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9 已知多项式$M$，$N$，其中$M=2x^2 - x - 1$，小马在计算$2M - N$时，由于粗心把$2M - N$看成了$2M + N$，求得结果为$-3x^2 + 2x - 1$，请你帮小马求出：
(1)多项式$N$.
(2)多项式$2M - N$的正确结果和当$x = -1$时，$2M - N$的值.
(1)多项式$N$.
(2)多项式$2M - N$的正确结果和当$x = -1$时，$2M - N$的值.
答案
(1)根据题意得$N=-3x^2+2x-1-2(2x^2-x-1)=-3x^2+2x-1-4x^2+2x+2=-7x^2+4x+1$。
(2)$2M-N=2(2x^2-x-1)-(-7x^2+4x+1)=4x^2-2x-2+7x^2-4x-1=11x^2-6x-3$。当$x=-1$时,$2M-N=11+6-3=14$。
(2)$2M-N=2(2x^2-x-1)-(-7x^2+4x+1)=4x^2-2x-2+7x^2-4x-1=11x^2-6x-3$。当$x=-1$时,$2M-N=11+6-3=14$。
10[2026河北保定期末]阅读材料:我们知道$4x-2x+x=(4-2+1)x=3x$,类似地,我们把$(a+b)$看成一个整体,则$4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)$.以上用到的“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用:
(1)把$(a-b)^2$看成一个整体,化简$-3(a-b)^2+5(a-b)^2+2(a-b)^2$的结果是
(2)已知$x^2-3y=-2$,求代数式$-2x^2+6y+5$的值;
(3)若$2a-b=-5,d-b=3$,请求出代数式$2a-d$的值.
尝试应用:
(1)把$(a-b)^2$看成一个整体,化简$-3(a-b)^2+5(a-b)^2+2(a-b)^2$的结果是
$4(a-b)^2$
;(2)已知$x^2-3y=-2$,求代数式$-2x^2+6y+5$的值;
(3)若$2a-b=-5,d-b=3$,请求出代数式$2a-d$的值.
答案
(1)原式$=(-3+5+2)(a-b)^2=4(a-b)^2$。故答案为$4(a-b)^2$。
(2)因为$x^2-3y=-2$,所以$-2(x^2-3y)=-2×(-2)$,即$-2x^2+6y=4$,所以$-2x^2+6y+5=4+5=9$。
(3)因为$2a-b=-5,d-b=3$,所以$(2a-b)-(d-b)=-5-3$,去括号得$2a-b-d+b=-5-3$,合并同类项得$2a-d=-8$。
(2)因为$x^2-3y=-2$,所以$-2(x^2-3y)=-2×(-2)$,即$-2x^2+6y=4$,所以$-2x^2+6y+5=4+5=9$。
(3)因为$2a-b=-5,d-b=3$,所以$(2a-b)-(d-b)=-5-3$,去括号得$2a-b-d+b=-5-3$,合并同类项得$2a-d=-8$。
11[2026安徽合肥期中]观察下列式子的规律:
第1个式子:$2x+1$；
第2个式子:$-4x^2+3$；
第3个式子:$8x^3+5$；
第4个式子:$-16x^4+7$；$···$
请根据上述规律回答下列问题:
(1)第6个式子为
(2)试找出规律,用含$n$的代数式表示第$n$个式子；
(3)当$x=-1$时,求前6个式子的和。
第1个式子:$2x+1$；
第2个式子:$-4x^2+3$；
第3个式子:$8x^3+5$；
第4个式子:$-16x^4+7$；$···$
请根据上述规律回答下列问题:
(1)第6个式子为
$-64x^6+11$
；(2)试找出规律,用含$n$的代数式表示第$n$个式子；
(3)当$x=-1$时,求前6个式子的和。
答案
(1)第6个式子为$-64x^6+11$。故答案为$-64x^6+11$。
