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9.如图,在$□ ABCD$中,$AB=\sqrt{3}+1,BC=2,AH⊥ CD$,垂足为$H,AH=\sqrt{3}$.以点A为圆心,AH的长为半径画弧,与AB,AC,AD分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为$r_1$;用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为$r_2$,则$r_1 - r_2=$
$\frac{\sqrt{3}}{24}$
.(结果保留根号)答案
9.$\frac{\sqrt{3}}{24}$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形的性质得到边的长度，再通过解直角三角形求出两个扇形的圆心角度数；接着根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，分别求出两个圆锥底面半径$r_1$、$r_2$，最后计算二者的差值即可。具体步骤：①先在$Rt△ AHD$中求$∠ D$、$DH$和$∠ HAD$的度数；②计算$CH$的长度，在$Rt△ AHC$中求$∠ ACH$，利用平行线性质得到$∠ BAC$的度数；③分别计算两个扇形的弧长，结合圆周长公式求$r_1$、$r_2$；④计算$r_1 - r_2$。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC=2$，$CD=AB=\sqrt{3}+1$，$AB// CD$，$∠ BAD+∠ D=180°$。
∵$AH⊥ CD$，
∴$∠ AHD=∠ AHC=90°$。
在$Rt△ AHD$中，$AD=2$，$AH=\sqrt{3}$，
∴$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，$\sin D=\frac{AH}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠ D=60°$，
∴$∠ HAD=90°-60°=30°$。
$CH=CD-DH=(\sqrt{3}+1)-1=\sqrt{3}$，
在$Rt△ AHC$中，$AH=CH=\sqrt{3}$，
∴$△ AHC$是等腰直角三角形，$∠ ACH=45°$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ BAC=∠ ACH=45°$。
对于扇形$AEF$：圆心角为$45°$，半径为$AH=\sqrt{3}$，
弧长$L_1=\frac{45π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{4}$，
∵圆锥底面周长等于侧面弧长，
∴$2π r_1=\frac{\sqrt{3}π}{4}$，解得$r_1=\frac{\sqrt{3}}{8}$。
对于扇形$AHG$：圆心角为$30°$，半径为$AH=\sqrt{3}$，
弧长$L_2=\frac{30π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{6}$，
同理$2π r_2=\frac{\sqrt{3}π}{6}$，解得$r_2=\frac{\sqrt{3}}{12}$。
∴$r_1 - r_2=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{24}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{24}$
【知识点】
平行四边形的性质；解直角三角形；圆锥的侧面展开图
【点评】
本题综合考查了几何图形性质与圆锥计算的结合，解题的核心是准确求出两个扇形的圆心角，熟练掌握圆锥侧面展开弧长与底面周长的等量关系，需要一定的几何推导能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先利用平行四边形的性质得到边的长度，再通过解直角三角形求出两个扇形的圆心角度数；接着根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，分别求出两个圆锥底面半径$r_1$、$r_2$，最后计算二者的差值即可。具体步骤：①先在$Rt△ AHD$中求$∠ D$、$DH$和$∠ HAD$的度数；②计算$CH$的长度，在$Rt△ AHC$中求$∠ ACH$，利用平行线性质得到$∠ BAC$的度数；③分别计算两个扇形的弧长，结合圆周长公式求$r_1$、$r_2$；④计算$r_1 - r_2$。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC=2$，$CD=AB=\sqrt{3}+1$，$AB// CD$，$∠ BAD+∠ D=180°$。
∵$AH⊥ CD$，
∴$∠ AHD=∠ AHC=90°$。
在$Rt△ AHD$中，$AD=2$，$AH=\sqrt{3}$，
∴$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，$\sin D=\frac{AH}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠ D=60°$，
∴$∠ HAD=90°-60°=30°$。
$CH=CD-DH=(\sqrt{3}+1)-1=\sqrt{3}$，
在$Rt△ AHC$中，$AH=CH=\sqrt{3}$，
∴$△ AHC$是等腰直角三角形，$∠ ACH=45°$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ BAC=∠ ACH=45°$。
对于扇形$AEF$：圆心角为$45°$，半径为$AH=\sqrt{3}$，
弧长$L_1=\frac{45π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{4}$，
∵圆锥底面周长等于侧面弧长，
∴$2π r_1=\frac{\sqrt{3}π}{4}$，解得$r_1=\frac{\sqrt{3}}{8}$。
对于扇形$AHG$：圆心角为$30°$，半径为$AH=\sqrt{3}$，
弧长$L_2=\frac{30π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{6}$，
同理$2π r_2=\frac{\sqrt{3}π}{6}$，解得$r_2=\frac{\sqrt{3}}{12}$。
∴$r_1 - r_2=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{24}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{24}$
【知识点】
平行四边形的性质；解直角三角形；圆锥的侧面展开图
【点评】
本题综合考查了几何图形性质与圆锥计算的结合，解题的核心是准确求出两个扇形的圆心角，熟练掌握圆锥侧面展开弧长与底面周长的等量关系，需要一定的几何推导能力。
【难度系数】
0.4
10. 如图①，某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，如图②，它的底面圆直径ED与母线AD的长之比为1：2.制作这种外包装需要用如图③所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的度数；
(2)若圆锥的底面圆直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的度数；
(2)若圆锥的底面圆直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)
答案
10.解:(1)设$∠ BAC=n°$.根据题意,得 $π· DE=\frac{nπ· AD}{180}$.
