登录
1. 一题多解 如图，$AB = AC$，$BD = CD$，$DE ⊥ AB$ 交AB的延长线于点 E，$DF ⊥ AC$ 交 AC 的延长线于点 F. 求证: $DE = DF$. 
答案
1. 证明：
通解 连接 AD.
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACD(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ ABD = ∠ ACD,\therefore ∠ DBE = ∠ DCF.$
又$\because ∠ DEB = ∠ DFC = 90°,DB = DC,$
$\therefore △ DEB≌ △ DFC(\mathrm{AAS}),\therefore DE = DF.$
另解 同上可证$△ ABD≌ △ ACD$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD.$
又$\because ∠ E = ∠ F = 90°,AD = AD,$
$\therefore △ ADE≌ △ ADF(\mathrm{AAS}),\therefore DE = DF.$
通解 连接 AD.
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACD(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ ABD = ∠ ACD,\therefore ∠ DBE = ∠ DCF.$
又$\because ∠ DEB = ∠ DFC = 90°,DB = DC,$
$\therefore △ DEB≌ △ DFC(\mathrm{AAS}),\therefore DE = DF.$
另解 同上可证$△ ABD≌ △ ACD$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD.$
又$\because ∠ E = ∠ F = 90°,AD = AD,$
$\therefore △ ADE≌ △ ADF(\mathrm{AAS}),\therefore DE = DF.$
解析
【分析】
要证明两条垂线段$DE$和$DF$相等，常用思路有两种：一是证明两条线段所在的三角形全等，二是利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）。观察已知条件，$AB=AC$、$BD=CD$，还有公共边$AD$，因此首先考虑连接$AD$构造全等三角形。先通过SSS证明$△ ABD≌△ ACD$得到对应角相等，后续有两种推导方向：①得到$∠ DBE=∠ DCF$，结合垂直条件和$BD=CD$，用AAS证明$△ DEB≌△ DFC$，可得$DE=DF$；②得到$AD$平分$∠ EAF$，结合垂直条件，要么用AAS证明$△ ADE≌△ ADF$，要么直接用角平分线的性质得到$DE=DF$。
【解析】
方法1（通解）：
连接$AD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABD = ∠ACD$，
$\therefore 180°-∠ABD = 180°-∠ACD$，即$∠DBE = ∠DCF$。
$\because DE ⊥ AB$交$AB$延长线于点$E$，$DF ⊥ AC$交$AC$延长线于点$F$，
$\therefore ∠DEB = ∠DFC = 90°$，
在$△ DEB$和$△ DFC$中，
$\begin{cases} ∠DEB = ∠DFC, \\ ∠DBE = ∠DCF, \\ BD = CD, \end{cases}$
$\therefore △ DEB≌ △ DFC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE = DF$。
方法2（另解）：
连接$AD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠BAD = ∠CAD$，即$AD$平分$∠EAF$。
$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore ∠E = ∠F = 90°$，
在$△ ADE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases} ∠E = ∠F, \\ ∠EAD = ∠FAD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ ADF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE = DF$。
（也可直接由角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，直接得出$DE=DF$）
【答案】
$DE=DF$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，构造全等辅助线
【点评】
本题是构造全等三角形的典型基础题，通过连接公共边作为辅助线构造全等得到等角，结合垂直条件即可推导结论，一题多解的设置能帮助学生灵活运用全等、角平分线相关知识，拓宽解题思路。
【难度系数】
0.7
要证明两条垂线段$DE$和$DF$相等，常用思路有两种：一是证明两条线段所在的三角形全等，二是利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）。观察已知条件，$AB=AC$、$BD=CD$，还有公共边$AD$，因此首先考虑连接$AD$构造全等三角形。先通过SSS证明$△ ABD≌△ ACD$得到对应角相等，后续有两种推导方向：①得到$∠ DBE=∠ DCF$，结合垂直条件和$BD=CD$，用AAS证明$△ DEB≌△ DFC$，可得$DE=DF$；②得到$AD$平分$∠ EAF$，结合垂直条件，要么用AAS证明$△ ADE≌△ ADF$，要么直接用角平分线的性质得到$DE=DF$。
【解析】
方法1（通解）：
连接$AD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABD = ∠ACD$，
$\therefore 180°-∠ABD = 180°-∠ACD$，即$∠DBE = ∠DCF$。
$\because DE ⊥ AB$交$AB$延长线于点$E$，$DF ⊥ AC$交$AC$延长线于点$F$，
$\therefore ∠DEB = ∠DFC = 90°$，
在$△ DEB$和$△ DFC$中，
$\begin{cases} ∠DEB = ∠DFC, \\ ∠DBE = ∠DCF, \\ BD = CD, \end{cases}$
$\therefore △ DEB≌ △ DFC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE = DF$。
方法2（另解）：
连接$AD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠BAD = ∠CAD$，即$AD$平分$∠EAF$。
$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore ∠E = ∠F = 90°$，
在$△ ADE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases} ∠E = ∠F, \\ ∠EAD = ∠FAD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ ADF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE = DF$。
（也可直接由角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，直接得出$DE=DF$）
【答案】
$DE=DF$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，构造全等辅助线
【点评】
本题是构造全等三角形的典型基础题，通过连接公共边作为辅助线构造全等得到等角，结合垂直条件即可推导结论，一题多解的设置能帮助学生灵活运用全等、角平分线相关知识，拓宽解题思路。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB = AE，AB ⊥ AE，AD = AC，AD ⊥ AC，M为BC的中点. 求证：DE = 2AM. 
