1[2025福建福州期中,中]如图,M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且$MN=NP=PR=1$.数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间.若$|a|+|b|=2$,则原点是 ()


A.M或N
B.M或R
C.N或P
D.P或R

C 【解析】因为 $MN=NP=PR=1$, 所以数 $a,b$ 对应的点之间的距离大于 1 且小于 3. 因为$|a|+|b|=2$, 当原点在点 $M$ 处时,$|b|＞2$, 当原点在点 $R$ 处时,$|a|＞2$, 所以点 $M$ 与点 $R$ 都不是原点, 故原点只能是 $N$ 或 $P$. 故选 C.

2 新考向 开放性试题 [2026 陕西渭南期末,中]一个有理数a,满足a的相反数等于a的绝对值,则a可以是.(写出一个即可)

0(答案不唯一) 【解析】根据题意,得$-a=|a|$.因为$|a|≥0$, 所以$-a≥0$, 即 $a≤0$. 当 $a≤0$ 时,$|a|=-a$, 等式成立, 所以 $a$ 可以是任何非正有理数, 例如 0. 故答案为 0(答案不唯一).

3[中]已知零件的标准直径是100 mm，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下：

(1)指出哪件样品的直径最符合要求；
(2)如果规定误差的绝对值在0.18 mm之内是正品，误差的绝对值在0.18~0.22 mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22 mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？

【解】(1)第4件样品的直径最符合要求.
(2)因为$|+0.10|=0.10＜0.18, |-0.15|=0.15＜0.18, |-0.05|=0.05＜0.18$,
所以第1,2,4件样品为正品；
因为$|+0.20|=0.20, 0.18＜0.20＜0.22$, 所以第3件样品为次品；
因为$|+0.25|=0.25＞0.22$,
所以第5件样品为废品.

4[2025江苏苏州质检,较难]数轴上点A,B分别表示有理数a,b,AB表示A,B两点之间的距离,则$AB=|a-b|$.例如:数轴上表示数2和5的两点之间的距离为$|2-5|=3$;数轴上表示数3和-1的两点之间的距离为$|3-(-1)|=4$.又如:$|x+2|$可以写成$|x-(-2)|$,它的几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数$-2$的点之间的距离.
(1) 和为定值 $|x+2|+|x-3|$表示数轴上有理数$x$对应的点到$-2$和3对应的两点距离之和.请你利用数轴,写出所有符合条件的整数$x$,使得$|x+2|+|x-3|=5$.
(2) 偶数个绝对值之和最小 ①$|x+3|+|x-4|$的最小值是,此时$x$的取值范围是.
②代数式$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|$的最小值是,此时$x$的取值范围是.
(3) 奇数个绝对值之和最小 ①$|x+6|+|x+3|+|x-2|$的最小值是,此时$x$的值是.
②$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\dots+|x-617|$取最小值时$x$的值是.

【解】(1)$|x+2|+|x-3|=5$表示数轴上有理数$x$对应的点到$-2$和3对应的两点的距离之和为5,
因为表示$-2$和表示3的两点之间的距离是5,所以在$-2$和3之间(含$-2$和3)的整数均符合题意,所以所有符合条件的整数$x$为$-2,-1,0,1,2,3$.
(2) ①因为$|x+3|+|x-4|=|x-(-3)|+|x-4|$,所以$|x+3|+|x-4|$表示数轴上有理数$x$对应的点到$-3$和4对应的两点的距离之和. 假设点$P$在数轴上表示的数是$x$,点$A$表示的数是$-3$,点$B$表示的数是4,则点$P$可能在点$A$的左边或点$A$和点$B$之间(含点$A$和点$B$)或点$B$的右边. 所示,当点$P$在点$A$的左边或点$B$的右边时,点$P$到$A,B$两点的距离之和均大于$A,B$两点间的距离;当点$P$在点$A$和点$B$之间(含点$A$和点$B$)时,点$P$到$A,B$两点的距离之和等于$A,B$两点间的距离,所以$x$在$-3$和4之间(含$-3$和4),即$-3≤ x≤4$,$|x+3|+|x-4|$的最小值为7. 故答案为7,$-3≤ x≤4$.
②因为$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|=|x-(-7)|+|x-(-4)|+|x-2|+|x-5|$,所以$x$在$-4$和2之间(含$-4$和2),即$-4≤ x≤2$,代数式$|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|$的最小值为18. 故答案为18,$-4≤ x≤2$.
(3) ①因为$|x+6|+|x+3|+|x-2|=|x-(-6)|+|x-(-3)|+|x-2|$,所以$|x+6|+|x+3|+|x-2|$表示数轴上有理数$x$对应的点到$-6,-3$和2对应的三点的距离之和. 假设点$P$在数轴上表示的数是$x$,点$A$表示的数是$-6$,点$B$表示的数是$-3$,点$C$表示的数是2, 所示,当点$P$在点$B$处时,$P$到$A,B,C$三点的距离之和等于$A,C$两点间的距离;当点$P$在除点$B$外的任意位置时,$P$到$A,B,C$三点的距离之和均大于$A,C$两点间的距离,所以当$x=-3$时,$|x+6|+|x+3|+|x-2|$有最小值,为8. 故答案为8,$-3$.
②因为$(1+617)÷2=309$,所以当$x=309$时,$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\dots+|x-617|$取得最小值. 故答案为309.