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1. 二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，当$y=0$时，得到一元二次方程
$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$
，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与$x$
轴交点的横
坐标。答案
1. $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，$x$，横
解析
【分析】
解题时可结合二次函数与一元二次方程的对应关系、坐标轴上点的坐标特征思考：第一步，当二次函数的函数值y取0时，将y=0代入二次函数的表达式即可得到对应的一元二次方程；第二步，回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此二次函数图象与x轴交点的纵坐标满足y=0，刚好对应y=0时的方程，所以方程的解就是交点的横坐标。
【解析】
1. 求y=0时对应的一元二次方程：
将$y=0$代入二次函数表达式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$。
2. 分析方程解与二次函数图象交点的关系：
x轴上的点的坐标形式为$(x,0)$，即纵坐标恒为0，因此二次函数图象与x轴的交点满足$y=0$，此时交点的横坐标$x$就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的解。
因此三个空依次填入$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$、$x$、横。
【答案】
$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，$x$，横
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 坐标轴上点的坐标特征
3. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础概念题，考查二次函数和一元二次方程的对应关联，是后续学习二次函数与不等式、实际应用等内容的基础，需牢固掌握函数值与方程、图象交点与方程解的对应逻辑。
【难度系数】
0.9
解题时可结合二次函数与一元二次方程的对应关系、坐标轴上点的坐标特征思考：第一步，当二次函数的函数值y取0时，将y=0代入二次函数的表达式即可得到对应的一元二次方程；第二步，回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0，因此二次函数图象与x轴交点的纵坐标满足y=0，刚好对应y=0时的方程，所以方程的解就是交点的横坐标。
【解析】
1. 求y=0时对应的一元二次方程：
将$y=0$代入二次函数表达式$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$。
2. 分析方程解与二次函数图象交点的关系：
x轴上的点的坐标形式为$(x,0)$，即纵坐标恒为0，因此二次函数图象与x轴的交点满足$y=0$，此时交点的横坐标$x$就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的解。
因此三个空依次填入$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$、$x$、横。
【答案】
$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，$x$，横
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 坐标轴上点的坐标特征
3. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础概念题，考查二次函数和一元二次方程的对应关联，是后续学习二次函数与不等式、实际应用等内容的基础，需牢固掌握函数值与方程、图象交点与方程解的对应逻辑。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴的交点情况决定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）根的情况：
（1）当$b^2-4ac$
（2）当$b^2-4ac$
（3）当$b^2-4ac$
反之亦成立。
（1）当$b^2-4ac$
＞
0，抛物线与$x$轴有两个交点；（2）当$b^2-4ac$
=
0，抛物线与$x$轴只有一个交点（此时抛物线的顶点在$x$轴上）；（3）当$b^2-4ac$
＜
0，抛物线与$x$轴没有交点。反之亦成立。
答案
(1) $＞$ (2) $=$ (3) $＜$
解析
【分析】
解题时要结合二次函数与一元二次方程的对应关系推导：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，而一元二次方程根的个数由判别式$b^2-4ac$的符号决定，只需将判别式的符号、方程根的个数、抛物线与x轴交点个数三者一一对应就能得出答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根：
（1）若抛物线与x轴有两个交点，说明对应方程有两个不相等的实数根，此时判别式$b^2-4ac＞0$，故填$＞$；
（2）若抛物线与x轴只有一个交点，说明对应方程有两个相等的实数根（即1个实数根），此时判别式$b^2-4ac=0$，故填$=$；
（3）若抛物线与x轴没有交点，说明对应方程没有实数根，此时判别式$b^2-4ac＜0$，故填$＜$。
【答案】
(1) $＞$ (2) $=$ (3) $＜$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 二次函数图象与x轴的交点
