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1. 已知关于$x$的方程$kx^2 + (k+3)x + 3 = 0$.
(1)若该方程为一元二次方程,则$k$的取值范围是
(2)若$x=1$是方程的一个根,则$k$的值为
(3)若该方程有两个相等的实数根,则$k$的值为
(4)说明方程一定有实数根;
(5)若该方程的两个实数根都是整数,求整数$k$的值;
(6)若该方程的两个实数根分别为$α,β$,且满足$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + 1 = k^2$,则$k$的值为
(1)若该方程为一元二次方程,则$k$的取值范围是
$k≠0$
;(2)若$x=1$是方程的一个根,则$k$的值为
$-3$
,另一个根为$-1$
;(3)若该方程有两个相等的实数根,则$k$的值为
$3$
;(4)说明方程一定有实数根;
(5)若该方程的两个实数根都是整数,求整数$k$的值;
(6)若该方程的两个实数根分别为$α,β$,且满足$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + 1 = k^2$,则$k$的值为
$-\frac{1}{3}$
.答案
(1) $k≠0$
(2) $-3$；$-1$
将 $x=1$ 代入方程,得 $k+(k+3)+3=0$,解得 $k=-3$. 将 $k=-3$ 代入方程,得 $-3x^2 +3=0$,即 $x^2 -1=0$,解得 $x_1=1,x_2=-1$.故该方程的另一个根为 $-1$.
(3) $3$
$\because$ 该方程有两个相等的实数根,$\therefore$ 该方程为一元二次方程,且 $a=k,b=k+3,c=3,b^2-4ac=(k+3)^2 -4 × k × 3=(k-3)^2=0$,解得 $k_1=k_2=3$.
(4)分两种情况讨论:
①当该方程为一元一次方程,即 $k=0$ 时,原方程化为 $3x+3=0$,方程有实数根 $x=-1$.
②当该方程为一元二次方程,即 $k≠0$ 时,$a=k,b=k+3,c=3$,
$b^2-4ac=(k+3)^2 -4 × k × 3=(k-3)^2$.
$\because (k-3)^2 ≥ 0$,$\therefore$ 该方程有实数根.
综上所述,该方程一定有实数根.
(5)$kx^2 + (k+3)x + 3 = 0$,变形为 $(kx+3)(x+1)=0$,$k≠0$,解得 $x_1=-1,x_2=-\frac{3}{k}$.
$\because$ 该方程的两个实数根都是整数,$\therefore k= \pm 1$ 或 $\pm 3$.
(6) $-\frac{1}{3}$
$\because$ 该方程的两个实数根分别为 $α,β$,$\therefore$ 该方程为一元二次方程,即 $k≠0$. $\because a=k,b=k+3,c=3$,$\therefore α + β = -\frac{k+3}{k}$,$αβ=\frac{3}{k}$,则 $\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}=\frac{-\frac{k+3}{k}}{\frac{3}{k}}=-\frac{k+3}{3}$,$\therefore \frac{1}{α}+\frac{1}{β}+1=k^2$ 化为 $-\frac{k+3}{3}+1=k^2$,即 $3k^2 +k=0$,解得 $k_1=-\frac{1}{3}$,$k_2=0$(舍去),$\therefore k=-\frac{1}{3}$.
(2) $-3$；$-1$
将 $x=1$ 代入方程,得 $k+(k+3)+3=0$,解得 $k=-3$. 将 $k=-3$ 代入方程,得 $-3x^2 +3=0$,即 $x^2 -1=0$,解得 $x_1=1,x_2=-1$.故该方程的另一个根为 $-1$.
(3) $3$
$\because$ 该方程有两个相等的实数根,$\therefore$ 该方程为一元二次方程,且 $a=k,b=k+3,c=3,b^2-4ac=(k+3)^2 -4 × k × 3=(k-3)^2=0$,解得 $k_1=k_2=3$.
(4)分两种情况讨论:
①当该方程为一元一次方程,即 $k=0$ 时,原方程化为 $3x+3=0$,方程有实数根 $x=-1$.
②当该方程为一元二次方程,即 $k≠0$ 时,$a=k,b=k+3,c=3$,
$b^2-4ac=(k+3)^2 -4 × k × 3=(k-3)^2$.
$\because (k-3)^2 ≥ 0$,$\therefore$ 该方程有实数根.
综上所述,该方程一定有实数根.
(5)$kx^2 + (k+3)x + 3 = 0$,变形为 $(kx+3)(x+1)=0$,$k≠0$,解得 $x_1=-1,x_2=-\frac{3}{k}$.
