登录
1. [2025河北中考]若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$，则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C 由方程$x(x+2)-3=0$,得到$x^2+2x-3=0$,$\therefore$ 两根之和$m$为$-2$,两根之积$n$为$-3$,$\therefore$ 点$(m,n)$在第三象限.
2. [2025重庆中考]某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 (
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
B
)A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
B 设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$x$,根据题意,得$25(1+x)^2=36$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去),$\therefore$ 该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.
3. [2025内江中考]若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 +2x +1=0$有实数根，则实数a的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
C $\because$ 关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根,$\therefore \begin{cases} a-1≠0, \\ \Delta=2^2-4(a-1) × 1 ≥ 0, \end{cases}$ 解得$a ≤ 2$且$a≠1$,$\therefore$ 实数$a$的取值范围是$a ≤ 2$且$a≠1$.
4. [2025南京中考]设方程$x^2 + 2x - 9 = 0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间，则$m=$
2
。答案
2 $x^2+2x-9=0$,移项,得$x^2+2x=9$,配方,得$x^2+2x+1=9+1$,即$(x+1)^2=10$,直接开平方,得$x+1=\pm \sqrt{10}$,解得$x_1=\sqrt{10}-1$,$x_2=-\sqrt{10}-1$.$\because 9＜10＜16$,$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$,$\therefore 2＜\sqrt{10}-1＜3$,$\therefore m=2$.
5. [2025宿迁中考]方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$,则$(m^2 - 2023m - 2026) · (n^2 - 2023n - 2026) =$
$-4048$
.答案
$-4\ 048$ $\because$ 方程$x^2-2\ 024x-2\ 025=0$的两个根分别是$m,n$,$\therefore m^2-2\ 024m-2\ 025=0$,$n^2-2\ 024n-2\ 025=0$,$m+n=2\ 024$,$mn=-2\ 025$,$\therefore m^2=2\ 024m+2\ 025$,$n^2=2\ 024n+2\ 025$,$\therefore (m^2-2\ 023m-2\ 026)(n^2-2\ 023n-2\ 026)=(2\ 024m+2\ 025-2\ 023m-2\ 026)(2\ 024n+2\ 025-2\ 023n-2\ 026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2\ 025-2\ 024+1=-4\ 048$.
6. 解方程：
(1) [2025无锡中考] $x^2 - 2x - 2 = 0$；
(2) [2025徐州中考] $x^2 + 2x - 4 = 0$。
(1) [2025无锡中考] $x^2 - 2x - 2 = 0$；
(2) [2025徐州中考] $x^2 + 2x - 4 = 0$。
答案
(1)原方程可变形为$(x-1)^2=3$,
$\therefore x-1=\pm \sqrt{3}$,
$\therefore x_1=1+\sqrt{3}$,$x_2=1-\sqrt{3}$.
(2)原方程可变形为$(x+1)^2=5$,
$\therefore x+1=\pm \sqrt{5}$,
$\therefore x_1=\sqrt{5}-1$,$x_2=-\sqrt{5}-1$.
$\therefore x-1=\pm \sqrt{3}$,
$\therefore x_1=1+\sqrt{3}$,$x_2=1-\sqrt{3}$.
(2)原方程可变形为$(x+1)^2=5$,
$\therefore x+1=\pm \sqrt{5}$,
$\therefore x_1=\sqrt{5}-1$,$x_2=-\sqrt{5}-1$.
7. [2025南充中考]设$x_1$,$x_2$是关于$x$的方程$(x-1)·(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2) 一题多解 求证:$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2) 一题多解 求证:$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$.
答案
(1)解:把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,
得$m^2=6$,$\therefore m=\pm \sqrt{6}$,
$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$,
$\therefore x_1=-1$,$x_2=4$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
$\because$ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$,
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
$\because m^2 ≥ 0$,$\therefore -m^2 ≤ 0$,即$(x_1-1)(x_2-1) ≤ 0$.
另解 $\because (x-1)(x-2)=m^2$,$\therefore (x-1)(x-1-1)=m^2$.
令$x-1=y$,则$y(y-1)=m^2$,即$y^2-y-m^2=0$.
$\because \Delta=(-1)^2-4 × 1 × (-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$ 设$y^2-y-m^2=0$的两个实数根是$y_1,y_2$,
则$y_1y_2=-m^2 ≤ 0$,即$(x_1-1)(x_2-1) ≤ 0$.
得$m^2=6$,$\therefore m=\pm \sqrt{6}$,
$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$,
$\therefore x_1=-1$,$x_2=4$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
$\because$ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$,
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
$\because m^2 ≥ 0$,$\therefore -m^2 ≤ 0$,即$(x_1-1)(x_2-1) ≤ 0$.
另解 $\because (x-1)(x-2)=m^2$,$\therefore (x-1)(x-1-1)=m^2$.
令$x-1=y$,则$y(y-1)=m^2$,即$y^2-y-m^2=0$.
$\because \Delta=(-1)^2-4 × 1 × (-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$ 设$y^2-y-m^2=0$的两个实数根是$y_1,y_2$,
则$y_1y_2=-m^2 ≤ 0$,即$(x_1-1)(x_2-1) ≤ 0$.
8. [2025淮安中考]某商店销售一种玩具,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如表:
(1)求y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)当玩具日销售额为300元时,求每件玩具的售价.
(1)求y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)当玩具日销售额为300元时,求每件玩具的售价.
答案
(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
将$(25,15)$,$(28,12)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases} 25k+b=15, \\ 28k+b=12, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=40, \end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+40$.
(2)根据题意,得$xy=300$,
即$x(-x+40)=300$,
整理,得$x^2-40x+300=0$,
解得$x_1=10$,$x_2=30$.
答:每件玩具的售价为10元或30元.
将$(25,15)$,$(28,12)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases} 25k+b=15, \\ 28k+b=12, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=40, \end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+40$.
(2)根据题意,得$xy=300$,
即$x(-x+40)=300$,
整理,得$x^2-40x+300=0$,
解得$x_1=10$,$x_2=30$.
答:每件玩具的售价为10元或30元.
