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一、选择题
1. 若等腰三角形的顶角为$40°$，则它的底角为（）.
A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
1. 若等腰三角形的顶角为$40°$，则它的底角为（）.
A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是等腰三角形的两个底角相等，二是三角形的内角和为180°。已知顶角的度数，先算出两个底角的总度数，再利用底角相等的性质，将总度数除以2即可得到单个底角的度数。
【解析】
解：
∵ 等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，已知顶角为40°，
∴ 底角的度数为：$\frac{180° - 40°}{2} = 70°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等腰三角形性质与三角形内角和定理的简单结合应用，掌握基础定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆两个核心知识点：一是等腰三角形的两个底角相等，二是三角形的内角和为180°。已知顶角的度数，先算出两个底角的总度数，再利用底角相等的性质，将总度数除以2即可得到单个底角的度数。
【解析】
解：
∵ 等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，已知顶角为40°，
∴ 底角的度数为：$\frac{180° - 40°}{2} = 70°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等腰三角形性质与三角形内角和定理的简单结合应用，掌握基础定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
2. 下列命题中,是假命题的是().
A.等腰三角形的底角一定是锐角
B.等腰三角形至少有两个角相等
C.等腰三角形的顶角一定是锐角
D.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍
A.等腰三角形的底角一定是锐角
B.等腰三角形至少有两个角相等
C.等腰三角形的顶角一定是锐角
D.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个是假命题，可结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，逐个分析每个选项的说法是否正确，错误的即为假命题。首先回忆相关知识点：等腰三角形两底角相等，三角形三个内角和为180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，再依次验证四个选项即可。
【解析】
已知三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，逐一分析选项：
A. 若等腰三角形的底角为直角或钝角，那么两个底角的和就会大于等于180°，不符合三角形内角和定理，因此等腰三角形的底角一定是锐角，该命题是真命题；
B. 根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，因此等腰三角形至少有两个角相等，该命题是真命题；
C. 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，例如顶角为120°，两个底角均为30°的等腰三角形是存在的，因此“等腰三角形的顶角一定是锐角”的说法错误，该命题是假命题；
D. 根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此等腰三角形顶角的外角=底角+底角=2×底角，该命题是真命题。
综上，假命题是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题考查等腰三角形的性质与命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握等腰三角形角的相关特征，结合三角形内角和、外角性质逐一验证选项即可，易错点是容易忽略等腰三角形存在直角或钝角顶角的情况。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是假命题，可结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，逐个分析每个选项的说法是否正确，错误的即为假命题。首先回忆相关知识点：等腰三角形两底角相等，三角形三个内角和为180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，再依次验证四个选项即可。
【解析】
已知三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，逐一分析选项：
A. 若等腰三角形的底角为直角或钝角，那么两个底角的和就会大于等于180°，不符合三角形内角和定理，因此等腰三角形的底角一定是锐角，该命题是真命题；
B. 根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，因此等腰三角形至少有两个角相等，该命题是真命题；
C. 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，例如顶角为120°，两个底角均为30°的等腰三角形是存在的，因此“等腰三角形的顶角一定是锐角”的说法错误，该命题是假命题；
D. 根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此等腰三角形顶角的外角=底角+底角=2×底角，该命题是真命题。
综上，假命题是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题考查等腰三角形的性质与命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握等腰三角形角的相关特征，结合三角形内角和、外角性质逐一验证选项即可，易错点是容易忽略等腰三角形存在直角或钝角顶角的情况。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$M$，$N$在边$AB$上，$AC=AM$，$BC=BN$，则$∠ MCN=(\quad)$.
A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.无法确定
A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
题中存在两个等腰三角形$△ ACM$、$△ BCN$和直角三角形$△ ABC$，我们可以先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，将$∠ ACM$、$∠ BCN$分别用$∠ A$、$∠ B$表示，再结合直角三角形两锐角和为$90°$的性质，通过角的和差关系求出$∠ MCN$的度数。
【解析】
解：$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$。
$\because AC=AM$，即$△ ACM$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ACM = ∠ AMC = \frac{180° - ∠ A}{2}$。
$\because BC=BN$，即$△ BCN$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BCN = ∠ BNC = \frac{180° - ∠ B}{2}$。
将两个角相加得：
$∠ ACM + ∠ BCN = \frac{(180° - ∠ A) + (180° - ∠ B)}{2} = \frac{360° - (∠ A + ∠ B)}{2}$，
代入$∠ A + ∠ B=90°$，得：
$∠ ACM + ∠ BCN = \frac{360° - 90°}{2}=135°$。
