6. 如图，在矩形$ABCD$中，$2AB=BC=4$，点$E$在$AD$上，$AE=1$，点$Q$，$P$分别为$AB$，$BC$上的动点，将$△ AQE$沿$EQ$翻折到矩形内部，点$A$的对应点为点$F$，连接$PF$，$PD$，则$PF+PD$的最小值为.

6.4 【点拨】作点D关于直线BC对称的点$D'$，连接$ED'$，$PD'$，则$DD'=2AB=4$，$PD=PD'$.
∵$AD=BC=4$，$AE=1$，
∴$ED=3$.
∵$∠D'DE=90°$，
∴$ED'=\sqrt{DD'^2+DE^2}=5$.
∵$EF+FP+PD=EF+PF+PD'≥ED'$，$EF=AE=1$，
∴$1+PF+PD≥5$，
∴$PF+PD≥4$.

7. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，点E，F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF=2，求DE+BF的最小值.

7.【解】如图，作$DM// AC$，使得$DM=EF=2$，连接FM，BM，BD.
∵$DM=EF$，$DM// EF$，
∴四边形DEFM是平行四边形.
∴$DE=FM$.
∴$DE+BF=FM+FB$.根据两点之间线段最短可知，当点F为BM与AC的交点时，$DE+BF$的值最小，即为BM的长.
∵四边形ABCD是边长为6的菱形，
∴$AB=6$，$BD⊥AC$，$AD=AB$.
∵$∠BAD=60°$，
∴$△ABD$是等边三角形.
∴$BD=AB=6$.
∵$DM// AC$，
∴$BD⊥DM$.
∴$BM=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$.
∴$DE+BF$的最小值为$2\sqrt{10}$.

8.如图,边长为2的正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动,则OC的最大值是。

8.$\sqrt{5}+1$ 【点拨】取AB的中点Q，连接OQ，CQ. 则$BQ=OQ=\frac{1}{2}AB=1$，
∴$CQ=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴$OC≤CQ+OQ=\sqrt{5}+1$.
∴OC的最大值为$\sqrt{5}+1$.

9. [淮南二中自主招生] 如图，O为正方形ABCD的对角线的交点，P为正方形外的一点，$PD=4$，$PC=6$，连接OP，求OP的最大值.

9.【解】如图，连接OD，OC，过点O在OP的下方作$OQ⊥OP$，且使$OQ=OP$，连接CQ，PQ. 则易得$△ODP≌△OCQ$，
∴$CQ=PD=4$，
∴$PQ≤CQ+PC=4+6=10$，
∴$PQ_{最大}=10$.易知$PQ=\sqrt{2}OP$，
∴$OP_{最大}=5\sqrt{2}$.
点方法 利用三角形三边关系解决最值问题时，构造出来的这个三角形要有两条边的长为定值，另外一边为要求的那条边.

10. 如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,对角线AC,BD交于点O,BD=8,E为OD的中点,点F为AB上一点,且AF=3BF,点P为AC上一动点,连接PE,PF,求|PF－PE|的最大值.

10.【解】如图，取OB的中点$E'$，连接$PE'$，作射线$FE'$交AC于点$P'$.则$PE=PE'$，
∴$|PF-PE|=|PF-PE'|≤FE'$，当P与$P'$重合，即P，$E'$，F三点在同一直线上时，$|PF-PE'|$有最大值，即为$FE'$的长.
∵在菱形ABCD中，$∠ABC=120°$，
∴$∠ABD=60°$，$∠DAB=60°$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=4$.
∴$△ABD$为等边三角形.
∴$AB=BD=AD=8$.
∵点$E'$为OB的中点，$AF=3BF$，
∴$BF=\frac{1}{4}AB=2$，$E'B=2$.
∴$E'B=BF$.
∵$∠ABD=60°$，
∴$△BE'F$为等边三角形，
∴$E'F=FB=2$.
故$|PF-PE|$的最大值为2.