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1. [2026 广州大学附中期中] 如图,在四边形ABCD中,∠B = ∠C,AB = 20 cm,BC = 15 cm,E为AB的中点,点P在线段BC上以5 cm/s的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CD上由点C向点D运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为
$\boldsymbol{\dfrac{20}{3}}$
cm/s,运动时间为$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$
s时,能够使△BPE与△CQP全等.答案
1. 设点Q的运动时间为t s,运动速度为x cm/s,则CQ = xt cm,BP = 5t cm,CP = (15 - 5t) cm.
∵ E 为 AB 的中点,
∴ BE = 10 cm.
∵ ∠B = ∠C,
∴ 当 BE = CP,BP = CQ 时,△BEP≌△CPQ(SAS),即 10 = 15 - 5t,5t = xt,解得 t = 1,x = 5(舍去);当 BE = CQ,BP = CP 时,△BEP≌△CQP(SAS),即10 = xt,5t = 15 - 5t,解得 t = $\dfrac{3}{2}$,x = $\dfrac{20}{3}$. 综上所述,当点 Q 的运动速度为$\dfrac{20}{3}$ cm/s,运动时间为$\dfrac{3}{2}$ s 时,能够使△BPE与△CQP全等.
∵ E 为 AB 的中点,
∴ BE = 10 cm.
∵ ∠B = ∠C,
∴ 当 BE = CP,BP = CQ 时,△BEP≌△CPQ(SAS),即 10 = 15 - 5t,5t = xt,解得 t = 1,x = 5(舍去);当 BE = CQ,BP = CP 时,△BEP≌△CQP(SAS),即10 = xt,5t = 15 - 5t,解得 t = $\dfrac{3}{2}$,x = $\dfrac{20}{3}$. 综上所述,当点 Q 的运动速度为$\dfrac{20}{3}$ cm/s,运动时间为$\dfrac{3}{2}$ s 时,能够使△BPE与△CQP全等.
解析
【分析】
这是全等三角形结合动点的问题，解题思路如下：1. 先设运动时间为t s，Q的速度为x cm/s，用含t、x的式子分别表示出BP、CP、CQ的长度，再根据E是AB中点求出BE的长度；2. 已知∠B=∠C，要使△BPE和△CQP全等，满足SAS判定的话有两种边的对应情况：①BE=CP且BP=CQ，②BE=CQ且BP=CP；3. 结合题目“点Q的运动速度与点P的运动速度不相等”的条件，排除不符合的情况，求解剩余情况的t和x即可。
【解析】
设点Q的运动时间为t s，运动速度为x cm/s。
由题意得：$BP = 5t\ \mathrm{cm}$，$CQ = xt\ \mathrm{cm}$，$CP = BC - BP = (15 - 5t)\ \mathrm{cm}$。
∵E为AB的中点，$AB=20\ \mathrm{cm}$，
∴$BE = \frac{1}{2}AB = 10\ \mathrm{cm}$。
∵∠B = ∠C，两个三角形全等需满足SAS判定，分两种情况讨论：
情况1：当$BE=CP$，$BP=CQ$时，$△ BEP≌△ CPQ$（SAS），
列方程得：$\begin{cases}10 = 15 - 5t \\5t = xt \end{cases}$，
解得$t=1$，$x=5$，
∵题目要求Q与P运动速度不相等，
∴$x=5$不符合题意，舍去；
情况2：当$BE=CQ$，$BP=CP$时，$△ BEP≌△ CQP$（SAS），
列方程得：$\begin{cases}10 = xt \\5t = 15 - 5t \end{cases}$，
由$5t=15-5t$解得$t=\frac{3}{2}$，将$t=\frac{3}{2}$代入$10=xt$，得$x=\frac{10}{\frac{3}{2}}=\frac{20}{3}$，符合题意。