答案
2. 证明:如图,延长 AM 至点 N,使 $MN = AM$,连接 BN.
因为 M 为 BC 的中点,所以 $BM = CM$.
在$△ AMC$ 和$△ NMB$ 中,
$\begin{cases} AM = NM, \\ ∠ AMC = ∠ NMB, \\ CM = BM, \end{cases}$
所以$△ AMC≌ △ NMB(\mathrm{SAS}),$
所以$AC = NB,∠ C = ∠ NBM,$
所以$∠ ABN = ∠ ABC + ∠ NBM = ∠ ABC + ∠ C = 180° - ∠ BAC.$
因为$∠ EAD = 360° - 90° - 90° - ∠ BAC = 180° - ∠ BAC,$
所以$∠ ABN = ∠ EAD.$
因为$AD = AC,AC = NB$,所以$AD = BN.$
在$△ ABN$ 和$△ EAD$中,$\begin{cases} BN = AD, \\ ∠ ABN = ∠ EAD, \\ AB = EA, \end{cases}$
所以$△ ABN≌ △ EAD(\mathrm{SAS})$,所以$NA = DE$,
所以$DE = 2AM.$
解析
【分析】
要证明DE=2AM，观察结论是线段的两倍关系，且已知M是BC的中点，优先考虑用倍长中线法构造全等三角形，将2AM转化为一条完整线段，再证明该线段与DE相等。具体思考路径：①首先通过倍长AM构造全等，得到与AC相等的线段，同时推导角的等量关系；②结合已知的两组垂直、两组等边，找到另一组全等三角形的判定条件；③通过全等得到对应边相等，即可推导出DE和AM的数量关系。
【解析】
证明：如图，延长AM至点N，使$MN=AM$，连接BN。
因为M为BC的中点，所以$BM=CM$。
在$△ AMC$和$△ NMB$中，
$\begin{cases} AM = NM, \\ ∠ AMC = ∠ NMB, \\ CM = BM, \end{cases}$
所以$△ AMC≌△ NMB(\mathrm{SAS})$，
所以$AC = NB$，$∠ C = ∠ NBM$，
所以$∠ ABN = ∠ ABC + ∠ NBM = ∠ ABC + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
因为$∠ EAD = 360° - 90° - 90° - ∠ BAC = 180° - ∠ BAC$，
所以$∠ ABN = ∠ EAD$。
因为$AD = AC$，$AC = NB$，所以$AD = BN$。
在$△ ABN$和$△ EAD$中，
$\begin{cases} BN = AD, \\ ∠ ABN = ∠ EAD, \\ AB = EA, \end{cases}$
所以$△ ABN≌△ EAD(\mathrm{SAS})$，所以$NA = DE$，
又因为$NA = AM + MN = 2AM$，所以$DE = 2AM$。
【答案】
证明:如图,延长 AM 至点 N,使 $MN = AM$,连接 BN.
因为 M 为 BC 的中点,所以 $BM = CM$.