$\because AD=2DE,\therefore n=90.$
答:这种加工材料的顶角$∠ BAC$的度数为$90°$.
(2)$\because AD=2DE=10$ cm,
$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}BC· AD - S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×20×10 - \frac{90π×10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2.$
答:加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2.$
$\because AD=2DE,\therefore n=90.$
答:这种加工材料的顶角$∠ BAC$的度数为$90°$.
(2)$\because AD=2DE=10$ cm,
$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}BC· AD - S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×20×10 - \frac{90π×10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2.$
答:加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2.$
解析
【分析】
（1）要求顶角$∠ BAC$的度数，核心是利用“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一等量关系。设$∠ BAC=n°$，分别写出底面圆周长和扇形弧长的表达式，结合已知$AD=2DE$代入等式，即可求出$n$的值。
（2）阴影部分面积等于等腰$△ ABC$的面积减去扇形$AEF$的面积。先根据$ED$的长度求出母线$AD$的长，再结合$∠ BAC=90°$、$AD⊥ BC$推出$BC=2AD$，分别计算三角形和扇形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1)设$∠ BAC=n°$。
∵扇形$AEF$围成圆锥时，$AE$、$AF$恰好重合，
∴扇形$AEF$的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$π· DE=\frac{nπ· AD}{180}$。
由题意得$AD=2DE$，代入上式得：$π· DE=\frac{nπ· 2DE}{180}$，
约去$π$和$DE$，解得$n=90$。
(2)
∵$ED=5\mathrm{cm}$，
∴$AD=2DE=2×5=10\mathrm{cm}$。
∵$AB=AC$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=90°$，
∴$∠ B=∠ C=45°$，$BD=CD=AD=10\mathrm{cm}$，则$BC=BD+CD=20\mathrm{cm}$。
阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}$
$=\frac{1}{2}× BC× AD-\frac{90π× AD^2}{360}$
$=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90π×10^2}{360}$
$=100-25π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)$∠ BAC$的度数为$90°$；
(2)阴影部分的面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆锥与展开图的关系；弧长公式；扇形面积计算
【点评】
本题结合生活实例考查圆锥相关的几何计算，解题的核心是掌握“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关键等量关系，同时需要熟练运用三角形、扇形的面积公式，是几何应用类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
（1）要求顶角$∠ BAC$的度数，核心是利用“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一等量关系。设$∠ BAC=n°$，分别写出底面圆周长和扇形弧长的表达式，结合已知$AD=2DE$代入等式，即可求出$n$的值。
（2）阴影部分面积等于等腰$△ ABC$的面积减去扇形$AEF$的面积。先根据$ED$的长度求出母线$AD$的长，再结合$∠ BAC=90°$、$AD⊥ BC$推出$BC=2AD$，分别计算三角形和扇形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1)设$∠ BAC=n°$。
∵扇形$AEF$围成圆锥时，$AE$、$AF$恰好重合，
∴扇形$AEF$的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$π· DE=\frac{nπ· AD}{180}$。
由题意得$AD=2DE$，代入上式得：$π· DE=\frac{nπ· 2DE}{180}$，
约去$π$和$DE$，解得$n=90$。
(2)
∵$ED=5\mathrm{cm}$，
∴$AD=2DE=2×5=10\mathrm{cm}$。
∵$AB=AC$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=90°$，
∴$∠ B=∠ C=45°$，$BD=CD=AD=10\mathrm{cm}$，则$BC=BD+CD=20\mathrm{cm}$。
阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}$
$=\frac{1}{2}× BC× AD-\frac{90π× AD^2}{360}$
$=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90π×10^2}{360}$
$=100-25π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)$∠ BAC$的度数为$90°$；
(2)阴影部分的面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆锥与展开图的关系；弧长公式；扇形面积计算
【点评】
本题结合生活实例考查圆锥相关的几何计算，解题的核心是掌握“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关键等量关系，同时需要熟练运用三角形、扇形的面积公式，是几何应用类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
11.如图①，圆锥底面圆的半径为1，母线长为4，图②为其侧面展开图.