【答案】
$\frac{20}{3}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
全等三角形SAS判定，动态几何问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是全等三角形动态问题的典型题型，解题时需先将动态线段用参数表示，再结合全等判定条件分类讨论对应边，同时要注意题目给出的限制条件，排除不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
这是全等三角形结合动点的问题，解题思路如下：1. 先设运动时间为t s，Q的速度为x cm/s，用含t、x的式子分别表示出BP、CP、CQ的长度，再根据E是AB中点求出BE的长度；2. 已知∠B=∠C，要使△BPE和△CQP全等，满足SAS判定的话有两种边的对应情况：①BE=CP且BP=CQ，②BE=CQ且BP=CP；3. 结合题目“点Q的运动速度与点P的运动速度不相等”的条件，排除不符合的情况，求解剩余情况的t和x即可。
【解析】
设点Q的运动时间为t s，运动速度为x cm/s。
由题意得：$BP = 5t\ \mathrm{cm}$，$CQ = xt\ \mathrm{cm}$，$CP = BC - BP = (15 - 5t)\ \mathrm{cm}$。
∵E为AB的中点，$AB=20\ \mathrm{cm}$，
∴$BE = \frac{1}{2}AB = 10\ \mathrm{cm}$。
∵∠B = ∠C，两个三角形全等需满足SAS判定，分两种情况讨论：
情况1：当$BE=CP$，$BP=CQ$时，$△ BEP≌△ CPQ$（SAS），
列方程得：$\begin{cases}10 = 15 - 5t \\5t = xt \end{cases}$，
解得$t=1$，$x=5$，
∵题目要求Q与P运动速度不相等，
∴$x=5$不符合题意，舍去；
情况2：当$BE=CQ$，$BP=CP$时，$△ BEP≌△ CQP$（SAS），
列方程得：$\begin{cases}10 = xt \\5t = 15 - 5t \end{cases}$，
由$5t=15-5t$解得$t=\frac{3}{2}$，将$t=\frac{3}{2}$代入$10=xt$，得$x=\frac{10}{\frac{3}{2}}=\frac{20}{3}$，符合题意。
【答案】
$\frac{20}{3}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
全等三角形SAS判定，动态几何问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是全等三角形动态问题的典型题型，解题时需先将动态线段用参数表示，再结合全等判定条件分类讨论对应边，同时要注意题目给出的限制条件，排除不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
2. 易错题 [2025 常州北郊中学期中] 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, AC = 8 \mathrm{ cm}, BC = 14 \mathrm{ cm}$, 点 P 从 A 点出发沿 $A \to C \to B$ 路径向终点运动,终点为 B 点,点 Q 从 B 点出发沿 $B \to C \to A$ 路径向终点运动,终点为 A 点,点 P,Q 分别以 2 cm/s 和 3 cm/s的运动速度同时开始运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过点 P,Q 作 $PE ⊥ l$ 于点 E, $QF ⊥ l$ 于点 F. 设运动时间为 t s,要使以点 P,E,C 为顶点的三角形与以点 Q,F,C 为顶点的三角形全等,则 t 的值为
$\boldsymbol{\dfrac{22}{5}}$或6或8
. 答案
2.
∵ PE ⊥ l 于点 E,QF ⊥ l 于点 F,
∴ ∠PEC = ∠CFQ = 90°,
∴ ∠QCF + ∠CQF = 90°.