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程之间的转化关系，熟记判别式符号与交点个数的对应规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时要结合二次函数与一元二次方程的对应关系推导：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，而一元二次方程根的个数由判别式$b^2-4ac$的符号决定，只需将判别式的符号、方程根的个数、抛物线与x轴交点个数三者一一对应就能得出答案。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根：
（1）若抛物线与x轴有两个交点，说明对应方程有两个不相等的实数根，此时判别式$b^2-4ac＞0$，故填$＞$；
（2）若抛物线与x轴只有一个交点，说明对应方程有两个相等的实数根（即1个实数根），此时判别式$b^2-4ac=0$，故填$=$；
（3）若抛物线与x轴没有交点，说明对应方程没有实数根，此时判别式$b^2-4ac＜0$，故填$＜$。
【答案】
(1) $＞$ (2) $=$ (3) $＜$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 二次函数图象与x轴的交点
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程之间的转化关系，熟记判别式符号与交点个数的对应规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
1. 若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=-3,x_2=1$，则抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点间的距离及抛物线的对称轴为 （
A.2，直线$x=-2$
B.4，直线$x=-1$
C.6，直线$x=-3$
D.8，直线$x=1$
B
）A.2，直线$x=-2$
B.4，直线$x=-1$
C.6，直线$x=-3$
D.8，直线$x=1$
答案
1. B
解析
【分析】
首先明确一元二次方程的根就是对应抛物线与x轴交点的横坐标。要求两个交点间的距离，直接计算两个根差的绝对值即可；又因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，所以对称轴是过两个交点中点且垂直于x轴的直线，用两个根的平均数即可求出对称轴对应的横坐标。
【解析】
解：
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=-3,x_2=1$
∴抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的两个交点的横坐标分别为-3和1
① 两个交点间的距离：$|x_1 - x_2| = |-3 - 1| = 4$
② 抛物线的对称轴为两个交点的中点所在的垂直于x轴的直线：
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$，即直线$x=-1$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；抛物线的对称轴；数轴上两点间距离
【点评】
本题是基础题，核心考查二次函数与对应一元二次方程的内在联系，牢记抛物线与x轴交点的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确一元二次方程的根就是对应抛物线与x轴交点的横坐标。要求两个交点间的距离，直接计算两个根差的绝对值即可；又因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，所以对称轴是过两个交点中点且垂直于x轴的直线，用两个根的平均数即可求出对称轴对应的横坐标。
【解析】
解：
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=-3,x_2=1$
∴抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的两个交点的横坐标分别为-3和1
① 两个交点间的距离：$|x_1 - x_2| = |-3 - 1| = 4$
② 抛物线的对称轴为两个交点的中点所在的垂直于x轴的直线：
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$，即直线$x=-1$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；抛物线的对称轴；数轴上两点间距离
【点评】
本题是基础题，核心考查二次函数与对应一元二次方程的内在联系，牢记抛物线与x轴交点的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=x^2 -3x +m$（$m$为常数）的图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，则关于$x$的一元二次方程$x^2 -3x +m=0$的两个实数根是 （
A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=1,x_2=3$
B
）A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=1,x_2=3$
答案
2. B
解析
【分析】
解题思路可从二次函数与一元二次方程的对应关系入手：①二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，因此已知方程的一个根为$x=1$；②可以先将交点坐标代入二次函数解析式求出参数$m$的值，再解一元二次方程得到两个根；也可以利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根之和直接求出另一个根，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一：