(2)根据给定的式子可得对于第$n$个式子,含$x$部分的系数为$(-1)^{n+1}2^n$,$x$的次数为$n$,常数项为$2n-1$,所以第$n$个式子可表示为$(-1)^{n+1}2^nx^n+2n-1$。
(3)当$x=-1$时,前6个式子的值分别为$2×(-1)+1=-1$,$-4×(-1)^2+3=-1$,$8×(-1)^3+5=-3$,$-16×(-1)^4+7=-9$,$32×(-1)^5+9=-23$,$-64×(-1)^6+11=-53$,所以$-1-1-3-9-23-53=-90$。
(2)根据给定的式子可得对于第$n$个式子,含$x$部分的系数为$(-1)^{n+1}2^n$,$x$的次数为$n$,常数项为$2n-1$,所以第$n$个式子可表示为$(-1)^{n+1}2^nx^n+2n-1$。
(3)当$x=-1$时,前6个式子的值分别为$2×(-1)+1=-1$,$-4×(-1)^2+3=-1$,$8×(-1)^3+5=-3$,$-16×(-1)^4+7=-9$,$32×(-1)^5+9=-23$,$-64×(-1)^6+11=-53$,所以$-1-1-3-9-23-53=-90$。
12[2025福建厦门期末]一个四位数$m = 1000a+100b+10c+d$(其中$a,b,c,d$均为大于等于1且小于等于9的整数),若$a+b = k(c-d)$,且$k$为整数,称$m$为“$k$型数”.例如,$4675:4+6=5×(7-5)$,则$4675$为“$5$型数”;$3526:3+5=-2×(2-6)$,则$3526$为“$-2$型数”.
(1)判断$1731$与$3213$是否为“$k$型数”,若是,求出对应的$k$的值;
(2)若四位数$m$是十位和百位数字相同的“$3$型数”,$m-3$是“$-3$型数”,求满足条件的所有四位数$m$.
(1)判断$1731$与$3213$是否为“$k$型数”,若是,求出对应的$k$的值;
(2)若四位数$m$是十位和百位数字相同的“$3$型数”,$m-3$是“$-3$型数”,求满足条件的所有四位数$m$.
答案
(1)因为$1+7=4×(3-1)$,所以1731是“$k$型数”,$k=4$。因为$3+2=-\dfrac{5}{2}×(1-3)$,$-\dfrac{5}{2}$不是整数,所以3213不是“$k$型数”。
(2)设$m=1000a+100x+10x+d$,由$m-3$是“$-3$型数”,分两种情况讨论:
当$d≥3$时,$m-3=1000a+100x+10x+d-3$。因为$m$是“3型数”,所以$a+x=3(x-d)$。因为$m-3$是“$-3$型数”,所以$a+x=-3(x-d+3)$,所以$2d-2x=3$。因为$2d,2x$是偶数,所以不合题意,舍去。当$d＜3$时,$m-3=1000a+100x+10(x-1)+d+7$。因为$m$是“3型数”,所以$a+x=3(x-d)$。因为$m-3$是“$-3$型数”,所以$a+x=-3(x-1-d-7)$,所以$x-d=4$,所以当$d=1$时,$x=5,a=7$,此时$m=7551$;当$d=2$时,$x=6,a=6$,此时$m=6662$。综上所述,满足条件的四位数$m$是7551或6662。
(2)设$m=1000a+100x+10x+d$,由$m-3$是“$-3$型数”,分两种情况讨论:
当$d≥3$时,$m-3=1000a+100x+10x+d-3$。因为$m$是“3型数”,所以$a+x=3(x-d)$。因为$m-3$是“$-3$型数”,所以$a+x=-3(x-d+3)$,所以$2d-2x=3$。因为$2d,2x$是偶数,所以不合题意,舍去。当$d＜3$时,$m-3=1000a+100x+10(x-1)+d+7$。因为$m$是“3型数”,所以$a+x=3(x-d)$。因为$m-3$是“$-3$型数”,所以$a+x=-3(x-1-d-7)$,所以$x-d=4$,所以当$d=1$时,$x=5,a=7$,此时$m=7551$;当$d=2$时,$x=6,a=6$,此时$m=6662$。综上所述,满足条件的四位数$m$是7551或6662。