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠PCE + ∠QCF = 90°,
∴ ∠PCE = ∠CQF. ①当 0 ≤ t ＜ 4时,点 P 在 AC 上,点 Q 在 BC 上,此时 CP = (8 - 2t) cm,CQ = (14 - 3t) cm,如图1,当 PC = CQ,即 8 - 2t = 14 - 3t 时,解得 t = 6,不合题意,舍去;②当4 ≤ t ＜ $\dfrac{14}{3}$时,点 P 在 BC 上,点 Q 也在 BC 上,CP = (2t - 8) cm,CQ = (14 - 3t) cm,如图2,若 PC = QC,则点 P 与点 Q 重合,即 2t - 8 = 14 - 3t,解得 t = $\dfrac{22}{5}$;③当$\dfrac{14}{3}$ ≤ t ＜ $\dfrac{22}{3}$时,点 P 在 BC 上,点 Q 在 AC 上,CP = (2t - 8) cm,QC = (3t - 14) cm,如图3,当 PC = CQ,即 2t - 8 = 3t - 14 时,解得 t = 6;④当$\dfrac{22}{3}$ ≤ t ＜ 11 时,点 Q 停在点 A 处,点 P 在 BC 上,QC = 8 cm,CP = (2t - 8) cm,如图4,当 PC = CQ,即2t - 8 = 8 时,解得 t = 8. 综上所述,当 t 的值为$\dfrac{22}{5}$或6或8时,以点 P,E,C 为顶点的三角形与以点 Q,F,C 为顶点的三角形全等.
解析
【分析】
要解决本题，首先确定两个直角三角形全等的条件：由PE⊥l、QF⊥l和∠ACB=90°，可推出∠PCE=∠CQF，结合两个直角相等，可知△PEC和△CFQ全等只需满足斜边PC=CQ即可。接下来根据点P、Q的运动路径和速度，划分不同的时间区间讨论两点所在的线段，用含t的代数式分别表示PC、CQ的长度，列方程求解后验证解是否在对应时间区间内，不符合的舍去，同时注意动点到达终点后会停止运动，不要遗漏该特殊情况。
【解析】
∵ PE ⊥ l 于点 E，QF ⊥ l 于点 F，
∴ ∠PEC = ∠CFQ = 90°，
∴ ∠QCF + ∠CQF = 90°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠PCE + ∠QCF = 90°，
∴ ∠PCE = ∠CQF。
要使△PEC≌△CFQ，只需PC=CQ，分情况讨论：
① 当 0 ≤ t ＜ 4时，点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上，此时 CP = (8 - 2t) cm，CQ = (14 - 3t) cm，
令8 - 2t = 14 - 3t，解得t = 6，不在0 ≤ t ＜ 4范围内，不合题意，舍去；
② 当4 ≤ t ＜ $\dfrac{14}{3}$时，点 P 在 BC 上，点 Q 也在 BC 上，CP = (2t - 8) cm，CQ = (14 - 3t) cm，
令2t - 8 = 14 - 3t，解得t = $\dfrac{22}{5}$，符合该区间要求；
③ 当$\dfrac{14}{3}$ ≤ t ＜ $\dfrac{22}{3}$时，点 P 在 BC 上，点 Q 在 AC 上，CP = (2t - 8) cm，QC = (3t - 14) cm，
令2t - 8 = 3t - 14，解得t = 6，符合该区间要求；
④ 当$\dfrac{22}{3}$ ≤ t ＜ 11 时，点 Q 到达终点A停止运动，QC = AC = 8 cm，点 P 在 BC 上，CP = (2t - 8) cm，
令2t - 8 = 8，解得t = 8，符合该区间要求。
综上所述，t的值为$\dfrac{22}{5}$或6或8。
【答案】
$\boldsymbol{t=\dfrac{22}{5}}$或$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{8}$
【知识点】
全等三角形判定，直角三角形性质，分类讨论
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型习题，解题关键是根据动点的运动位置划分合理的时间区间，用含t的代数式表示对应线段长度，求解后要验证解是否符合对应区间的限制条件，同时需注意动点到达终点后停止运动的特殊情况，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先确定两个直角三角形全等的条件：由PE⊥l、QF⊥l和∠ACB=90°，可推出∠PCE=∠CQF，结合两个直角相等，可知△PEC和△CFQ全等只需满足斜边PC=CQ即可。接下来根据点P、Q的运动路径和速度，划分不同的时间区间讨论两点所在的线段，用含t的代数式分别表示PC、CQ的长度，列方程求解后验证解是否在对应时间区间内，不符合的舍去，同时注意动点到达终点后会停止运动，不要遗漏该特殊情况。
【解析】
