b$,得$\begin{cases}2a+b=2,\\4a+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=3,\end{cases}$
$∴BC$ 所在直线的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,2)}$
(2) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x+3}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数与几何的基础综合题，解题核心是结合几何性质求出关键点的坐标，再利用函数的基本性质求解解析式，能有效考察对基础知识点的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8.在平面直角坐标系中，将$\mathrm{Rt}△ OBC$按下图所示的方式放置. 已知$OB = 3$，$BC = 2$，$∠ OBC=90°$. 将$△ OBC$先向右平移2个单位，再向上平移$m$（$m＞0$）个单位后得到$△ DEF$.
(1)直接写出$D,F$两点的坐标(用含$m$的代数式表示).
(2)若点$D,F$落在同一个反比例函数的图象上，求$m$的值及反比例函数的解析式.
(1)直接写出$D,F$两点的坐标(用含$m$的代数式表示).
(2)若点$D,F$落在同一个反比例函数的图象上，求$m$的值及反比例函数的解析式.
答案
8.解:(1)$D(2,m),F(4,m-3)$.
(2)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
$∵D(2,m),F(4,m-3)$在反比例函数的图象上，
$∴k=2m=4(m-3)$,解得 $m=6$,$∴k=12$,
$∴$反比例函数的解析式为 $y=\frac{12}{x}$.
(2)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
$∵D(2,m),F(4,m-3)$在反比例函数的图象上，
$∴k=2m=4(m-3)$,解得 $m=6$,$∴k=12$,
$∴$反比例函数的解析式为 $y=\frac{12}{x}$.
解析
【分析】
(1)首先确定Rt△OBC各顶点坐标：原点O坐标为(0,0)，结合OB=3、∠OBC=90°、BC=2的条件可得点C坐标为(2,-3)。再根据平移的坐标变化规律：向右平移横坐标加平移单位，向上平移纵坐标加平移单位，即可求出平移后对应点D、F的坐标。
(2)反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数k，因此同个反比例函数上的点横纵坐标乘积相等，将D、F的坐标代入即可列出关于m的方程，求解得到m的值后即可求出k，进而得到反比例函数解析式。
【解析】
(1)由题意得，原三角形中O点坐标为(0,0)，C点坐标为(2,-3)。
将△OBC向右平移2个单位，再向上平移m个单位，点O平移后得到点D，坐标为$(0+2, 0+m)$，即$D(2,m)$；
点C平移后得到点F，坐标为$(2+2, -3+m)$，即$F(4,m-3)$。
(2)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵点$D(2,m)$和$F(4,m-3)$都在该反比例函数图象上，
∴两点的横纵坐标乘积都等于k，即$k=2m=4(m-3)$，
解方程：$2m=4m-12$，
移项得$2m=12$，解得$m=6$。
将$m=6$代入$k=2m$，得$k=2×6=12$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
【答案】
(1)$D(2,m)$，$F(4,m-3)$；
(2)$m=6$，反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
【知识点】
坐标平移规律；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是平面直角坐标系平移与反比例函数知识点的基础综合题，解题的关键是熟练掌握平移的坐标变化规则，以及反比例函数中$k=xy$的性质，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
(1)首先确定Rt△OBC各顶点坐标：原点O坐标为(0,0)，结合OB=3、∠OBC=90°、BC=2的条件可得点C坐标为(2,-3)。再根据平移的坐标变化规律：向右平移横坐标加平移单位，向上平移纵坐标加平移单位，即可求出平移后对应点D、F的坐标。
(2)反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数k，因此同个反比例函数上的点横纵坐标乘积相等，将D、F的坐标代入即可列出关于m的方程，求解得到m的值后即可求出k，进而得到反比例函数解析式。
【解析】
(1)由题意得，原三角形中O点坐标为(0,0)，C点坐标为(2,-3)。
将△OBC向右平移2个单位，再向上平移m个单位，点O平移后得到点D，坐标为$(0+2, 0+m)$，即$D(2,m)$；
点C平移后得到点F，坐标为$(2+2, -3+m)$，即$F(4,m-3)$。
(2)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵点$D(2,m)$和$F(4,m-3)$都在该反比例函数图象上，
∴两点的横纵坐标乘积都等于k，即$k=2m=4(m-3)$，
解方程：$2m=4m-12$，
移项得$2m=12$，解得$m=6$。
将$m=6$代入$k=2m$，得$k=2×6=12$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
【答案】
(1)$D(2,m)$，$F(4,m-3)$；
(2)$m=6$，反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
【知识点】
坐标平移规律；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是平面直角坐标系平移与反比例函数知识点的基础综合题，解题的关键是熟练掌握平移的坐标变化规则，以及反比例函数中$k=xy$的性质，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
9. (2025—2026 达州渠县期末)已知反比例函数 $y = -\dfrac{a^2 + 3}{x}$ 的图象上有点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，且 $x_1 ＞ x_2 ＞ 0 ＞ x_3$，则关于 $y_1,y_2,y_3$ 大小关系正确的是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
D
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例函数的性质由比例系数k的正负决定，因此第一步先计算k的取值范围，判断函数图象所在象限及增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，确定各点所在的象限，不同象限内的点的纵坐标正负性不同，可先比较跨象限的函数值大小；第三步对同一象限内的两个点，结合函数的增减性比较对应函数值的大小，最终得出三者的大小关系。
【解析】
首先判断反比例函数的比例系数符号：
∵ $a^2 ≥ 0$，
∴ $a^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，
∴ 比例系数 $k = -(a^2 + 3) ＜ 0$，
∴ 该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$ 随$x$的增大而增大。
接下来根据横坐标范围判断点所在象限：
已知 $x_1 ＞ x_2 ＞ 0 ＞ x_3$，
∴ 点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在第四象限，对应函数值$y_1 ＜ 0$，$y_2 ＜ 0$；
点$C(x_3,y_3)$在第二象限，对应函数值$y_3 ＞ 0$，因此可得 $y_3$ 是三个值中最大的。
再比较同一象限内$y_1$和$y_2$的大小：
在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$x_1 ＞ x_2$，
∴ $y_1 ＞ y_2$。
综上，三者大小关系为 $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数的性质应用，解题关键是先确定比例系数的正负，再结合点的横坐标判断点所在象限，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不可直接用增减性比较不同象限点的函数值。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确反比例函数的性质由比例系数k的正负决定，因此第一步先计算k的取值范围，判断函数图象所在象限及增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，确定各点所在的象限，不同象限内的点的纵坐标正负性不同，可先比较跨象限的函数值大小；第三步对同一象限内的两个点，结合函数的增减性比较对应函数值的大小，最终得出三者的大小关系。
【解析】
首先判断反比例函数的比例系数符号：
∵ $a^2 ≥ 0$，
∴ $a^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，
∴ 比例系数 $k = -(a^2 + 3) ＜ 0$，
∴ 该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$ 随$x$的增大而增大。
接下来根据横坐标范围判断点所在象限：
已知 $x_1 ＞ x_2 ＞ 0 ＞ x_3$，
∴ 点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在第四象限，对应函数值$y_1 ＜ 0$，$y_2 ＜ 0$；
点$C(x_3,y_3)$在第二象限，对应函数值$y_3 ＞ 0$，因此可得 $y_3$ 是三个值中最大的。
再比较同一象限内$y_1$和$y_2$的大小：
在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$x_1 ＞ x_2$，
∴ $y_1 ＞ y_2$。
综上，三者大小关系为 $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数的性质应用，解题关键是先确定比例系数的正负，再结合点的横坐标判断点所在象限，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不可直接用增减性比较不同象限点的函数值。
【难度系数】
0.75