(1)求阴影部分的面积;(结果保留π)
(2)若母线SC是一条蜜糖线,一只蚂蚁从点A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖?
(1)求阴影部分的面积;(结果保留π)
(2)若母线SC是一条蜜糖线,一只蚂蚁从点A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖?
答案
11.解:(1)如答图,作$SE⊥ AF$交$\overset{\frown}{AF}$于点C.
设答图中的扇形的圆心角为$n°$,
根据题意,得$\frac{nπ×4}{180}=2π×1$,解得$n=90.$
$\because SA=SF,\therefore △ SFA$是等腰直角三角形,$\therefore AF=4\sqrt{2}$,
$\therefore SE=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形SAF}-S_{△ SAF}=\frac{90π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4π-8.$
(2)$\because SC$是一条蜜糖线,$AE⊥ SC,AE=2\sqrt{2}$,
$\therefore$ 根据垂线段最短,一只蚂蚁从点A沿着圆锥表面最少需要爬$2\sqrt{2}$个单位长度才能吃到蜜糖.
解析
【分析】
(1) 求阴影面积可利用“阴影面积=扇形面积-三角形面积”的思路求解：首先根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧长的等量关系，列方程求出侧面展开扇形的圆心角；再判断三角形的形状，分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到结果。
(2) 圆锥表面的最短路径问题需转化为侧面展开图的平面问题求解：根据垂线段最短的原理，点A到直线SC的垂线段长度就是蚂蚁爬行的最短距离，结合第一问的计算结果即可得到答案。
【解析】
(1) 如答图，作$SE⊥ AF$交$\overset{\frown}{AF}$于点C。
设侧面展开扇形的圆心角为$n°$，
根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧长，可得：
$\frac{nπ×4}{180}=2π×1$，解得$n=90$。
$\because SA=SF=4$，$∠ ASF=90°$，$\therefore △ SFA$是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
等腰直角三角形斜边上的高$SE=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形SAF}-S_{△ SAF}=\frac{90π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4π-8$。
(2) 蚂蚁沿圆锥表面爬行的最短路径对应侧面展开图中点A到直线SC的最短距离，根据垂线段最短，最短距离就是A到SC的垂线段长度，由(1)可知该长度为$2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 阴影部分的面积为$4π-8$；
(2) 蚂蚁最少需要爬$2\sqrt{2}$个单位长度才能吃到蜜糖。
【知识点】
圆锥侧面展开性质、扇形面积计算、垂线段最短
【点评】
本题是圆锥相关的典型综合题，解题核心是将立体的圆锥表面问题转化为平面展开图的几何问题，需要熟练掌握圆锥和侧面展开图的对应等量关系，同时能灵活运用几何最值原理求解最短路径问题。
【难度系数】
0.6
(1) 求阴影面积可利用“阴影面积=扇形面积-三角形面积”的思路求解：首先根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧长的等量关系，列方程求出侧面展开扇形的圆心角；再判断三角形的形状，分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到结果。
(2) 圆锥表面的最短路径问题需转化为侧面展开图的平面问题求解：根据垂线段最短的原理，点A到直线SC的垂线段长度就是蚂蚁爬行的最短距离，结合第一问的计算结果即可得到答案。
【解析】
(1) 如答图，作$SE⊥ AF$交$\overset{\frown}{AF}$于点C。
设侧面展开扇形的圆心角为$n°$，
根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧长，可得：
$\frac{nπ×4}{180}=2π×1$，解得$n=90$。
$\because SA=SF=4$，$∠ ASF=90°$，$\therefore △ SFA$是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
等腰直角三角形斜边上的高$SE=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形SAF}-S_{△ SAF}=\frac{90π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4π-8$。
(2) 蚂蚁沿圆锥表面爬行的最短路径对应侧面展开图中点A到直线SC的最短距离，根据垂线段最短，最短距离就是A到SC的垂线段长度，由(1)可知该长度为$2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 阴影部分的面积为$4π-8$；
(2) 蚂蚁最少需要爬$2\sqrt{2}$个单位长度才能吃到蜜糖。
【知识点】
圆锥侧面展开性质、扇形面积计算、垂线段最短
【点评】
本题是圆锥相关的典型综合题，解题核心是将立体的圆锥表面问题转化为平面展开图的几何问题，需要熟练掌握圆锥和侧面展开图的对应等量关系，同时能灵活运用几何最值原理求解最短路径问题。
【难度系数】
0.6