∵ PE ⊥ l 于点 E，QF ⊥ l 于点 F，
∴ ∠PEC = ∠CFQ = 90°，
∴ ∠QCF + ∠CQF = 90°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠PCE + ∠QCF = 90°，
∴ ∠PCE = ∠CQF。
要使△PEC≌△CFQ，只需PC=CQ，分情况讨论：
① 当 0 ≤ t ＜ 4时，点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上，此时 CP = (8 - 2t) cm，CQ = (14 - 3t) cm，
令8 - 2t = 14 - 3t，解得t = 6，不在0 ≤ t ＜ 4范围内，不合题意，舍去；
② 当4 ≤ t ＜ $\dfrac{14}{3}$时，点 P 在 BC 上，点 Q 也在 BC 上，CP = (2t - 8) cm，CQ = (14 - 3t) cm，
令2t - 8 = 14 - 3t，解得t = $\dfrac{22}{5}$，符合该区间要求；
③ 当$\dfrac{14}{3}$ ≤ t ＜ $\dfrac{22}{3}$时，点 P 在 BC 上，点 Q 在 AC 上，CP = (2t - 8) cm，QC = (3t - 14) cm，
令2t - 8 = 3t - 14，解得t = 6，符合该区间要求；
④ 当$\dfrac{22}{3}$ ≤ t ＜ 11 时，点 Q 到达终点A停止运动，QC = AC = 8 cm，点 P 在 BC 上，CP = (2t - 8) cm，
令2t - 8 = 8，解得t = 8，符合该区间要求。
综上所述，t的值为$\dfrac{22}{5}$或6或8。
【答案】
$\boldsymbol{t=\dfrac{22}{5}}$或$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{8}$
【知识点】
全等三角形判定，直角三角形性质，分类讨论
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型习题，解题关键是根据动点的运动位置划分合理的时间区间，用含t的代数式表示对应线段长度，求解后要验证解是否符合对应区间的限制条件，同时需注意动点到达终点后停止运动的特殊情况，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.4
变式 如图,直线$PQ$经过$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角顶点$C$,$△ ABC$的边上有两个动点$D$,$E$,点$D$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$A$出发,沿$AC\rightarrow CB$移动到点$B$,点$E$以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$B$出发,沿$BC\rightarrow CA$移动到点$A$,两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点$D$,$E$分别作$DM⊥ PQ$,$EN⊥ PQ$,垂足分别为$M$,$N$.若$AC=12\ \mathrm{cm}$,$BC=16\ \mathrm{cm}$,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,当以点$D$,$M$,$C$为顶点的三角形与以点$E$,$N$,$C$为顶点的三角形全等时,求此时$t$的值. 
答案
解:当点 D 移动到点 C 时,$t = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6(\mathrm{s})$;移动到点 B 时,$t = \dfrac{AC + CB}{2} = \dfrac{12 + 16}{2} = 14(\mathrm{s})$.
当点 E 移动到点 C 时,$t = \dfrac{BC}{3} = \dfrac{16}{3}(\mathrm{s})$;移动到点 A 时,$t = \dfrac{CB + AC}{3} = \dfrac{16 + 12}{3} = \dfrac{28}{3}(\mathrm{s})$.
分为以下情况:
①当点 E 在 BC 上,点 D 在 AC 上,即 0 ＜ t ≤ $\dfrac{16}{3}$时,如图1,此时 CE = (16 - 3t) cm,CD = (12 - 2t) cm.
∵ 以点 D,M,C 为顶点的三角形与以点 E,N,C 为顶点的三角形全等,
∴ △DMC≌△CNE,
∴ CD = CE,
∴ 12 - 2t = 16 - 3t,
∴ t = 4.
②当点 E 在 AC 上,点 D 在 AC 上,即$\dfrac{16}{3}$ ＜ t ＜ 6 时,如图2,此时 CE = (3t - 16) cm,CD = (12 - 2t) cm.
