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8 正比例函数$y=6x$的图象与反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象的交点位于 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
答案
8. D
解析
【分析】
要确定两个函数图象的交点所在象限，有两种解题思路：一是联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标，再根据坐标的正负判断对应象限；二是先分别分析两个函数图象经过的象限，二者公共的象限即为交点所在的象限，再验证交点存在即可，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}y=6x \\ y=\dfrac{6}{x} \end{cases}$
把$y=6x$代入$y=\dfrac{6}{x}$，可得$6x=\dfrac{6}{x}$（$x≠0$，反比例函数分母不能为0）
两边同时乘$x$得：$6x^2=6$
化简得$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$
把$x_1=1$代入$y=6x$，得$y_1=6$，对应交点为$(1,6)$，属于第一象限；
把$x_2=-1$代入$y=6x$，得$y_2=-6$，对应交点为$(-1,-6)$，属于第三象限。
因此两个交点分别位于第一、三象限，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数交点的求法
【点评】
本题是函数图象相关的基础题，解题时可以灵活选择方法，除了联立方程求解的方法外，也可直接根据两个函数的系数为正，判断出二者图象都经过第一、三象限，快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要确定两个函数图象的交点所在象限，有两种解题思路：一是联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标，再根据坐标的正负判断对应象限；二是先分别分析两个函数图象经过的象限，二者公共的象限即为交点所在的象限，再验证交点存在即可，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}y=6x \\ y=\dfrac{6}{x} \end{cases}$
把$y=6x$代入$y=\dfrac{6}{x}$，可得$6x=\dfrac{6}{x}$（$x≠0$，反比例函数分母不能为0）
两边同时乘$x$得：$6x^2=6$
化简得$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$
把$x_1=1$代入$y=6x$，得$y_1=6$，对应交点为$(1,6)$，属于第一象限；
把$x_2=-1$代入$y=6x$，得$y_2=-6$，对应交点为$(-1,-6)$，属于第三象限。
因此两个交点分别位于第一、三象限，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数交点的求法
【点评】
本题是函数图象相关的基础题，解题时可以灵活选择方法，除了联立方程求解的方法外，也可直接根据两个函数的系数为正，判断出二者图象都经过第一、三象限，快速得出答案。
【难度系数】
0.8
9[2025沭阳期末]如图,在菱形ABCO中,点A,B的坐标分别为(-5,0),(m,4),AC与BO交于点D,函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点D,则k的值为 (
A.-4
B.-2
C.-1
D.2
B
)A.-4
B.-2
C.-1
D.2
答案
9. B
解析
【分析】
解题时先结合菱形性质确定边长为5，再根据点B纵坐标为4求出点B的坐标，接着利用菱形对角线互相平分的性质得到交点D是OB的中点，算出D点坐标，最后将D点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=5，BC//OA，对角线AC与BO互相平分，即D为BO的中点。
∵BC//OA（x轴），点B纵坐标为4，
∴点C纵坐标也为4。
设C(x,4)，由OC=5得$\sqrt{x^2 + 4^2}=5$，解得$x=3$（C在第一象限，x＞0），即C(3,4)。
∵BC=OA=5，
∴点B的横坐标为$3-5=-2$，即B(-2,4)。
∵D是BO中点，O(0,0)，
∴D点坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{4+0}{2})=(-1,2)$。
将D(-1,2)代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；反比例函数图象特征；中点坐标公式
【点评】
本题是几何与函数的综合基础题，解题的核心是熟练运用菱形的性质推导相关点的坐标，再结合反比例函数的性质求解参数，考查了学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形性质确定边长为5，再根据点B纵坐标为4求出点B的坐标，接着利用菱形对角线互相平分的性质得到交点D是OB的中点，算出D点坐标，最后将D点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=5，BC//OA，对角线AC与BO互相平分，即D为BO的中点。