在$△ AMC$ 和$△ NMB$ 中,
$\begin{cases} AM = NM, \\ ∠ AMC = ∠ NMB, \\ CM = BM, \end{cases}$
所以$△ AMC≌ △ NMB(\mathrm{SAS}),$
所以$AC = NB,∠ C = ∠ NBM,$
所以$∠ ABN = ∠ ABC + ∠ NBM = ∠ ABC + ∠ C = 180° - ∠ BAC.$
因为$∠ EAD = 360° - 90° - 90° - ∠ BAC = 180° - ∠ BAC,$
所以$∠ ABN = ∠ EAD.$
因为$AD = AC,AC = NB$,所以$AD = BN.$
在$△ ABN$ 和$△ EAD$中,$\begin{cases} BN = AD, \\ ∠ ABN = ∠ EAD, \\ AB = EA, \end{cases}$
所以$△ ABN≌ △ EAD(\mathrm{SAS})$,所以$NA = DE$,
所以$DE = 2AM.$
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，垂直的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，当题干中出现中点、线段倍数关系时，倍长中线是常用的辅助线思路，通过构造全等可以实现线段、角的等量转化，进而推导线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
要证明DE=2AM，观察结论是线段的两倍关系，且已知M是BC的中点，优先考虑用倍长中线法构造全等三角形，将2AM转化为一条完整线段，再证明该线段与DE相等。具体思考路径：①首先通过倍长AM构造全等，得到与AC相等的线段，同时推导角的等量关系；②结合已知的两组垂直、两组等边，找到另一组全等三角形的判定条件；③通过全等得到对应边相等，即可推导出DE和AM的数量关系。
【解析】
证明：如图，延长AM至点N，使$MN=AM$，连接BN。
因为M为BC的中点，所以$BM=CM$。
在$△ AMC$和$△ NMB$中，
$\begin{cases} AM = NM, \\ ∠ AMC = ∠ NMB, \\ CM = BM, \end{cases}$
所以$△ AMC≌△ NMB(\mathrm{SAS})$，
所以$AC = NB$，$∠ C = ∠ NBM$，
所以$∠ ABN = ∠ ABC + ∠ NBM = ∠ ABC + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
因为$∠ EAD = 360° - 90° - 90° - ∠ BAC = 180° - ∠ BAC$，
所以$∠ ABN = ∠ EAD$。
因为$AD = AC$，$AC = NB$，所以$AD = BN$。
在$△ ABN$和$△ EAD$中，
$\begin{cases} BN = AD, \\ ∠ ABN = ∠ EAD, \\ AB = EA, \end{cases}$
所以$△ ABN≌△ EAD(\mathrm{SAS})$，所以$NA = DE$，
又因为$NA = AM + MN = 2AM$，所以$DE = 2AM$。
【答案】
证明:如图,延长 AM 至点 N,使 $MN = AM$,连接 BN.
因为 M 为 BC 的中点,所以 $BM = CM$.
在$△ AMC$ 和$△ NMB$ 中,
$\begin{cases} AM = NM, \\ ∠ AMC = ∠ NMB, \\ CM = BM, \end{cases}$
所以$△ AMC≌ △ NMB(\mathrm{SAS}),$
所以$AC = NB,∠ C = ∠ NBM,$
所以$∠ ABN = ∠ ABC + ∠ NBM = ∠ ABC + ∠ C = 180° - ∠ BAC.$
因为$∠ EAD = 360° - 90° - 90° - ∠ BAC = 180° - ∠ BAC,$
所以$∠ ABN = ∠ EAD.$
因为$AD = AC,AC = NB$,所以$AD = BN.$
在$△ ABN$ 和$△ EAD$中,$\begin{cases} BN = AD, \\ ∠ ABN = ∠ EAD, \\ AB = EA, \end{cases}$
所以$△ ABN≌ △ EAD(\mathrm{SAS})$,所以$NA = DE$,
所以$DE = 2AM.$
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，垂直的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，当题干中出现中点、线段倍数关系时，倍长中线是常用的辅助线思路，通过构造全等可以实现线段、角的等量转化，进而推导线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
3. 一题多解 如图,在$△ ABC$中,$AB ＞ AC,∠1 = ∠2$,P为AD上任意一点.试说明:$AB - AC ＞ PB - PC$.
答案
3. 解:
通解 (截长法) 如图,在 AB 上取一点 E,使$AE = AC$,连接 PE.