∵ 以点 D,M,C 为顶点的三角形与以点 E,N,C 为顶点的三角形全等,
∴ △DMC≌△ENC,
∴ CD = CE,
∴ 12 - 2t = 3t - 16,
∴ t = $\dfrac{28}{5}$.
③当点 E 在 AC 上,点 D 在 BC 上,即 6 ≤ t ＜ $\dfrac{28}{3}$时,如图3,此时 CE = (3t - 16) cm,CD = (2t - 12) cm.
∵ 以点 D,M,C 为顶点的三角形与以点 E,N,C 为顶点的三角形全等,
∴ △DMC≌△CNE,
∴ CD = CE,
∴ 2t - 12 = 3t - 16,
∴ t = 4(不符合题意).
④当点 E 到达点 A 后,点 D 在 BC 上,即$\dfrac{28}{3}$ ≤ t ≤ 14 时,如图4,此时 CE = 12 cm,CD = (2t - 12) cm.
∵ 以点 D,M,C 为顶点的三角形与以点 E,N,C 为顶点的三角形全等,
∴ △DMC≌△CNE,
∴ CD = CE,
∴ 2t - 12 = 12,
∴ t = 12.
综上所述,当 t 的值为 4 或$\dfrac{28}{5}$或 12 时,以点 D,M,C 为顶点的三角形与以点 E,N,C 为顶点的三角形全等.
解析
【分析】
本题是全等三角形结合动点的综合问题，解题思路如下：第一步先计算两个动点到达路径拐点（点C）和终点的时间，以此为依据划分不同的运动时间段；第二步在每个时间段内，分别用含t的代数式表示出CD和CE的长度；第三步由于△DMC和△ENC都是直角三角形，二者全等时斜边CD=CE，据此列方程求解；第四步检验求出的t是否符合对应时间段的范围，舍去不符合的解，最终得到所有符合要求的t值。
【解析】
首先计算各运动节点的时间：
点D从A到C的时间：$ t=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s} $，从A到B的总时间：$ t=\frac{AC+CB}{2}=\frac{12+16}{2}=14\ \mathrm{s} $；
点E从B到C的时间：$ t=\frac{BC}{3}=\frac{16}{3}\ \mathrm{s} $，从B到A的总时间：$ t=\frac{CB+AC}{3}=\frac{16+12}{3}=\frac{28}{3}\ \mathrm{s} $。
分以下4种情况讨论：
①当$ 0＜ t ≤ \frac{16}{3} $时，E在BC上，D在AC上，如图1：
此时$ CE=(16-3t)\ \mathrm{cm} $，$ CD=(12-2t)\ \mathrm{cm} $。
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等，
∴$ CD=CE $，
列方程：$ 12-2t=16-3t $，解得$ t=4 $，符合该区间范围。
②当$ \frac{16}{3}＜ t ＜6 $时，E在AC上，D在AC上，如图2：
此时$ CE=(3t-16)\ \mathrm{cm} $，$ CD=(12-2t)\ \mathrm{cm} $。
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等，
∴$ CD=CE $，
列方程：$ 12-2t=3t-16 $，解得$ t=\frac{28}{5} $，符合该区间范围。
③当$ 6≤ t ＜\frac{28}{3} $时，E在AC上，D在BC上，如图3：
此时$ CE=(3t-16)\ \mathrm{cm} $，$ CD=(2t-12)\ \mathrm{cm} $。
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等，
∴$ CD=CE $，
列方程：$ 2t-12=3t-16 $，解得$ t=4 $，不在该区间范围内，舍去。
④当$ \frac{28}{3}≤ t ≤14 $时，E已到达终点A，D在BC上，如图4：
此时$ CE=12\ \mathrm{cm} $，$ CD=(2t-12)\ \mathrm{cm} $。
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等，
∴$ CD=CE $，
列方程：$ 2t-12=12 $，解得$ t=12 $，符合该区间范围。
【答案】
$ t $的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\dfrac{28}{5}}$或$\boldsymbol{12}$
【知识点】