∵BC//OA（x轴），点B纵坐标为4，
∴点C纵坐标也为4。
设C(x,4)，由OC=5得$\sqrt{x^2 + 4^2}=5$，解得$x=3$（C在第一象限，x＞0），即C(3,4)。
∵BC=OA=5，
∴点B的横坐标为$3-5=-2$，即B(-2,4)。
∵D是BO中点，O(0,0)，
∴D点坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{4+0}{2})=(-1,2)$。
将D(-1,2)代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；反比例函数图象特征；中点坐标公式
【点评】
本题是几何与函数的综合基础题，解题的核心是熟练运用菱形的性质推导相关点的坐标，再结合反比例函数的性质求解参数，考查了学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
10 [2024 沭阳期末]若直线$y=-x+2$与双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$的一个交点为$P(m,n)$，则$m^2+n^2=$
16
。答案
10. 16
解析
【分析】
首先，交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可以先将点$P(m,n)$分别代入直线和双曲线的解析式，得到$m$与$n$的和、$m$与$n$的积的关系；再利用完全平方公式将待求式$m^2+n^2$变形为$(m+n)^2-2mn$，最后整体代入计算即可，不需要求出$m$、$n$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
∵ 点$P(m,n)$是直线$y=-x+2$与双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$的交点，
∴ 将$P(m,n)$代入直线解析式得：$n=-m+2$，整理得 $m+n=2$；
将$P(m,n)$代入双曲线解析式得：$n=-\dfrac{6}{m}$，整理得 $mn=-6$；
根据完全平方公式变形可得：
$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$
将$m+n=2$，$mn=-6$代入上式：
$m^2+n^2=2^2 - 2×(-6)=4 + 12=16$
【答案】
16
【知识点】
1. 函数交点的意义
2. 完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题巧妙考查了函数交点的性质，无需解出$m$、$n$的具体数值，通过代数式变形结合整体代入思想即可快速求解，能有效检验学生的代数式变形能力和简便计算意识。
【难度系数】
0.7
首先，交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可以先将点$P(m,n)$分别代入直线和双曲线的解析式，得到$m$与$n$的和、$m$与$n$的积的关系；再利用完全平方公式将待求式$m^2+n^2$变形为$(m+n)^2-2mn$，最后整体代入计算即可，不需要求出$m$、$n$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
∵ 点$P(m,n)$是直线$y=-x+2$与双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$的交点，
∴ 将$P(m,n)$代入直线解析式得：$n=-m+2$，整理得 $m+n=2$；
将$P(m,n)$代入双曲线解析式得：$n=-\dfrac{6}{m}$，整理得 $mn=-6$；
根据完全平方公式变形可得：
$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$
将$m+n=2$，$mn=-6$代入上式：
$m^2+n^2=2^2 - 2×(-6)=4 + 12=16$
【答案】
16
【知识点】
1. 函数交点的意义
2. 完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题巧妙考查了函数交点的性质，无需解出$m$、$n$的具体数值，通过代数式变形结合整体代入思想即可快速求解，能有效检验学生的代数式变形能力和简便计算意识。
【难度系数】
0.7
11 如图，点$A$，$D$分别在函数$y=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$，$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，点$B$，$C$在$x$轴上。如果四边形$ABCD$为正方形，点$D$在第一象限，那么点$D$的坐标为
(2,3)
。答案
11. (2,3)
【解析】设点 A 的纵坐标为 n,则点 D 的纵坐标为 n.
$\therefore$ 点 A,D 的坐标分别为 $(-\frac{3}{n},n),(\frac{6}{n},n),\therefore BC=\frac{6}{n}-(-\frac{3}{n})=\frac{9}{n},CD=n.$根据正方形的边长相等,得$\frac{9}{n}=n$,解得 $n=3$(负值舍去),$\therefore$ 点 D 的坐标为(2,3).
【解析】设点 A 的纵坐标为 n,则点 D 的纵坐标为 n.
