经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号语言:
如图，∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
探究:
(1) 写出图中所有的垂直关系: ;
(2) 写出图中所有的等腰三角形: .

(1) OA⊥PA OB⊥PB OP⊥AB (2) △PAB △OAB

【分析】
解答本题可按以下思路思考：
(1) 找垂直关系：首先回忆切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得到两组垂直；再结合切线长定理推出△PAB为等腰三角形，OP是顶角的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得第三组垂直。
(2) 找等腰三角形：根据“有两边相等的三角形是等腰三角形”，结合切线长定理得到的等线段、同圆半径相等的性质，即可找出所有等腰三角形。
【解析】
(1) ①根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，因此可得$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$；
②根据切线长定理可得$PA=PB$，$∠ OPA=∠ OPB$，即△PAB是等腰三角形，OP是$∠ APB$的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$OP⊥ AB$。
因此所有垂直关系为：$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，$OP⊥ AB$。
(2) ①由切线长定理得$PA=PB$，根据等腰三角形的判定，可知$△ PAB$是等腰三角形；
②OA、OB都是⊙O的半径，同圆的半径相等，因此$OA=OB$，可知$△ OAB$是等腰三角形。
因此所有等腰三角形为：$△ PAB$，$△ OAB$。
【答案】
(1) $OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，$OP⊥ AB$
(2) $△ PAB$，$△ OAB$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查切线相关性质与等腰三角形性质的结合应用，解题的关键是熟练掌握切线性质、切线长定理，能快速从图中提取等线段、垂直等特殊关系。
【难度系数】
0.8

1. 如图，PA，PB是⊙O的切线，若∠APO=25°，则∠BPA=。

50°

【分析】
首先观察题目条件，PA、PB是⊙O的两条切线，P为圆外一点，结合所学切线长定理可知：从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，即OP平分∠BPA，因此∠BPA是∠APO的2倍，代入已知角度即可计算出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，P为⊙O外一点，
根据切线长定理可得：OP平分∠BPA，即∠BPO=∠APO，
已知∠APO=25°，
∴∠BPA=2∠APO=2×25°=50°。
【答案】
50°
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查切线长定理的直接应用，解题关键是明确圆外一点与圆心的连线平分该点引出的两条切线的夹角，熟记定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 如图，PA，PB分别与圆O相切于A，B两点，点C为圆O优弧AMB上一点，连接AC，BC，若∠P=76°，则∠ACB的度数为。

52°

【分析】
要计算∠ACB的度数，可按以下思路推导：首先根据切线的性质，连接圆心与切点可得到直角，因此先连接OA、OB，得到OA⊥PA、OB⊥PB；接着利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P的度数，求出圆心角∠AOB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴∠AOB + ∠P + ∠OAP + ∠OBP = 360°，
代入∠P=76°，得：
∠AOB=360°-90°-90°-76°=104°，
∵点C在优弧AMB上，∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠ACB=½∠AOB=½×104°=52°。
【答案】
52°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，将已知的切线外角度数转化为圆心角度数，再利用圆周角定理完成角度的转换，解题思路清晰，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7

3. 如图，PA与$\odot O$相切于点A，PB与$\odot O$相切于点B，M为$\overset{\frown}{AB}$上一点，过点M与$\odot O$相切的直线分别交PA，PB于点E，F.若$△ PEF$的周长为12，则PA的长为.

6

【分析】
解题时首先观察图形特征，PA、PB、EF均为⊙O的切线，优先考虑运用切线长定理解题。切线长定理指出：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，据此可得三组相等的线段：EA=EM、FB=FM、PA=PB。再将△PEF的周长拆解为各线段和，通过等量替换把周长转化为PA与PB的和，结合PA=PB的性质即可求出PA的长度。
【解析】
根据切线长定理：
1. 点E是圆外一点，引⊙O的两条切线EA、EM，因此$\boldsymbol{EA=EM}$；
2. 点F是圆外一点，引⊙O的两条切线FB、FM，因此$\boldsymbol{FB=FM}$；
3. 点P是圆外一点，引⊙O的两条切线PA、PB，因此$\boldsymbol{PA=PB}$。
△PEF的周长为$PE+EF+PF$，将EF拆分为$EM+FM$，代入得：
周长$=PE+EM+FM+PF$
将$EM=EA$、$FM=FB$代入上式：
周长$=PE+EA+FB+PF=(PE+EA)+(PF+FB)=PA+PB$
结合$PA=PB$，可得周长$=2PA$。
已知△PEF的周长为12，因此$2PA=12$，解得$PA=6$。
【答案】
6
【知识点】
切线长定理，等量代换
【点评】
本题属于基础的切线性质应用题，核心考查切线长定理的灵活运用，解题关键是通过线段等量替换将三角形周长转化为两条切线长的和，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4. 如图，P为$\odot O$外一点，PA和PB为$\odot O$的两条切线，A和B为切点，BC为直径。
求证：$PO// AC$。

证明:
∵P为⊙O外一点,PA和PB为⊙O的两条切线,
∴PA=PB,
∵OA=OB,PO=PO,
∴△APO≌△BPO(SSS).
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB,
∵△APO≌△BPO,
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠AOB,
∴∠ACB=∠BOP,
∴PO//AC.

【分析】要证明$PO// AC$，可通过证明同位角相等推导。首先观察到PA、PB是圆的切线，根据切线长定理可得$PA=PB$，结合半径$OA=OB$、公共边$PO=PO$，可通过SSS证明$△ APO≌△ BPO$，得到$PO$平分$∠ AOB$，即$∠ BOP=\frac{1}{2}∠ AOB$；再根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角$∠ ACB$是对应圆心角$∠ AOB$的一半，因此可得$∠ ACB=∠ BOP$，同位角相等即可推出两直线平行。
【解析】
证明:
∵P为$\odot O$外一点,PA和PB为$\odot O$的两条切线,
∴$PA=PB$,
∵$OA=OB$,$PO=PO$,
∴$△ APO≌△ BPO$(SSS).
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$,
∵$△ APO≌△ BPO$,
∴$∠ AOP=∠ BOP=\frac{1}{2}∠ AOB$,
∴$∠ ACB=∠ BOP$,
∴$PO// AC$.
【答案】
证明:
∵P为$\odot O$外一点,PA和PB为$\odot O$的两条切线,
∴$PA=PB$,
∵$OA=OB$,$PO=PO$,
∴$△ APO≌△ BPO$(SSS).
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$,
∵$△ APO≌△ BPO$,
∴$∠ AOP=∠ BOP=\frac{1}{2}∠ AOB$,
∴$∠ ACB=∠ BOP$,
∴$PO// AC$.
【知识点】
切线长定理；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题是圆的性质与平行线判定结合的典型基础题，解题的关键是利用全等三角形和圆周角定理完成角的等量转化，平时学习中要熟练掌握切线相关性质、圆周角定理等核心知识点，强化角的转化思路。
【难度系数】
0.7