类型1 正方形中的“十字模型”
【模型展示】
图示 | | |
条件 | $AF⊥ BE$ | $AF⊥ EG$ | $HF⊥ EG$
结论 | $AF=BE$ | $AF=EG$ | $HF=EG$
1.【课本再现】
(1)如图①，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且$DE=CF$.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？
【知识应用】
(2)如图②，四边形ABCD是一块正方形草地，现要在内部修建两条路MN，EF，且$MN⊥ EF$，请问这两条路MN，EF还相等吗？为什么？

1. (1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠D=90°.
∵DE=CF，
∴AE=DF.
∴△BAE≌△ADF(SAS).
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF.
∴∠ABE+∠AEB=∠DAF+∠AEB.
∴∠DAF+∠AEB=90°.
∴BE⊥AF.
(2)相等.理由如下：
如图，作AR//EF，交CD于点R，作DT//MN，交BC于点T，DT和AR交于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AD//BC，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD.
∴四边形AFER，四边形MNTD是平行四边形，
∴DT=MN，AR=EF.
∵MN⊥EF，
∴AR⊥DT.
∴∠DOR=90°.
∴∠RDO+∠ARD=90°.
∵∠ADC=90°，
∴∠DAR+∠ARD=90°.
∴∠RDO=∠DAR.
∴△ADR≌△DCT(ASA).
∴DT=AR.
∴MN=EF.

2. 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形$A_1B_1C_1O$的一个顶点，$OA_1$交AB于点E，$OC_1$交BC于点F.
(1)求证:$△ AOE ≌ △ BOF$.
(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形$A_1B_1C_1O$绕点O转动时，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？

2. (1)【证明】在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°.
∵四边形$A_1B_1C_1O$是正方形，
∴∠$A_1OC_1$=90°.
∴∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF.
∴△AOE≌△BOF.
(2)【解】两个正方形重叠部分的面积等于$\frac{1}{4}a^2$.
理由如下：
∵由(1)知△AOE≌△BOF，
∴$S_{△AOE}=S_{△BOF}$，
∴$S_{四边形OEBF}=S_{△EOB}+S_{△OBF}=S_{△EOB}+S_{△AOE}=S_{△AOB}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}a^2$.