又$\because ∠ ACM + ∠ BCN = ∠ ACB + ∠ MCN$（两个角相加时，重叠部分$∠ MCN$被重复计算1次），
$\therefore 135° = 90° + ∠ MCN$，
解得$∠ MCN = 135° - 90° = 45°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形和三角形内角和的综合应用题，解题的关键是梳理清楚角之间的和差关系，通过整体代换$∠ A+∠ B$的度数简化计算，避免单独求解$∠ A$、$∠ B$的度数。
【难度系数】
0.7
题中存在两个等腰三角形$△ ACM$、$△ BCN$和直角三角形$△ ABC$，我们可以先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，将$∠ ACM$、$∠ BCN$分别用$∠ A$、$∠ B$表示，再结合直角三角形两锐角和为$90°$的性质，通过角的和差关系求出$∠ MCN$的度数。
【解析】
解：$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$。
$\because AC=AM$，即$△ ACM$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ACM = ∠ AMC = \frac{180° - ∠ A}{2}$。
$\because BC=BN$，即$△ BCN$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BCN = ∠ BNC = \frac{180° - ∠ B}{2}$。
将两个角相加得：
$∠ ACM + ∠ BCN = \frac{(180° - ∠ A) + (180° - ∠ B)}{2} = \frac{360° - (∠ A + ∠ B)}{2}$，
代入$∠ A + ∠ B=90°$，得：
$∠ ACM + ∠ BCN = \frac{360° - 90°}{2}=135°$。
又$\because ∠ ACM + ∠ BCN = ∠ ACB + ∠ MCN$（两个角相加时，重叠部分$∠ MCN$被重复计算1次），
$\therefore 135° = 90° + ∠ MCN$，
解得$∠ MCN = 135° - 90° = 45°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形和三角形内角和的综合应用题，解题的关键是梳理清楚角之间的和差关系，通过整体代换$∠ A+∠ B$的度数简化计算，避免单独求解$∠ A$、$∠ B$的度数。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB // CD，点E在线段BC上，CD = CE。若∠ABC = 30°，则∠D的度数为。
答案
$\boldsymbol{75°}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先根据平行线的性质求出∠C的度数，再结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算∠D的度数。第一步，已知AB//CD，∠ABC与∠C是内错角，根据两直线平行内错角相等，可直接得到∠C的大小；第二步，由CD=CE可知△CDE是等腰三角形，等腰三角形两个底角∠D和∠CED相等，再结合三角形三个内角和为180°，代入已知角度即可求解∠D。
【解析】
解：
∵AB // CD，∠ABC = 30°
∴∠C = ∠ABC = 30°（两直线平行，内错角相等）
又
∵CD = CE
∴△CDE为等腰三角形，∠D = ∠CED
在△CDE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠C + ∠D + ∠CED = 180°
代入∠C=30°，∠CED=∠D得：
30° + 2∠D = 180°
解得：∠D = 75°
【答案】
$\boldsymbol{75°}$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将平行线、等腰三角形的性质与三角形内角和定理结合考查，熟练掌握基础几何性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先根据平行线的性质求出∠C的度数，再结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算∠D的度数。第一步，已知AB//CD，∠ABC与∠C是内错角，根据两直线平行内错角相等，可直接得到∠C的大小；第二步，由CD=CE可知△CDE是等腰三角形，等腰三角形两个底角∠D和∠CED相等，再结合三角形三个内角和为180°，代入已知角度即可求解∠D。
【解析】
解：
∵AB // CD，∠ABC = 30°
∴∠C = ∠ABC = 30°（两直线平行，内错角相等）
又
∵CD = CE
∴△CDE为等腰三角形，∠D = ∠CED
在△CDE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠C + ∠D + ∠CED = 180°
代入∠C=30°，∠CED=∠D得：
30° + 2∠D = 180°
解得：∠D = 75°
【答案】
$\boldsymbol{75°}$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将平行线、等腰三角形的性质与三角形内角和定理结合考查，熟练掌握基础几何性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线.若∠1=20°，则∠2的度数是.
答案
$\boldsymbol{80°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质，等边三角形的三个内角都相等，均为60°，因此可先得到△ABC中内角∠B的度数。再观察∠2与已知角的位置关系，发现∠2是包含∠1和∠B的三角形的外角，根据三角形外角的性质，即可通过已知角的度数计算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠B = 60°（等边三角形的三个内角都是60°）
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠2 = ∠1 + ∠B
又
∵∠1 = 20°
∴∠2 = 20° + 60° = 80°
【答案】
$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
等边三角形的性质、三角形外角定理、角的计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查等边三角形的性质和三角形外角定理的应用，解题关键是准确识别外角与内角的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等边三角形的性质，等边三角形的三个内角都相等，均为60°，因此可先得到△ABC中内角∠B的度数。再观察∠2与已知角的位置关系，发现∠2是包含∠1和∠B的三角形的外角，根据三角形外角的性质，即可通过已知角的度数计算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠B = 60°（等边三角形的三个内角都是60°）
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴∠2 = ∠1 + ∠B
又
∵∠1 = 20°
∴∠2 = 20° + 60° = 80°
【答案】
$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
等边三角形的性质、三角形外角定理、角的计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查等边三角形的性质和三角形外角定理的应用，解题关键是准确识别外角与内角的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 等腰三角形中，若有一个内角为$80°$，则该三角形另外两个内角的度数为。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当已知的80°内角为等腰三角形的顶角时，