$\therefore$ 点 A,D 的坐标分别为 $(-\frac{3}{n},n),(\frac{6}{n},n),\therefore BC=\frac{6}{n}-(-\frac{3}{n})=\frac{9}{n},CD=n.$根据正方形的边长相等,得$\frac{9}{n}=n$,解得 $n=3$(负值舍去),$\therefore$ 点 D 的坐标为(2,3).
解析
【分析】
解题时首先观察到四边形ABCD是正方形，因此边AD平行于x轴，可得点A和点D的纵坐标相同，且正方形的边长等于AD的长度，也等于点D（或点A）的纵坐标长度。我们可以先设两点的纵坐标为n，再根据A、D分别在两个反比例函数图象上，用含n的式子表示出两点的横坐标，进而表示出AD的长度，最后利用正方形边长相等列方程求解n，代入即可得到点D的坐标。
【解析】
设点A、D的纵坐标为$n(n＞0$，因点D在第一象限)。
∵点A在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$的图象上，将$y=n$代入解析式得$n=-\dfrac{3}{x}$，解得$x=-\dfrac{3}{n}$，即$A(-\dfrac{3}{n},n)$；
∵点D在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=n$代入解析式得$n=\dfrac{6}{x}$，解得$x=\dfrac{6}{n}$，即$D(\dfrac{6}{n},n)$。
∴边BC的长度为D的横坐标减去A的横坐标：$BC=\dfrac{6}{n}-(-\dfrac{3}{n})=\dfrac{9}{n}$，正方形的边长CD等于纵坐标$n$。
根据正方形四边相等的性质，得$BC=CD$，即$\dfrac{9}{n}=n$，整理得$n^2=9$，解得$n=3$（$n=-3$不符合纵坐标为正的要求，舍去）。
将$n=3$代入点D的坐标表达式，得横坐标为$\dfrac{6}{3}=2$，纵坐标为3，即点D的坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质
【点评】
本题将反比例函数与几何图形结合考查，解题的突破口是利用正方形对边平行的性质得到A、D两点纵坐标相等，再结合反比例函数的解析式建立方程求解，很好地考察了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到四边形ABCD是正方形，因此边AD平行于x轴，可得点A和点D的纵坐标相同，且正方形的边长等于AD的长度，也等于点D（或点A）的纵坐标长度。我们可以先设两点的纵坐标为n，再根据A、D分别在两个反比例函数图象上，用含n的式子表示出两点的横坐标，进而表示出AD的长度，最后利用正方形边长相等列方程求解n，代入即可得到点D的坐标。
【解析】
设点A、D的纵坐标为$n(n＞0$，因点D在第一象限)。
∵点A在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$的图象上，将$y=n$代入解析式得$n=-\dfrac{3}{x}$，解得$x=-\dfrac{3}{n}$，即$A(-\dfrac{3}{n},n)$；
∵点D在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=n$代入解析式得$n=\dfrac{6}{x}$，解得$x=\dfrac{6}{n}$，即$D(\dfrac{6}{n},n)$。
∴边BC的长度为D的横坐标减去A的横坐标：$BC=\dfrac{6}{n}-(-\dfrac{3}{n})=\dfrac{9}{n}$，正方形的边长CD等于纵坐标$n$。
根据正方形四边相等的性质，得$BC=CD$，即$\dfrac{9}{n}=n$，整理得$n^2=9$，解得$n=3$（$n=-3$不符合纵坐标为正的要求，舍去）。
将$n=3$代入点D的坐标表达式，得横坐标为$\dfrac{6}{3}=2$，纵坐标为3，即点D的坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质
【点评】
本题将反比例函数与几何图形结合考查，解题的突破口是利用正方形对边平行的性质得到A、D两点纵坐标相等，再结合反比例函数的解析式建立方程求解，很好地考察了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
12 [2025东营]如图,一次函数$y=3x+3$的图象与坐标轴分别交于点B,C,函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点A,$△ ABC$是等腰直角三角形,$∠ ACB=90°,AC=BC$,求k的值.