$\because$ 该方程的两个实数根都是整数,$\therefore k= \pm 1$ 或 $\pm 3$.
(6) $-\frac{1}{3}$
$\because$ 该方程的两个实数根分别为 $α,β$,$\therefore$ 该方程为一元二次方程,即 $k≠0$. $\because a=k,b=k+3,c=3$,$\therefore α + β = -\frac{k+3}{k}$,$αβ=\frac{3}{k}$,则 $\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}=\frac{-\frac{k+3}{k}}{\frac{3}{k}}=-\frac{k+3}{3}$,$\therefore \frac{1}{α}+\frac{1}{β}+1=k^2$ 化为 $-\frac{k+3}{3}+1=k^2$,即 $3k^2 +k=0$,解得 $k_1=-\frac{1}{3}$,$k_2=0$(舍去),$\therefore k=-\frac{1}{3}$.
2. 某商场将进货价为30元/个的台灯以40元/个售出,1月销售400个,2月、3月这种台灯销售量持续增加,在售价不变的基础上,3月的销售量达到576个,设2月、3月销售量的月平均增长率不变.
(1)求2月、3月两个月销售量的月平均增长率.
(2)从4月起,在3月销售量的基础上,商场决定降价促销.经调查发现,售价在35元/个至40元/个范围内,这种台灯的售价每降价1元/个,其销售量会增加12个.这种台灯售价定为多少时,商场4月销售这种台灯能获利4 800元?
(3)若按(2)中条件降价销售,月利润是否能达到10 560元?说明理由.
(1)求2月、3月两个月销售量的月平均增长率.
(2)从4月起,在3月销售量的基础上,商场决定降价促销.经调查发现,售价在35元/个至40元/个范围内,这种台灯的售价每降价1元/个,其销售量会增加12个.这种台灯售价定为多少时,商场4月销售这种台灯能获利4 800元?
(3)若按(2)中条件降价销售,月利润是否能达到10 560元?说明理由.
答案
(1)设2月、3月两个月销售量的月平均增长率为$x$.
根据题意,得$400(1+x)^2=576$,
解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).
答:2月、3月两个月销售量的月平均增长率为20%.
(2)设这种台灯每个降价$y$元.
根据题意,得$(576+12y)(40-30-y)=4\ 800$,
解得$y_1=2$,$y_2=-40$(不符合题意,舍去).
$40-2=38$(元/个).
答:这种台灯售价定为38元/个时,商场4月销售这种台灯能获利4 800元.
(3)不能.理由如下:
设这种台灯每台降价$z$元,
根据题意,得$(576+12z)(40-30-z)=10\ 560$,
整理,得$z^2+38z+400=0$.
$\because a=1,b=38,c=400$,$b^2-4ac=-156＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根,
$\therefore$ 月利润不能达到10 560元.
根据题意,得$400(1+x)^2=576$,
解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).
答:2月、3月两个月销售量的月平均增长率为20%.
(2)设这种台灯每个降价$y$元.
根据题意,得$(576+12y)(40-30-y)=4\ 800$,
解得$y_1=2$,$y_2=-40$(不符合题意,舍去).
$40-2=38$(元/个).
答:这种台灯售价定为38元/个时,商场4月销售这种台灯能获利4 800元.
(3)不能.理由如下:
设这种台灯每台降价$z$元,
根据题意,得$(576+12z)(40-30-z)=10\ 560$,
整理,得$z^2+38z+400=0$.
$\because a=1,b=38,c=400$,$b^2-4ac=-156＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根,
$\therefore$ 月利润不能达到10 560元.
(4)为庆祝该商场开业10周年,吸引更多的顾客,该商场负责人决定在商场门口的广场上举办新品折扣活动.如图,矩形ABCD是该商场门口的广场的平面示意图,其中边AB的长为40 m,边BC的长为25 m,该广场内设有三个全等的矩形新品折扣区,每个新品折扣区的面积都为200 m²,阴影部分为宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.
答案
设人行通道的宽度为 $w$ m,则每个新品折扣区的长为 $(25-2w)\mathrm{m}$,宽为 $\frac{40-4w}{3}\mathrm{m}$.
依题意,得 $(25-2w)· \frac{40-4w}{3}=200$,
整理,得 $2w^2-45w+100=0$,
解得 $w_1=2.5$,$w_2=20$(不符合题意,舍去).
答:人行通道的宽度为2.5 m.
依题意,得 $(25-2w)· \frac{40-4w}{3}=200$,
整理,得 $2w^2-45w+100=0$,
解得 $w_1=2.5$,$w_2=20$(不符合题意,舍去).
答:人行通道的宽度为2.5 m.