在$△ AEP$ 和$△ ACP$ 中,$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠ 1 = ∠ 2, \\ AP = AP, \end{cases}$
所以$△ AEP≌ △ ACP(\mathrm{SAS})$,所以$PE = PC.$
因为$AE = AC$,所以$BE = AB - AE = AB - AC.$
在$△ PBE$中,根据三角形的三边关系,得$BE ＞ PB - PE$,
所以$AB - AC ＞ PB - PC.$
另解 (补短法) 如图,延长 AC 至点 M,使 $AM = AB$,连接 PM.
在$△ ABP$ 和$△ AMP$ 中,$\begin{cases} AB = AM, \\ ∠ 1 = ∠ 2, \\ AP = AP, \end{cases}$
所以$△ ABP≌ △ AMP(\mathrm{SAS})$,所以$PB = PM.$
在$△ PCM$ 中,根据三角形的三边关系,得$CM ＞ PM - PC$,
所以$AM - AC ＞ PB - PC$,
所以$AB - AC ＞ PB - PC.$
提分大招
探索一条线段等于两条线段的和,经常用到“截长法”和“补短法”.“截长法”即把结论中最长的线段根据已知条件分成两段,使其中一段与较短线段相等,然后说明余下的线段与另一条线段相等.“补短法”即把两条线段接长成为一条长线段,然后说明接成的线段与最长线段相等,或是把一条较短的线段加长,使它等于最长的线段,然后说明加长的那部分与另一较短线段相等.
解析
【分析】
要证明$AB - AC ＞ PB - PC$，属于线段差的不等关系证明，首先考虑利用三角形“两边之差小于第三边”的性质，需要将相关线段转化到同一个三角形中。已知AD平分$∠ BAC$（$∠1=∠2$），且有公共边AP，因此可以通过“截长法”或“补短法”构造全等三角形，对AC、PC或AB、PB进行等量转移，把待证的线段差放入同一个三角形，再利用三边关系推导结论。
【解析】
方法一：截长法
在AB上取一点E，使$AE=AC$，连接PE。
在$△ AEP$和$△ ACP$中：
$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ AEP≌△ ACP(\mathrm{SAS})$，可得$PE=PC$。
$\because AE=AC$，$\therefore BE=AB-AE=AB-AC$。
在$△ PBE$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，得$BE ＞ PB - PE$。
将$PE=PC$、$BE=AB-AC$代入，可得$AB - AC ＞ PB - PC$。
方法二：补短法
延长AC至点M，使$AM=AB$，连接PM。
在$△ ABP$和$△ AMP$中：
$\begin{cases} AB = AM, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ AMP(\mathrm{SAS})$，可得$PB=PM$。
$\because AM=AB$，$\therefore CM=AM-AC=AB-AC$。
在$△ PCM$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，得$CM ＞ PM - PC$。
将$PM=PB$、$CM=AB-AC$代入，可得$AB - AC ＞ PB - PC$。
【答案】
通解 (截长法) 如图,在 AB 上取一点 E,使$AE = AC$,连接 PE.
在$△ AEP$ 和$△ ACP$ 中,$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠ 1 = ∠ 2, \\ AP = AP, \end{cases}$
所以$△ AEP≌ △ ACP(\mathrm{SAS})$,所以$PE = PC.$
因为$AE = AC$,所以$BE = AB - AE = AB - AC.$
在$△ PBE$中,根据三角形的三边关系,得$BE ＞ PB - PE$,
所以$AB - AC ＞ PB - PC.$
另解 (补短法) 如图,延长 AC 至点 M,使 $AM = AB$,连接 PM.