∵二次函数$y=x^2 -3x +m$的图象过点$(1,0)$
∴将$x=1,y=0$代入解析式得：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
解得$m=2$
∴一元二次方程为$x^2 -3x +2 = 0$
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1,x_2=2$
方法二：
设一元二次方程$x^2 -3x +m=0$的两个根为$x_1,x_2$，其中$x_1=1$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$
代入$x_1=1$得$1+x_2=3$，解得$x_2=2$
因此两个实数根为$x_1=1,x_2=2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的解法、根与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数与对应一元二次方程的内在联系，解题时可灵活选择代入求参或用韦达定理快速计算，掌握二者的对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题思路可从二次函数与一元二次方程的对应关系入手：①二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，因此已知方程的一个根为$x=1$；②可以先将交点坐标代入二次函数解析式求出参数$m$的值，再解一元二次方程得到两个根；也可以利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根之和直接求出另一个根，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一：
∵二次函数$y=x^2 -3x +m$的图象过点$(1,0)$
∴将$x=1,y=0$代入解析式得：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
解得$m=2$
∴一元二次方程为$x^2 -3x +2 = 0$
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=1,x_2=2$
方法二：
设一元二次方程$x^2 -3x +m=0$的两个根为$x_1,x_2$，其中$x_1=1$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$
代入$x_1=1$得$1+x_2=3$，解得$x_2=2$
因此两个实数根为$x_1=1,x_2=2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的解法、根与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数与对应一元二次方程的内在联系，解题时可灵活选择代入求参或用韦达定理快速计算，掌握二者的对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 若抛物线$y=kx^2 -7x -7$的图象与$x$轴有交点，则$k$的取值范围是 （
A.$k≥ -\dfrac{7}{4}$
B.$k≥ -\dfrac{7}{4}$，且$k≠ 0$
C.$k＞ -\dfrac{7}{4}$
D.$k＞ -\dfrac{7}{4}$，且$k≠ 0$
B
）A.$k≥ -\dfrac{7}{4}$
B.$k≥ -\dfrac{7}{4}$，且$k≠ 0$
C.$k＞ -\dfrac{7}{4}$
D.$k＞ -\dfrac{7}{4}$，且$k≠ 0$
答案
3. B
解析
【分析】
解题首先要抓住题目中的“抛物线”这一关键条件，抛物线对应的是二次函数，因此首先可得二次项系数k≠0；其次抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有实数根，根据一元二次方程根的判别式$\Delta ≥ 0$即可列出关于k的不等式，解出不等式后结合k≠0的限制，就能得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵函数图象是抛物线，
∴该函数是二次函数，因此$k ≠ 0$。
∵抛物线与x轴有交点，
∴一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有实数根，即根的判别式$\Delta ≥ 0$。
其中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$得：
$\Delta = (-7)^2 - 4 × k × (-7) = 49 + 28k ≥ 0$
解不等式：$28k ≥ -49$，解得$k ≥ -\dfrac{7}{4}$。
结合$k ≠ 0$的条件，可得k的取值范围是$k ≥ -\dfrac{7}{4}$且$k ≠ 0$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的定义
2.根的判别式的应用
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，解题时容易忽略抛物线隐含的“二次项系数不为0”的条件，误选A选项，做题时要注意挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题首先要抓住题目中的“抛物线”这一关键条件，抛物线对应的是二次函数，因此首先可得二次项系数k≠0；其次抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有实数根，根据一元二次方程根的判别式$\Delta ≥ 0$即可列出关于k的不等式，解出不等式后结合k≠0的限制，就能得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵函数图象是抛物线，
