1.如图,已知矩形ABCD中,AD=24,CD=16,点R,P分别是DC,BC上的点,点E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从B向C移动,而点R不动时,若CR=9,则EF的长为 ()

A.12
B.12.5
C.9
D.不能确定

1.B

2. [2026南京模拟] 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.
(1)求$△ BCE$的面积；
(2)求$PQ+PR$的值.

2.【解】(1)如图，连接BP，过点E作$EM⊥BC$于点M.
∵四边形ABCD为正方形，
∴$∠CBD=45°$.
∵正方形ABCD的边长为4，
∴$BE=BC=4$.
∵$EM⊥BC$，
∴$∠BME=90°$.
∴$BM^2+EM^2=BE^2$，$△BEM$是等腰直角三角形.
∴$BM=EM$.
∴$2EM^2=4^2$，
解得$EM=2\sqrt{2}$(负值已舍去).
∴$S_{△BCE}=\frac{1}{2}BC·EM=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.
(2)
∵$PQ⊥BC$，$PR⊥BD$，$S_{△BCE}=S_{△BCP}+S_{△BEP}$，
∴$4\sqrt{2}=\frac{1}{2}BC·PQ+\frac{1}{2}BE·PR=\frac{1}{2}BC(PQ+PR)=2(PQ+PR)$.
∴$PQ+PR=2\sqrt{2}$.

3.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P是对角线AC上一个动点(点P与点A,C不重合),过点P分别作$PE⊥AD$于点E,$PF// BC$交CD于点F,连接EF,则EF的最小值为.

3.$\frac{12}{5}$ 【点拨】利用勾股定理得出$AC=5$，由矩形的判定可得四边形DEPF是矩形，连接DP，从而得到$DP=EF$，再根据垂线段最短可得$DP⊥AC$时，线段EF的值最小，此时$S_{△ADC}=\frac{1}{2}CD·AD=\frac{1}{2}AC·DP$，据此即可得到答案.

4. 新视角存在性探究题 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点M,N分别是边BC,CD上的两个动点，∠MAN=60°，连接MN.
(1)试说明△AMN是等边三角形.
(2)在M,N运动的过程中，△CMN的面积存在最大值吗？若存在，请求出该最大值.

4.【解】(1)连接AC，如图.
因为四边形ABCD是菱形，$∠ABC=60°$，所以$∠ABC=∠D=60°$，$AB=BC=CD=AD$.
所以$△ABC$，$△ACD$都是等边三角形.
所以$AB=AC$，$∠BAC=∠ACD=60°=∠MAN$.
所以$∠BAM=∠CAN$.
又因为$∠ABM=∠ACN=60°$，
所以$△BAM≌△CAN$.
所以$AM=AN$.
因为$∠MAN=60°$，
所以$△AMN$是等边三角形.
(2)$△CMN$的面积存在最大值.过点A作$AH⊥BC$于H，如图，易得$AH=\sqrt{3}$.因为$△BAM≌△CAN$，
所以$S_{△BAM}=S_{△CAN}$.所以$S_{四边形AMCN}=S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$.所以四边形AMCN的面积不发生变化.所以当$△AMN$的面积最小时，$△MCN$的面积最大.因为$△AMN$是等边三角形，所以易得$S_{△AMN}=\frac{\sqrt{3}}{4}AM^2$.根据垂线段最短可知，当$AM⊥BC$时，AM的值最小，为$\sqrt{3}$，即此时$△AMN$的面积最小，是$\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3})^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
所以$△CMN$的面积的最大值为$\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

5.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为。

5.6
点方法 解此题的关键是利用正方形的对称性得到点D与点B关于直线AC对称，将$BQ+EQ$的最小值转化为一条线段的长，进而得出结论.