根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
可得两个底角的度数均为$\frac{180° - 80°}{2}=50°$，
即此时另外两个内角为$50°$，$50°$。
② 当已知的80°内角为等腰三角形的底角时，
另一个底角也为$80°$，
则顶角的度数为$180° - 80° × 2=20°$，
即此时另外两个内角为$80°$，$20°$。
综上，该三角形另外两个内角的度数为$\boldsymbol{50°、50°}$或$\boldsymbol{80°、20°}$。
① 当已知的80°内角为等腰三角形的顶角时，
根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
可得两个底角的度数均为$\frac{180° - 80°}{2}=50°$，
即此时另外两个内角为$50°$，$50°$。
② 当已知的80°内角为等腰三角形的底角时，
另一个底角也为$80°$，
则顶角的度数为$180° - 80° × 2=20°$，
即此时另外两个内角为$80°$，$20°$。
综上，该三角形另外两个内角的度数为$\boldsymbol{50°、50°}$或$\boldsymbol{80°、20°}$。
解析
【分析】
本题是等腰三角形角度计算类题目，解题思路如下：首先明确等腰三角形未指明是顶角还是底角的内角，存在两种身份可能，因此需要分类讨论：第一种情况假设80°为顶角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角；第二种情况假设80°为底角，同理计算剩余角的度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和规则，均有效。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当已知的80°内角为等腰三角形的顶角时，
根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
可得两个底角的度数均为$\frac{180° - 80°}{2}=50°$，
即此时另外两个内角为$50°$，$50°$。
② 当已知的80°内角为等腰三角形的底角时，
另一个底角也为$80°$，
则顶角的度数为$180° - 80° × 2=20°$，
即此时另外两个内角为$80°$，$20°$。
综上，两种情况均符合三角形内角和要求，均成立。
【答案】
$50°、50°$或$80°、20°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形的基础易错题，易错点是容易忽略未明确类型的内角需要分情况讨论，解题后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形角度计算类题目，解题思路如下：首先明确等腰三角形未指明是顶角还是底角的内角，存在两种身份可能，因此需要分类讨论：第一种情况假设80°为顶角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角；第二种情况假设80°为底角，同理计算剩余角的度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和规则，均有效。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当已知的80°内角为等腰三角形的顶角时，
根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
可得两个底角的度数均为$\frac{180° - 80°}{2}=50°$，
即此时另外两个内角为$50°$，$50°$。
② 当已知的80°内角为等腰三角形的底角时，
另一个底角也为$80°$，
则顶角的度数为$180° - 80° × 2=20°$，
即此时另外两个内角为$80°$，$20°$。
综上，两种情况均符合三角形内角和要求，均成立。
【答案】
$50°、50°$或$80°、20°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形的基础易错题，易错点是容易忽略未明确类型的内角需要分情况讨论，解题后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理，避免漏解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$△ ABC$内一点，且点$D$在边$BC$的垂直平分线上.求证：$∠ ABD = ∠ ACD$.
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$△ ABC$内一点，且点$D$在边$BC$的垂直平分线上.求证：$∠ ABD = ∠ ACD$.
答案
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
∵ 点D在边BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC，
∴ ∠DBC = ∠DCB。
∴ ∠ABC - ∠DBC = ∠ACB - ∠DCB，
即 ∠ABD = ∠ACD。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
∵ 点D在边BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC，
∴ ∠DBC = ∠DCB。
∴ ∠ABC - ∠DBC = ∠ACB - ∠DCB，
即 ∠ABD = ∠ACD。
解析
【分析】
要证明∠ABD=∠ACD，可从已知条件逐步推导：首先由AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠ABC=∠ACB；再根据点D在BC的垂直平分线上，由线段垂直平分线的性质得到DB=DC，再次利用等边对等角推出∠DBC=∠DCB；最后观察待证角和上述两组等角的关系，∠ABD是∠ABC减∠DBC的差，∠ACD是∠ACB减∠DCB的差，根据等式的性质，相等的量减相等的量差相等，即可得证。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
∵ 点D在边BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC，
∴ ∠DBC = ∠DCB。
∴ ∠ABC - ∠DBC = ∠ACB - ∠DCB，
即 ∠ABD = ∠ACD。
【答案】
证明过程如上所述，可证得∠ABD = ∠ACD。
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是结合图形分析角的和差关系，灵活运用等腰三角形和线段垂直平分线的性质推导等角，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要证明∠ABD=∠ACD，可从已知条件逐步推导：首先由AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠ABC=∠ACB；再根据点D在BC的垂直平分线上，由线段垂直平分线的性质得到DB=DC，再次利用等边对等角推出∠DBC=∠DCB；最后观察待证角和上述两组等角的关系，∠ABD是∠ABC减∠DBC的差，∠ACD是∠ACB减∠DCB的差，根据等式的性质，相等的量减相等的量差相等，即可得证。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
∵ 点D在边BC的垂直平分线上，
∴ DB = DC，
∴ ∠DBC = ∠DCB。
∴ ∠ABC - ∠DBC = ∠ACB - ∠DCB，
即 ∠ABD = ∠ACD。
【答案】
证明过程如上所述，可证得∠ABD = ∠ACD。
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是结合图形分析角的和差关系，灵活运用等腰三角形和线段垂直平分线的性质推导等角，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