全等三角形的性质，动态几何分类讨论，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于全等三角形的动态综合题，解题核心是根据动点的运动阶段分类讨论，结合全等三角形对应边相等的性质建立方程求解，解题时要注意验证解是否符合对应时间段的取值范围，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.4
本题是全等三角形结合动点的综合问题，解题思路如下：第一步先计算两个动点到达路径拐点（点C）和终点的时间，以此为依据划分不同的运动时间段；第二步在每个时间段内，分别用含t的代数式表示出CD和CE的长度；第三步由于△DMC和△ENC都是直角三角形，二者全等时斜边CD=CE，据此列方程求解；第四步检验求出的t是否符合对应时间段的范围，舍去不符合的解，最终得到所有符合要求的t值。
【解析】
首先计算各运动节点的时间：
点D从A到C的时间：$ t=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s} $，从A到B的总时间：$ t=\frac{AC+CB}{2}=\frac{12+16}{2}=14\ \mathrm{s} $；
点E从B到C的时间：$ t=\frac{BC}{3}=\frac{16}{3}\ \mathrm{s} $，从B到A的总时间：$ t=\frac{CB+AC}{3}=\frac{16+12}{3}=\frac{28}{3}\ \mathrm{s} $。
分以下4种情况讨论：
①当$ 0＜ t ≤ \frac{16}{3} $时，E在BC上，D在AC上，如图1：
此时$ CE=(16-3t)\ \mathrm{cm} $，$ CD=(12-2t)\ \mathrm{cm} $。
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等，
∴$ CD=CE $，
列方程：$ 12-2t=16-3t $，解得$ t=4 $，符合该区间范围。
②当$ \frac{16}{3}＜ t ＜6 $时，E在AC上，D在AC上，如图2：
此时$ CE=(3t-16)\ \mathrm{cm} $，$ CD=(12-2t)\ \mathrm{cm} $。
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等，
∴$ CD=CE $，
列方程：$ 12-2t=3t-16 $，解得$ t=\frac{28}{5} $，符合该区间范围。
③当$ 6≤ t ＜\frac{28}{3} $时，E在AC上，D在BC上，如图3：
此时$ CE=(3t-16)\ \mathrm{cm} $，$ CD=(2t-12)\ \mathrm{cm} $。
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等，
∴$ CD=CE $，
列方程：$ 2t-12=3t-16 $，解得$ t=4 $，不在该区间范围内，舍去。
④当$ \frac{28}{3}≤ t ≤14 $时，E已到达终点A，D在BC上，如图4：
此时$ CE=12\ \mathrm{cm} $，$ CD=(2t-12)\ \mathrm{cm} $。
∵以点D,M,C为顶点的三角形与以点E,N,C为顶点的三角形全等，
∴$ CD=CE $，
列方程：$ 2t-12=12 $，解得$ t=12 $，符合该区间范围。
【答案】
$ t $的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\dfrac{28}{5}}$或$\boldsymbol{12}$
【知识点】
全等三角形的性质，动态几何分类讨论，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于全等三角形的动态综合题，解题核心是根据动点的运动阶段分类讨论，结合全等三角形对应边相等的性质建立方程求解，解题时要注意验证解是否符合对应时间段的取值范围，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.4
3. [2026无锡江阴期中] 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 68°$,BD平分$∠ ABC$,P为线段BD上一动点,Q为边AB上一动点,当$AP + PQ$的值最小时,$∠ APQ$的度数为 (
A.$34°$
B.$68°$
C.$56°$
D.$90°$
B
)A.$34°$
B.$68°$
C.$56°$
D.$90°$
答案
3. 如图,在 BC 上截取 BE = BQ,连接 PE(利用截长法构造全等三角形).
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠CBD = $\dfrac{1}{2}$∠ABC = 34°.
