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1. 根据素材解决问题：
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图①中有一座圆拱石桥，图②是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16 m，拱顶离水面的距离CD＝4 m。 （图①、图②，第1题图）
素材2 如图③，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝12 m，EF＝2.1 m。因水深足够，货船可以根据需要运载货物。据调查，货船的载质量每增加1 t，则船身下降0.01 m。
（图③，第1题图）
问题解决
任务1 确定桥拱半径 (1)求圆形桥拱的半径；
任务2 拟定设计方案 (2)货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图①中有一座圆拱石桥，图②是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16 m，拱顶离水面的距离CD＝4 m。 （图①、图②，第1题图）
素材2 如图③，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝12 m，EF＝2.1 m。因水深足够，货船可以根据需要运载货物。据调查，货船的载质量每增加1 t，则船身下降0.01 m。
（图③，第1题图）问题解决
任务1 确定桥拱半径 (1)求圆形桥拱的半径；
任务2 拟定设计方案 (2)货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
答案
1. 解:(1)设圆心为点O,则点O在CD的延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如答图.
设圆形桥拱的半径为r,则OD=(r-4)m.
∵OC⊥AB,
∴AD=BD=1/2 AB=8 m.
∵OD²+AD²=OA²,
∴(r-4)²+8²=r²,解得r=10.
答:圆形桥拱的半径为10 m.
(2)货船不能通过圆形拱桥,至少要增加10 t的货物才能通过.理由如下:
当EH是⊙O的弦时,设EH与OC的交点为M,连接OE,OH,如答图.
∵四边形EFGH为矩形,
∴EH//FG.
∵OC⊥AB,
∴OM⊥EH,
∴EM=1/2 EH=6 m,
∴OM=√(OE²-EM²)=8 m.
∵OD=OC-CD=6 m,
∴DM=2 m.
∵2＜2.1,
∴货船不能通过圆形拱桥.
∵货船的载质量每增加1 t,则船身下降0.01 m,
∴(2.1-2)÷0.01=10(t).
答:至少要增加10 t的货物才能通过.
解析
【分析】
要解决这道实际应用的几何题，需分两步思考：第一步求桥拱半径，利用圆的垂径定理和勾股定理，先确定圆心位置，结合弦长AB和拱高CD，设半径为r，通过直角三角形的勾股定理列方程求解；第二步判断货船能否通过，需计算货船顶部矩形宽EH对应的拱高（即EH到水面AB的距离），与货船露出高度EF比较，若不够则计算需要下降的高度，再根据“每增加1t货物船身下降0.01m”的条件，算出需增加的货物吨数。
【解析】
(1) 设圆形桥拱的圆心为点O，点O在CD的延长线上，延长CD可知CD经过圆心O，连接AO。设圆形桥拱的半径为r，则OD=(r-4)m。
因为OC⊥AB，根据垂径定理，AD=BD=1/2 AB=1/2×16=8 m。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD² + AD² = OA²，即(r-4)² + 8² = r²，
展开化简：r² -8r +16 +64 = r² → -8r +80=0 → 解得r=10 m。
(2) 当EH为⊙O的弦时，设EH与OC的交点为M，连接OE、OH。
因为四边形EFGH是矩形，所以EH//FG，又OC⊥AB，故OM⊥EH，根据垂径定理，EM=1/2 EH=1/2×12=6 m。
在Rt△OEM中，OE=r=10 m，由勾股定理得OM=√(OE² - EM²)=√(10² -6²)=8 m。
已知OD=OC - CD=10 -4=6 m，所以DM=OM - OD=8 -6=2 m。
因为2 m ＜ 2.1 m，所以货船不能通过圆形拱桥。
货船每增加1 t货物，船身下降0.01 m，需要下降的高度为2.1 -2=0.1 m，故需要增加的货物吨数为0.1÷0.01=10 t。
【答案】
1. 解:(1)设圆心为点O,则点O在CD的延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如答图.
设圆形桥拱的半径为r,则OD=(r-4)m.
∵OC⊥AB,
∴AD=BD=1/2 AB=8 m.