∴该函数是二次函数，因此$k ≠ 0$。
∵抛物线与x轴有交点，
∴一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有实数根，即根的判别式$\Delta ≥ 0$。
其中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$得：
$\Delta = (-7)^2 - 4 × k × (-7) = 49 + 28k ≥ 0$
解不等式：$28k ≥ -49$，解得$k ≥ -\dfrac{7}{4}$。
结合$k ≠ 0$的条件，可得k的取值范围是$k ≥ -\dfrac{7}{4}$且$k ≠ 0$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的定义
2.根的判别式的应用
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，解题时容易忽略抛物线隐含的“二次项系数不为0”的条件，误选A选项，做题时要注意挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.7
4. 已知$m＞0$，关于$x$的一元二次方程$(x+1)(x-2)-m=0$的解为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，则下列结论正确的是（
A.$x_1＜-1＜2＜x_2$
B.$-1＜x_1＜2＜x_2$
C.$-1＜x_1＜x_2＜2$
D.$x_1＜-1＜x_2＜2$
A
）A.$x_1＜-1＜2＜x_2$
B.$-1＜x_1＜2＜x_2$
C.$-1＜x_1＜x_2＜2$
D.$x_1＜-1＜x_2＜2$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时可以利用数形结合的思路，把一元二次方程的解转化为二次函数与直线交点的横坐标分析。首先将原方程变形为$(x+1)(x-2)=m$，设二次函数$y=(x+1)(x-2)$，直线$y=m$（$m＞0$），方程的解就是两个函数图象交点的横坐标。该二次函数是开口向上的抛物线，与x轴交于$(-1,0)$和$(2,0)$，当函数值大于0时，x的取值范围为$x＜-1$或$x＞2$，结合$m＞0$、$x_1＜x_2$的条件，即可推出两个根的大小关系。
【解析】
我们采用数形结合法求解：
1. 对原方程变形可得：$(x+1)(x-2)=m$，设二次函数$y=(x+1)(x-2)=x^2-x-2$，由二次项系数为1＞0，可知抛物线开口向上。
2. 令$y=0$，解得$x=-1$或$x=2$，即抛物线与x轴的两个交点坐标为$(-1,0)$、$(2,0)$。
3. 已知$m＞0$，即我们需要找抛物线上函数值$y=m＞0$对应的x的取值，根据开口向上的抛物线图象特征，当$y＞0$时，x的取值范围是$x＜-1$或$x＞2$。
4. 题目给出方程的两个解满足$x_1＜x_2$，因此$x_1＜-1$，$x_2＞2$，可得大小关系：$x_1＜-1＜2＜x_2$。
也可采用特殊值验证：取$m=2＞0$，代入方程得$(x+1)(x-2)=2$，整理为$x^2-x-4=0$，解得$x=\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，计算得$x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx-1.56＜-1$，$x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\approx2.56＞2$，同样可推出$x_1＜-1＜2＜x_2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与性质
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，将方程根的范围问题转化为函数图象的交点问题，可大幅降低解题难度，避免复杂的求根运算，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时可以利用数形结合的思路，把一元二次方程的解转化为二次函数与直线交点的横坐标分析。首先将原方程变形为$(x+1)(x-2)=m$，设二次函数$y=(x+1)(x-2)$，直线$y=m$（$m＞0$），方程的解就是两个函数图象交点的横坐标。该二次函数是开口向上的抛物线，与x轴交于$(-1,0)$和$(2,0)$，当函数值大于0时，x的取值范围为$x＜-1$或$x＞2$，结合$m＞0$、$x_1＜x_2$的条件，即可推出两个根的大小关系。
【解析】
我们采用数形结合法求解：
1. 对原方程变形可得：$(x+1)(x-2)=m$，设二次函数$y=(x+1)(x-2)=x^2-x-2$，由二次项系数为1＞0，可知抛物线开口向上。
2. 令$y=0$，解得$x=-1$或$x=2$，即抛物线与x轴的两个交点坐标为$(-1,0)$、$(2,0)$。
3. 已知$m＞0$，即我们需要找抛物线上函数值$y=m＞0$对应的x的取值，根据开口向上的抛物线图象特征，当$y＞0$时，x的取值范围是$x＜-1$或$x＞2$。
4. 题目给出方程的两个解满足$x_1＜x_2$，因此$x_1＜-1$，$x_2＞2$，可得大小关系：$x_1＜-1＜2＜x_2$。
也可采用特殊值验证：取$m=2＞0$，代入方程得$(x+1)(x-2)=2$，整理为$x^2-x-4=0$，解得$x=\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，计算得$x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx-1.56＜-1$，$x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\approx2.56＞2$，同样可推出$x_1＜-1＜2＜x_2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与性质