在$△ ABP$ 和$△ AMP$ 中,$\begin{cases} AB = AM, \\ ∠ 1 = ∠ 2, \\ AP = AP, \end{cases}$
所以$△ ABP≌ △ AMP(\mathrm{SAS})$,所以$PB = PM.$
在$△ PCM$ 中,根据三角形的三边关系,得$CM ＞ PM - PC$,
所以$AM - AC ＞ PB - PC$,
所以$AB - AC ＞ PB - PC.$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 截长补短构造全等
【点评】
本题是角平分线背景下证明线段不等关系的典型题，解题核心是通过截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一个三角形中，再结合三角形三边关系完成证明，熟练掌握截长补短辅助线的适用场景可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.6
要证明$AB - AC ＞ PB - PC$，属于线段差的不等关系证明，首先考虑利用三角形“两边之差小于第三边”的性质，需要将相关线段转化到同一个三角形中。已知AD平分$∠ BAC$（$∠1=∠2$），且有公共边AP，因此可以通过“截长法”或“补短法”构造全等三角形，对AC、PC或AB、PB进行等量转移，把待证的线段差放入同一个三角形，再利用三边关系推导结论。
【解析】
方法一：截长法
在AB上取一点E，使$AE=AC$，连接PE。
在$△ AEP$和$△ ACP$中：
$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ AEP≌△ ACP(\mathrm{SAS})$，可得$PE=PC$。
$\because AE=AC$，$\therefore BE=AB-AE=AB-AC$。
在$△ PBE$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，得$BE ＞ PB - PE$。
将$PE=PC$、$BE=AB-AC$代入，可得$AB - AC ＞ PB - PC$。
方法二：补短法
延长AC至点M，使$AM=AB$，连接PM。
在$△ ABP$和$△ AMP$中：
$\begin{cases} AB = AM, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ AMP(\mathrm{SAS})$，可得$PB=PM$。
$\because AM=AB$，$\therefore CM=AM-AC=AB-AC$。
在$△ PCM$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，得$CM ＞ PM - PC$。
将$PM=PB$、$CM=AB-AC$代入，可得$AB - AC ＞ PB - PC$。
【答案】
通解 (截长法) 如图,在 AB 上取一点 E,使$AE = AC$,连接 PE.
在$△ AEP$ 和$△ ACP$ 中,$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠ 1 = ∠ 2, \\ AP = AP, \end{cases}$
所以$△ AEP≌ △ ACP(\mathrm{SAS})$,所以$PE = PC.$
因为$AE = AC$,所以$BE = AB - AE = AB - AC.$
在$△ PBE$中,根据三角形的三边关系,得$BE ＞ PB - PE$,
所以$AB - AC ＞ PB - PC.$
另解 (补短法) 如图,延长 AC 至点 M,使 $AM = AB$,连接 PM.
在$△ ABP$ 和$△ AMP$ 中,$\begin{cases} AB = AM, \\ ∠ 1 = ∠ 2, \\ AP = AP, \end{cases}$
所以$△ ABP≌ △ AMP(\mathrm{SAS})$,所以$PB = PM.$
在$△ PCM$ 中,根据三角形的三边关系,得$CM ＞ PM - PC$,
所以$AM - AC ＞ PB - PC$,
所以$AB - AC ＞ PB - PC.$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 截长补短构造全等
【点评】
本题是角平分线背景下证明线段不等关系的典型题，解题核心是通过截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一个三角形中，再结合三角形三边关系完成证明，熟练掌握截长补短辅助线的适用场景可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在四边形ACBE中,AC = BC,∠ACB = ∠AEB = 90°,CE交AB于点M.求证:EC平分∠AEB.
答案
4. 证明:如图,过点 C 作 $CG ⊥ EB$ 于点 G,$CF ⊥ EA$ 交 EA 的延长线于点 F,则$∠ CGB = ∠ CGE = ∠ F = 90°.$
$\because ∠ ACB = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore ∠ FCG = 360° - ∠ CGE - ∠ AEB - ∠ F = 90°,$
$\therefore ∠ ACF = 90° - ∠ ACG = ∠ BCG.$
在$△ ACF$ 和$△ BCG$ 中,$\begin{cases} ∠ F = ∠ CGB, \\ ∠ ACF = ∠ BCG, \\ AC = BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌ △ BCG(\mathrm{AAS}),\therefore CF = CG.$
又$\because EC = EC,\therefore \mathrm{Rt}△ EFC≌ \mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ CEF = ∠ CEG,\therefore EC$ 平分$∠ AEB.$
解析
【分析】
要证明EC平分∠AEB，即需证明∠AEC=∠BEC。根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，我们可以过点C作AE、EB的垂线段，只要证明这两条垂线段长度相等即可。结合已知AC=BC，∠ACB=∠AEB=90°，先通过角度推导得到一组等角，证明包含两条垂线段的两个三角形全等，得到垂线段相等后，再证明直角三角形全等即可推出角相等，完成证明。
【解析】
证明：如图，过点 C 作 $CG ⊥ EB$ 于点 G，$CF ⊥ EA$ 交 EA 的延长线于点 F，则$∠ CGB = ∠ CGE = ∠ F = 90°$。