答案
12. 在一次函数$y=3x+3$中,令$x=0$,得$y=3$;令$y=0$,则$0=3x+3$,解得$x=-1.$$\therefore$点B的坐标为$(-1,0)$,点C的坐标为$(0,3)$,$\therefore OB=1,OC=3.$如图,过点A作$AD⊥ y$轴于点D.$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ BCO=90°.\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$∠ BCO+∠ CBO=90°$,$\therefore ∠ ACD = ∠ CBO.$ 在 $△ ACD$ 和 $△ CBO$ 中,
$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90°,\\∠ ACD=∠ CBO,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBO,\therefore AD=CO=3,CD=BO=1,\therefore OD=OC+CD=4,\therefore$点A的坐标为$(-3,4).$将$A(-3,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=-3×4=-12$
解析
【分析】
要计算反比例函数中k的值，需先确定点A的坐标，解题思路如下：①首先根据一次函数解析式求出其与坐标轴的交点B、C的坐标，得到OB、OC的长度；②过点A作AD垂直y轴于点D，结合∠ACB=90°的条件，利用同角的余角相等推出∠ACD=∠CBO，再结合AC=BC、∠ADC=∠COB=90°，可证明△ACD≌△CBO；③利用全等三角形的对应边相等得到AD、CD的长度，结合点A所在象限求出A的坐标；④将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
在一次函数$y=3x+3$中，令$x=0$，得$y=3$；令$y=0$，则$0=3x+3$，解得$x=-1$。
$\therefore$点B的坐标为$(-1,0)$，点C的坐标为$(0,3)$，$\therefore OB=1,OC=3$。
如图，过点A作$AD⊥ y$轴于点D。
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ BCO=90°$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$∠ BCO+∠ CBO=90°$,
$\therefore ∠ ACD = ∠ CBO$。
在 $△ ACD$ 和 $△ CBO$ 中,
$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90°,\\∠ ACD=∠ CBO,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD=CO=3,CD=BO=1$,
$\therefore OD=OC+CD=3+1=4$,
$\because$点A在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，$\therefore$点A的坐标为$(-3,4)$。
将$A(-3,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=xy=-3×4=-12$。
【答案】
$k=-12$
【知识点】
1. 一次函数的图象与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于函数与几何的综合题型，解题关键是通过构造直角三角形证明全等，将已知线段长度转化为未知点的坐标，考查了学生对基础知识的综合运用能力和数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
要计算反比例函数中k的值，需先确定点A的坐标，解题思路如下：①首先根据一次函数解析式求出其与坐标轴的交点B、C的坐标，得到OB、OC的长度；②过点A作AD垂直y轴于点D，结合∠ACB=90°的条件，利用同角的余角相等推出∠ACD=∠CBO，再结合AC=BC、∠ADC=∠COB=90°，可证明△ACD≌△CBO；③利用全等三角形的对应边相等得到AD、CD的长度，结合点A所在象限求出A的坐标；④将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
在一次函数$y=3x+3$中，令$x=0$，得$y=3$；令$y=0$，则$0=3x+3$，解得$x=-1$。
$\therefore$点B的坐标为$(-1,0)$，点C的坐标为$(0,3)$，$\therefore OB=1,OC=3$。
如图，过点A作$AD⊥ y$轴于点D。
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ BCO=90°$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$∠ BCO+∠ CBO=90°$,
$\therefore ∠ ACD = ∠ CBO$。
在 $△ ACD$ 和 $△ CBO$ 中,
$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90°,\\∠ ACD=∠ CBO,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD=CO=3,CD=BO=1$,
$\therefore OD=OC+CD=3+1=4$,
$\because$点A在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，$\therefore$点A的坐标为$(-3,4)$。
将$A(-3,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=xy=-3×4=-12$。
【答案】
$k=-12$
【知识点】
1. 一次函数的图象与性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于函数与几何的综合题型，解题关键是通过构造直角三角形证明全等，将已知线段长度转化为未知点的坐标，考查了学生对基础知识的综合运用能力和数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
13 [2024 常州]如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(-1,n),B(2,1)$.