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，将方程根的范围问题转化为函数图象的交点问题，可大幅降低解题难度，避免复杂的求根运算，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
5. 已知二次函数$y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7$（其中$x$是自变量）的图象与$x$轴没有公共点，且当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减少，则实数$a$的取值范围是 （
A.$a＜2$
B.$a＞-1$
C.$-1＜a≤2$
D.$-1≤a＜2$
D
）A.$a＜2$
B.$a＞-1$
C.$-1＜a≤2$
D.$-1≤a＜2$
答案
5. D
解析
【分析】
解题需结合题干给出的两个限制条件分步推导：首先将二次函数解析式化简，确定开口方向；第一个条件“图象与x轴没有公共点”对应二次函数对应的一元二次方程无实根，即判别式Δ＜0，可求出第一个a的取值范围；第二个条件“x＜-1时，y随x的增大而减小”，因二次项系数为正，开口向上，只有当x＜-1的区间在对称轴左侧时满足递减，即对称轴≥-1，可求出第二个a的取值范围；最后取两个范围的交集即为最终结果。
【解析】
先化简二次函数解析式：
$\begin{aligned}y&=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7\\&=(x-a)^2 - 1 -3a +7\\&=(x-a)^2 -3a +6\\&=x^2 -2ax +a^2 -3a +6\end{aligned}$
1. 由图象与x轴没有公共点，得判别式$\Delta＜0$：
二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2a$，常数项$C=a^2-3a+6$
$\begin{aligned}\Delta&=B^2-4AC\\&=(-2a)^2 -4×1×(a^2-3a+6)\\&=4a^2 -4a^2 +12a -24\\&=12a -24 ＜0\end{aligned}$
解得：$a＜2$
2. 二次函数开口向上（$A=1＞0$），对称轴为$x=a$，当$x＜a$时，y随x的增大而减小；
已知$x＜-1$时y随x增大而减小，因此对称轴需满足$a≥-1$。
结合两个条件得a的取值范围是$-1≤ a＜2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题综合考查二次函数的增减性、图象与x轴交点的判定，解题时需注意结合开口方向判断增减性区间，同时验证端点值是否符合要求，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题需结合题干给出的两个限制条件分步推导：首先将二次函数解析式化简，确定开口方向；第一个条件“图象与x轴没有公共点”对应二次函数对应的一元二次方程无实根，即判别式Δ＜0，可求出第一个a的取值范围；第二个条件“x＜-1时，y随x的增大而减小”，因二次项系数为正，开口向上，只有当x＜-1的区间在对称轴左侧时满足递减，即对称轴≥-1，可求出第二个a的取值范围；最后取两个范围的交集即为最终结果。
【解析】
先化简二次函数解析式：
$\begin{aligned}y&=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7\\&=(x-a)^2 - 1 -3a +7\\&=(x-a)^2 -3a +6\\&=x^2 -2ax +a^2 -3a +6\end{aligned}$
1. 由图象与x轴没有公共点，得判别式$\Delta＜0$：
二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2a$，常数项$C=a^2-3a+6$
$\begin{aligned}\Delta&=B^2-4AC\\&=(-2a)^2 -4×1×(a^2-3a+6)\\&=4a^2 -4a^2 +12a -24\\&=12a -24 ＜0\end{aligned}$
解得：$a＜2$
2. 二次函数开口向上（$A=1＞0$），对称轴为$x=a$，当$x＜a$时，y随x的增大而减小；
已知$x＜-1$时y随x增大而减小，因此对称轴需满足$a≥-1$。
结合两个条件得a的取值范围是$-1≤ a＜2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题综合考查二次函数的增减性、图象与x轴交点的判定，解题时需注意结合开口方向判断增减性区间，同时验证端点值是否符合要求，避免出错。
【难度系数】
0.7
6. 如果抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a,b,c $ 是常数），$ a＞0 $，顶点坐标为 $ ( \frac{1}{2}, m ) $，给出下列结论：
① 若点 $ (n, y_1) $ 与 $ ( \frac{3}{2} - 2n, y_2 ) $ 在该抛物线上，当 $ n ＜ \frac{1}{2} $ 时，则 $ y_1 ＜ y_2 $；② 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 - bx + c - m + 1 = 0 $ 无实数解。那么 （
A.①正确，②正确
B.①正确，②错误
C.①错误，②正确
D.①错误，②错误