∵OD²+AD²=OA²,
∴(r-4)²+8²=r²,解得r=10.
答:圆形桥拱的半径为10 m.
(2)货船不能通过圆形拱桥,至少要增加10 t的货物才能通过.理由如下:
当EH是⊙O的弦时,设EH与OC的交点为M,连接OE,OH,如答图.
∵四边形EFGH为矩形,
∴EH//FG.
∵OC⊥AB,
∴OM⊥EH,
∴EM=1/2 EH=6 m,
∴OM=√(OE²-EM²)=8 m.
∵OD=OC-CD=6 m,
∴DM=2 m.
∵2＜2.1,
∴货船不能通过圆形拱桥.
∵货船的载质量每增加1 t,则船身下降0.01 m,
∴(2.1-2)÷0.01=10(t).
答:至少要增加10 t的货物才能通过.
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的应用
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关计算，核心是将实际问题转化为几何模型，利用垂径定理和勾股定理解决，需要学生具备建模能力，步骤清晰，逻辑严谨，是典型的数学应用类题目。
【难度系数】
0.5
要解决这道实际应用的几何题，需分两步思考：第一步求桥拱半径，利用圆的垂径定理和勾股定理，先确定圆心位置，结合弦长AB和拱高CD，设半径为r，通过直角三角形的勾股定理列方程求解；第二步判断货船能否通过，需计算货船顶部矩形宽EH对应的拱高（即EH到水面AB的距离），与货船露出高度EF比较，若不够则计算需要下降的高度，再根据“每增加1t货物船身下降0.01m”的条件，算出需增加的货物吨数。
【解析】
(1) 设圆形桥拱的圆心为点O，点O在CD的延长线上，延长CD可知CD经过圆心O，连接AO。设圆形桥拱的半径为r，则OD=(r-4)m。
因为OC⊥AB，根据垂径定理，AD=BD=1/2 AB=1/2×16=8 m。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD² + AD² = OA²，即(r-4)² + 8² = r²，
展开化简：r² -8r +16 +64 = r² → -8r +80=0 → 解得r=10 m。
(2) 当EH为⊙O的弦时，设EH与OC的交点为M，连接OE、OH。
因为四边形EFGH是矩形，所以EH//FG，又OC⊥AB，故OM⊥EH，根据垂径定理，EM=1/2 EH=1/2×12=6 m。
在Rt△OEM中，OE=r=10 m，由勾股定理得OM=√(OE² - EM²)=√(10² -6²)=8 m。
已知OD=OC - CD=10 -4=6 m，所以DM=OM - OD=8 -6=2 m。
因为2 m ＜ 2.1 m，所以货船不能通过圆形拱桥。
货船每增加1 t货物，船身下降0.01 m，需要下降的高度为2.1 -2=0.1 m，故需要增加的货物吨数为0.1÷0.01=10 t。
【答案】
1. 解:(1)设圆心为点O,则点O在CD的延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如答图.
设圆形桥拱的半径为r,则OD=(r-4)m.
∵OC⊥AB,
∴AD=BD=1/2 AB=8 m.
∵OD²+AD²=OA²,
∴(r-4)²+8²=r²,解得r=10.
答:圆形桥拱的半径为10 m.
(2)货船不能通过圆形拱桥,至少要增加10 t的货物才能通过.理由如下:
当EH是⊙O的弦时,设EH与OC的交点为M,连接OE,OH,如答图.
∵四边形EFGH为矩形,
∴EH//FG.
∵OC⊥AB,
∴OM⊥EH,
∴EM=1/2 EH=6 m,
∴OM=√(OE²-EM²)=8 m.
∵OD=OC-CD=6 m,
∴DM=2 m.
∵2＜2.1,
∴货船不能通过圆形拱桥.
∵货船的载质量每增加1 t,则船身下降0.01 m,
∴(2.1-2)÷0.01=10(t).
答:至少要增加10 t的货物才能通过.
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的应用
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关计算，核心是将实际问题转化为几何模型，利用垂径定理和勾股定理解决，需要学生具备建模能力，步骤清晰，逻辑严谨，是典型的数学应用类题目。
【难度系数】
0.5