$\because ∠ ACB = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore$ 四边形FCEG内角和为$360°$，可得$∠ FCG = 360° - ∠ CGE - ∠ AEB - ∠ F = 90°,$
$\therefore ∠ ACF = ∠FCG - ∠ACG = 90° - ∠ ACG$，$∠BCG=∠ACB-∠ACG=90°-∠ACG$，即$∠ ACF = ∠ BCG$。
在$△ ACF$ 和$△ BCG$ 中,
$\begin{cases} ∠ F = ∠ CGB, \\ ∠ ACF = ∠ BCG, \\ AC = BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌ △ BCG(\mathrm{AAS}),\therefore CF = CG$。
又$\because ∠F=∠CGE=90°，EC = EC,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EFC≌ \mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ CEF = ∠ CEG$，即$EC$平分$∠ AEB$。
【答案】
证明:如图,过点 C 作 $CG ⊥ EB$ 于点 G,$CF ⊥ EA$ 交 EA 的延长线于点 F,则$∠ CGB = ∠ CGE = ∠ F = 90°.$
$\because ∠ ACB = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore ∠ FCG = 360° - ∠ CGE - ∠ AEB - ∠ F = 90°,$
$\therefore ∠ ACF = 90° - ∠ ACG = ∠ BCG.$
在$△ ACF$ 和$△ BCG$ 中,$\begin{cases} ∠ F = ∠ CGB, \\ ∠ ACF = ∠ BCG, \\ AC = BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌ △ BCG(\mathrm{AAS}),\therefore CF = CG.$
又$\because EC = EC,\therefore \mathrm{Rt}△ EFC≌ \mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ CEF = ∠ CEG,\therefore EC$ 平分$∠ AEB.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，直角三角形全等判定
【点评】
本题是构造全等三角形证明角相等的典型题，解题关键是结合角平分线的判定思路正确作出垂直辅助线，利用已知的边相等、直角条件推导全等所需的等角，逐步推导得到结论，考察了辅助线构造能力和全等性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要证明EC平分∠AEB，即需证明∠AEC=∠BEC。根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，我们可以过点C作AE、EB的垂线段，只要证明这两条垂线段长度相等即可。结合已知AC=BC，∠ACB=∠AEB=90°，先通过角度推导得到一组等角，证明包含两条垂线段的两个三角形全等，得到垂线段相等后，再证明直角三角形全等即可推出角相等，完成证明。
【解析】
证明：如图，过点 C 作 $CG ⊥ EB$ 于点 G，$CF ⊥ EA$ 交 EA 的延长线于点 F，则$∠ CGB = ∠ CGE = ∠ F = 90°$。
$\because ∠ ACB = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore$ 四边形FCEG内角和为$360°$，可得$∠ FCG = 360° - ∠ CGE - ∠ AEB - ∠ F = 90°,$
$\therefore ∠ ACF = ∠FCG - ∠ACG = 90° - ∠ ACG$，$∠BCG=∠ACB-∠ACG=90°-∠ACG$，即$∠ ACF = ∠ BCG$。
在$△ ACF$ 和$△ BCG$ 中,
$\begin{cases} ∠ F = ∠ CGB, \\ ∠ ACF = ∠ BCG, \\ AC = BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌ △ BCG(\mathrm{AAS}),\therefore CF = CG$。
又$\because ∠F=∠CGE=90°，EC = EC,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EFC≌ \mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ CEF = ∠ CEG$，即$EC$平分$∠ AEB$。
【答案】
证明:如图,过点 C 作 $CG ⊥ EB$ 于点 G,$CF ⊥ EA$ 交 EA 的延长线于点 F,则$∠ CGB = ∠ CGE = ∠ F = 90°.$
$\because ∠ ACB = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore ∠ FCG = 360° - ∠ CGE - ∠ AEB - ∠ F = 90°,$
$\therefore ∠ ACF = 90° - ∠ ACG = ∠ BCG.$
在$△ ACF$ 和$△ BCG$ 中,$\begin{cases} ∠ F = ∠ CGB, \\ ∠ ACF = ∠ BCG, \\ AC = BC, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌ △ BCG(\mathrm{AAS}),\therefore CF = CG.$
又$\because EC = EC,\therefore \mathrm{Rt}△ EFC≌ \mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ CEF = ∠ CEG,\therefore EC$ 平分$∠ AEB.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，直角三角形全等判定
【点评】
本题是构造全等三角形证明角相等的典型题，解题关键是结合角平分线的判定思路正确作出垂直辅助线，利用已知的边相等、直角条件推导全等所需的等角，逐步推导得到结论，考察了辅助线构造能力和全等性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