① 若点 $ (n, y_1) $ 与 $ ( \frac{3}{2} - 2n, y_2 ) $ 在该抛物线上，当 $ n ＜ \frac{1}{2} $ 时，则 $ y_1 ＜ y_2 $；② 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 - bx + c - m + 1 = 0 $ 无实数解。那么 （
A
）A.①正确，②正确
B.①正确，②错误
C.①错误，②正确
D.①错误，②错误
答案
6. A
解析
【分析】
已知抛物线$a＞0$，开口向上，对称轴为顶点横坐标$x=\frac{1}{2}$，顶点是函数最低点，最小值为$m$。对于结论①：开口向上的抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，只需计算两个点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断$y_1$和$y_2$的大小；对于结论②：先将抛物线写成顶点式，得到$b、c$与$a、m$的关系，再代入一元二次方程，通过判别式的符号判断方程是否有实数解。
【解析】
抛物线顶点坐标为$(\frac{1}{2},m)$，$a＞0$，因此解析式可写为顶点式：
$y=a(x-\frac{1}{2})^2+m=ax^2-ax+\frac{a}{4}+m$
对比$y=ax^2+bx+c$，得$b=-a$，$c=\frac{a}{4}+m$。
验证结论①
点$(n,y_1)$到对称轴$x=\frac{1}{2}$的距离：$d_1=\left|n-\frac{1}{2}\right|$
点$(\frac{3}{2}-2n,y_2)$到对称轴的距离：$d_2=\left|(\frac{3}{2}-2n)-\frac{1}{2}\right|=\left|1-2n\right|=2\left|\frac{1}{2}-n\right|$
已知$n＜\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}-n＞0$，因此$d_1=\frac{1}{2}-n$，$d_2=2(\frac{1}{2}-n)$，可得$d_2＞d_1$。
因为抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，故$y_1＜y_2$，结论①正确。
验证结论②
将$b=-a$，$c=\frac{a}{4}+m$代入方程$ax^2-bx+c-m+1=0$，得：
$ax^2 - (-a)x + (\frac{a}{4}+m)-m+1=0$
化简为：$ax^2+ax+\frac{a}{4}+1=0$
计算判别式：$\Delta=a^2-4· a·(\frac{a}{4}+1)=a^2-a^2-4a=-4a$
因为$a＞0$，所以$\Delta=-4a＜0$，因此该一元二次方程无实数解，结论②正确。
综上，①②均正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；根的判别式；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质和一元二次方程根的判定，解题的核心是熟练掌握开口方向、对称轴与函数值的关系，以及利用顶点式转化解析式简化计算的方法。
【难度系数】
0.6
已知抛物线$a＞0$，开口向上，对称轴为顶点横坐标$x=\frac{1}{2}$，顶点是函数最低点，最小值为$m$。对于结论①：开口向上的抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，只需计算两个点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断$y_1$和$y_2$的大小；对于结论②：先将抛物线写成顶点式，得到$b、c$与$a、m$的关系，再代入一元二次方程，通过判别式的符号判断方程是否有实数解。
【解析】
抛物线顶点坐标为$(\frac{1}{2},m)$，$a＞0$，因此解析式可写为顶点式：
$y=a(x-\frac{1}{2})^2+m=ax^2-ax+\frac{a}{4}+m$
对比$y=ax^2+bx+c$，得$b=-a$，$c=\frac{a}{4}+m$。
验证结论①
点$(n,y_1)$到对称轴$x=\frac{1}{2}$的距离：$d_1=\left|n-\frac{1}{2}\right|$
点$(\frac{3}{2}-2n,y_2)$到对称轴的距离：$d_2=\left|(\frac{3}{2}-2n)-\frac{1}{2}\right|=\left|1-2n\right|=2\left|\frac{1}{2}-n\right|$
已知$n＜\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}-n＞0$，因此$d_1=\frac{1}{2}-n$，$d_2=2(\frac{1}{2}-n)$，可得$d_2＞d_1$。
因为抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，故$y_1＜y_2$，结论①正确。
验证结论②
将$b=-a$，$c=\frac{a}{4}+m$代入方程$ax^2-bx+c-m+1=0$，得：
$ax^2 - (-a)x + (\frac{a}{4}+m)-m+1=0$
化简为：$ax^2+ax+\frac{a}{4}+1=0$
计算判别式：$\Delta=a^2-4· a·(\frac{a}{4}+1)=a^2-a^2-4a=-4a$
因为$a＞0$，所以$\Delta=-4a＜0$，因此该一元二次方程无实数解，结论②正确。
综上，①②均正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；根的判别式；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质和一元二次方程根的判定，解题的核心是熟练掌握开口方向、对称轴与函数值的关系，以及利用顶点式转化解析式简化计算的方法。
【难度系数】
0.6