∵ BQ = BE,∠QBP = ∠EBP,BP = BP,
∴ △BQP≌△BEP(SAS),
∴ PQ = PE,
∴ AP + PQ = AP + PE.
当点 A,P,E 在同一直线上,且 AE ⊥ BC 时,AP + PE 的值最小,即 AP + PQ 的值最小.
∵ ∠CBD = 34°,
∴ ∠BPE = 90° - 34° = 56°,
∴ ∠BPQ = ∠BPE = 56°,
∴ ∠APQ = 180° - ∠BPQ - ∠BPE = 68°.
解析
【分析】
本题属于线段和最小值与全等三角形结合的题型，解题思路如下：首先观察到BD是∠ABC的角平分线，可通过截长法构造全等三角形，将PQ转化为相等的线段PE，把AP+PQ转化为AP+PE；接下来根据最短路径原理，两点之间线段最短且点到直线的距离垂线段最短，可知当A、P、E三点共线且AE垂直BC时，AP+PE的值最小；最后结合全等三角形的性质和角度和差关系计算∠APQ的度数即可。
【解析】
解：如图，在BC上截取BE = BQ，连接PE。
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=68°
∴ ∠ABD = ∠CBD = $\dfrac{1}{2}$∠ABC = 34°
在△BQP和△BEP中：
$\{\begin{array}{l}BQ=BE\\ ∠ QBP=∠ EBP\\ BP=BP\end{array} $
∴ △BQP≌△BEP（SAS）
∴ PQ = PE，即AP + PQ = AP + PE
根据两点之间线段最短、垂线段最短，当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小。
此时∠PEB=90°，在Rt△BEP中：
∠BPE = 90° - ∠CBD = 90° - 34° = 56°
由△BQP≌△BEP得∠BPQ = ∠BPE = 56°
∴ ∠APQ = 180° - ∠BPQ - ∠BPE = 180° - 56° - 56° = 68°
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形与最短路径结合的典型题目，解题核心是利用角平分线的条件构造全等三角形实现线段的转化，将折线和的最小值问题转化为熟悉的垂线段最短问题，同时需要结合角度运算得到最终结果，对几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于线段和最小值与全等三角形结合的题型，解题思路如下：首先观察到BD是∠ABC的角平分线，可通过截长法构造全等三角形，将PQ转化为相等的线段PE，把AP+PQ转化为AP+PE；接下来根据最短路径原理，两点之间线段最短且点到直线的距离垂线段最短，可知当A、P、E三点共线且AE垂直BC时，AP+PE的值最小；最后结合全等三角形的性质和角度和差关系计算∠APQ的度数即可。
【解析】
解：如图，在BC上截取BE = BQ，连接PE。
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=68°
∴ ∠ABD = ∠CBD = $\dfrac{1}{2}$∠ABC = 34°
在△BQP和△BEP中：
$\{\begin{array}{l}BQ=BE\\ ∠ QBP=∠ EBP\\ BP=BP\end{array} $
∴ △BQP≌△BEP（SAS）
∴ PQ = PE，即AP + PQ = AP + PE
根据两点之间线段最短、垂线段最短，当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小。
此时∠PEB=90°，在Rt△BEP中：
∠BPE = 90° - ∠CBD = 90° - 34° = 56°
由△BQP≌△BEP得∠BPQ = ∠BPE = 56°
∴ ∠APQ = 180° - ∠BPQ - ∠BPE = 180° - 56° - 56° = 68°
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形与最短路径结合的典型题目，解题核心是利用角平分线的条件构造全等三角形实现线段的转化，将折线和的最小值问题转化为熟悉的垂线段最短问题，同时需要结合角度运算得到最终结果，对几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4. [2026常州金坛区期中]如图，$∠ ACF$是$△ ABC$的外角，$CD$平分$∠ ACF$，且$CD$与$BA$的延长线交于点$D$，$E$是线段$CD$上的一个动点(点$E$不与点$C,D$重合).若$EA=2$,$EB=7$,设$CA+CB=t$,则$t$的取值范围是
$\boldsymbol{5 ＜ t ＜ 9}$
.答案
4. 如图,在 CF 上截取 CG = CA,连接 EG.