(1) 求一次函数、反比例函数的表达式;
(2) 连接$OA,OB$,求$△ OAB$的面积.
(1) 求一次函数、反比例函数的表达式;
(2) 连接$OA,OB$,求$△ OAB$的面积.
答案
13. (1) $\because$ 一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(-1,n),B(2,1),\therefore m=-n=2×1,\therefore m=2,n=-2$,
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{2}{x}$,点 A 的坐标为$(-1,-2).$ 将$A(-1,-2),B(2,1)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-k+b=-2,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-1.\end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=x-1$
(2) 设直线 AB 与 x 轴的交点为C.在$y=x-1$中,当$y=0$时,$x=1.$$\therefore$ 点 C 的坐标为$(1,0)$,即$OC=1$,$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×1×2=\frac{3}{2}$
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{2}{x}$,点 A 的坐标为$(-1,-2).$ 将$A(-1,-2),B(2,1)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-k+b=-2,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-1.\end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=x-1$
(2) 设直线 AB 与 x 轴的交点为C.在$y=x-1$中,当$y=0$时,$x=1.$$\therefore$ 点 C 的坐标为$(1,0)$,即$OC=1$,$\therefore S_{△ OAB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×1×2=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
(1) 求函数表达式可利用待定系数法：首先已知点B在反比例函数图象上，代入点B坐标先求出反比例函数的参数m，得到反比例函数表达式；再将点A的横坐标代入反比例表达式，求出n得到A点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到k和b的值，即可确定一次函数表达式。
(2) 求△OAB的面积时，由于△OAB没有边与坐标轴重合，可采用割补法简化计算：先找到一次函数与x轴的交点C，将△OAB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形共用底OC，高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到△OAB的面积。
【解析】
(1)
∵ 点$B(2,1)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴ 代入得$1=\frac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
∵ 点$A(-1,n)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴ 代入得$n=\frac{2}{-1}=-2$，即A点坐标为$(-1,-2)$。
将$A(-1,-2)$、$B(2,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases}$，
∴ 一次函数的表达式为$y=x-1$。
(2) 设直线AB与x轴的交点为C，在$y=x-1$中，令$y=0$，得$x=1$，
∴ 点C的坐标为$(1,0)$，即$OC=1$。
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×OC×|y_B|=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×OC×|y_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴ $S_{△ OAB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x-1}$；
(2) $△ OAB$的面积为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察待定系数法的应用和坐标系中不规则三角形面积的计算技巧，割补法是这类面积问题的常用思路，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式可利用待定系数法：首先已知点B在反比例函数图象上，代入点B坐标先求出反比例函数的参数m，得到反比例函数表达式；再将点A的横坐标代入反比例表达式，求出n得到A点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到k和b的值，即可确定一次函数表达式。
(2) 求△OAB的面积时，由于△OAB没有边与坐标轴重合，可采用割补法简化计算：先找到一次函数与x轴的交点C，将△OAB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形共用底OC，高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到△OAB的面积。
【解析】
(1)
∵ 点$B(2,1)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴ 代入得$1=\frac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
∵ 点$A(-1,n)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴ 代入得$n=\frac{2}{-1}=-2$，即A点坐标为$(-1,-2)$。
将$A(-1,-2)$、$B(2,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases}$，
∴ 一次函数的表达式为$y=x-1$。
(2) 设直线AB与x轴的交点为C，在$y=x-1$中，令$y=0$，得$x=1$，
∴ 点C的坐标为$(1,0)$，即$OC=1$。
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×OC×|y_B|=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×OC×|y_A|=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴ $S_{△ OAB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{2}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x-1}$；
(2) $△ OAB$的面积为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考察待定系数法的应用和坐标系中不规则三角形面积的计算技巧，割补法是这类面积问题的常用思路，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