∵ CD 平分∠ACF,
∴ ∠ACE = ∠ECF.
∵ AC = GC,∠ACE = ∠GCE,CE = CE,
∴ △ACE≌△GCE(SAS),
∴ AE = GE.
∵ EA = 2,EB = 7,
∴ EG = EA = 2.
∵ BE - EG ＜ BG ＜ BE + EG,即 7 - 2 ＜ BC + CG ＜ 7 + 2,
∴ 5 ＜ CA + CB ＜ 9,即 5 ＜ t ＜ 9.
解析
【分析】
本题求解CA+CB的取值范围，可按如下思路思考：首先看到CD是∠ACF的角平分线，可通过构造全等三角形转化线段：在CF上截取CG=CA，利用SAS可证△ACE与△GCE全等，即可将CA转化为CG、EA转化为EG；此时CA+CB可转化为BC+CG=BG，问题转化为求BG的取值范围；最后在△BEG中利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，代入已知线段长度即可得到t的取值范围。
【解析】
解：如图，在CF上截取CG = CA，连接EG。
∵ CD平分∠ACF，
∴ ∠ACE = ∠ECG。
在△ACE和△GCE中：
$\{\begin{array}{l}AC = GC \\∠ACE = ∠GCE \\CE = CE\end{array} $
∴ △ACE≌△GCE(SAS)，
∴ AE = GE。
已知EA = 2，EB = 7，
∴ EG = EA = 2。
根据三角形三边关系，在△BEG中：
$BE - EG ＜ BG ＜ BE + EG$，
又
∵ $BG = BC + CG = BC + CA$，
代入数值可得：$7 - 2 ＜ BC + CA ＜ 7 + 2$，
∴ $5 ＜ CA + CB ＜ 9$，即$5 ＜ t ＜ 9$。
【答案】
$5＜t＜9$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于全等三角形与三角形三边关系的综合题，解题的关键是结合角平分线的条件，通过截长补短法构造全等三角形，将分散的线段合并转化为同一三角形内的线段，再利用三角形三边关系求解取值范围，这类构造全等的方法是角平分线相关题型的常用技巧。
【难度系数】
0.6
本题求解CA+CB的取值范围，可按如下思路思考：首先看到CD是∠ACF的角平分线，可通过构造全等三角形转化线段：在CF上截取CG=CA，利用SAS可证△ACE与△GCE全等，即可将CA转化为CG、EA转化为EG；此时CA+CB可转化为BC+CG=BG，问题转化为求BG的取值范围；最后在△BEG中利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，代入已知线段长度即可得到t的取值范围。
【解析】
解：如图，在CF上截取CG = CA，连接EG。
∵ CD平分∠ACF，
∴ ∠ACE = ∠ECG。
在△ACE和△GCE中：
$\{\begin{array}{l}AC = GC \\∠ACE = ∠GCE \\CE = CE\end{array} $
∴ △ACE≌△GCE(SAS)，
∴ AE = GE。
已知EA = 2，EB = 7，
∴ EG = EA = 2。
根据三角形三边关系，在△BEG中：
$BE - EG ＜ BG ＜ BE + EG$，
又
∵ $BG = BC + CG = BC + CA$，
代入数值可得：$7 - 2 ＜ BC + CA ＜ 7 + 2$，
∴ $5 ＜ CA + CB ＜ 9$，即$5 ＜ t ＜ 9$。
【答案】
$5＜t＜9$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于全等三角形与三角形三边关系的综合题，解题的关键是结合角平分线的条件，通过截长补短法构造全等三角形，将分散的线段合并转化为同一三角形内的线段，再利用三角形三边关系求解取值范围，这类构造全等的方法是角平分线相关题型的常用技巧。
【难度系数】
0.6
