三、解答题
7. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，判断AM是否平分∠DAB，并说明理由。

7. AM 平分 $∠ DAB.$ 理由: 如图, 作 $MN ⊥ AD$ 于点 $N. \because DM$ 平分 $∠ CDA, MC ⊥ DC, MN ⊥ AD, \therefore MC = MN.$ 又 $\because M$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore MC = MB. \therefore MN = MB.$ 又 $\because MN ⊥ AD, MB ⊥ AB, \therefore AM$ 平分 $∠ DAB$

【分析】
要判断AM是否平分∠DAB，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此需证明点M到AD的距离等于点M到AB的距离。已知DM平分∠ADC、∠C为直角、M是BC中点，我们可以过M作AD的垂线MN，先借助角平分线的性质得到MC=MN，再结合中点性质推出MN=MB，最后用角平分线的判定即可得到结论。
【解析】
解：AM平分∠DAB，理由如下：
过点M作$MN ⊥ AD$于点N，
$\because$ DM平分$∠ ADC$，$∠ C=90°$（即$MC ⊥ DC$），$MN ⊥ AD$，
$\therefore$ 由角平分线的性质可得：$MC = MN$，
$\because$ M是BC的中点，
$\therefore$ $MC = MB$，
$\therefore$ $MN = MB$，
又$\because$ $∠ B=90°$（即$MB ⊥ AB$），$MN ⊥ AD$，
$\therefore$ 由角平分线的判定可得：AM平分$∠ DAB$。
【答案】
AM 平分 $∠ DAB.$ 理由: 如图, 作 $MN ⊥ AD$ 于点 $N. \because DM$ 平分 $∠ CDA, MC ⊥ DC, MN ⊥ AD, \therefore MC = MN.$ 又 $\because M$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore MC = MB. \therefore MN = MB.$ 又 $\because MN ⊥ AD, MB ⊥ AB, \therefore AM$ 平分 $∠ DAB$
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，中点的定义
【点评】
本题是角平分线相关的基础应用题，解题的关键是合理构造辅助线，得到点到角两边的垂线段，结合角平分线的性质和判定完成推导，学习过程中要注意区分角平分线性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.7

8. 如图，AM平分∠BAC，O是AM上一点，OD⊥BM于点D，OE⊥CM于点E.OD与OE相等吗？如果相等，请说明理由；如果不一定相等，请增加一个条件，使OD=OE，并证明.

不一定相等,增加条件不唯一.如: $AB=AC$, 理由: $\because AB=AC, ∠ BAM=∠ CAM, AM = AM, \therefore △ ABM ≌ △ ACM. \therefore ∠ BMA = ∠ CMA.$ 又 $\because OD ⊥ BM, OE ⊥ CM, \therefore OD = OE$

【分析】
要判断OD与OE是否相等，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。若OD=OE，则需要点O在∠BMC的角平分线上，即∠AMB=∠AMC。已知仅AM平分∠BAC，可得∠BAM=∠CAM，结合公共边AM，无法直接证明△ABM≌△ACM，因此不能得到∠AMB=∠AMC，所以OD与OE不一定相等。要使OD=OE，可添加条件让△ABM≌△ACM，从而得到∠AMB=∠AMC，再利用角平分线的性质即可证明。
【解析】
OD与OE不一定相等，添加条件不唯一，例如添加$AB=AC$，证明如下：
$\because$ AM平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAM=∠ CAM$
在$△ ABM$和$△ ACM$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠ BAM=∠ CAM\\AM=AM\end{array} $
$\therefore △ ABM ≌ △ ACM$（SAS）
$\therefore ∠ BMA=∠ CMA$，即AM平分$∠ BMC$
又$\because OD⊥ BM$，$OE⊥ CM$，点O在AM上
$\therefore OD=OE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
【答案】
不一定相等,增加条件不唯一.如: $AB=AC$, 理由: $\because AB=AC, ∠ BAM=∠ CAM, AM = AM, \therefore △ ABM ≌ △ ACM. \therefore ∠ BMA = ∠ CMA.$ 又 $\because OD ⊥ BM, OE ⊥ CM, \therefore OD = OE$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于开放性几何题，解题核心是明确角平分线的性质，通过添加合适的条件构造全等三角形得到角相等，进而证明线段相等，添加的条件只要能推出$△ ABM ≌ △ ACM$均符合要求。
【难度系数】
0.7

9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线$BP$与$∠ BAC$的外角平分线$AP$交于点$P$，过点$P$作$PM ⊥ BA$，$PN ⊥ BC$，垂足分别为点$M$，$N$.求证：
(1) $CP$平分$∠ ACN$；
(2) $∠ ABC + 2∠ APC = 180°$.

过点 $P$ 作 $PD ⊥ AC$ 于点 $D.$ (1) 由题意, 得 $PN = PM = PD. \therefore$ 点 $P$ 在 $∠ ACN$ 的平分线上, 即 $CP$ 平分 $∠ ACN$ (2) $\because PM ⊥ BA, PN ⊥ BC, \therefore ∠ MBP + ∠ MPB = 90°, ∠ NBP + ∠ NPB = 90°. \therefore ∠ ABC + ∠ MPN = 180°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ PAM$ 和 $\mathrm{Rt}△ PAD$ 中, $PM = PD, PA = PA, \therefore \mathrm{Rt}△ PAM ≌ \mathrm{Rt}△ PAD. \therefore ∠ APM = ∠ APD.$ 同理, 可得 $∠ CPD = ∠ CPN. \therefore ∠ MPN = 2∠ APC. \therefore ∠ ABC + 2∠ APC = ∠ ABC + ∠ MPN = 180°$

【分析】
(1) 要证明$CP$平分$∠ACN$，根据角平分线的判定定理，只需证明点$P$到$AC$和$BC$的距离相等即可。我们过$P$作$PD⊥AC$于点$D$，利用已知的$AP$、$BP$为角平分线，结合角平分线的性质可推出$PD=PN$，即可证明结论。
(2) 要证明$∠ABC + 2∠APC = 180°$，先在含两个直角的四边形$BMPN$中推导得到$∠ABC + ∠MPN = 180°$，只需再证明$∠MPN=2∠APC$即可。通过证明两组直角三角形全等，得到对应角相等，就能推导出$∠MPN$和$∠APC$的数量关系，代入后即可得证。
【解析】
证明：过点$P$作$PD ⊥ AC$于点$D$.
(1)
∵$AP$是$∠BAC$的外角平分线，$PM ⊥ BA$，$PD ⊥ AC$，
∴根据角平分线的性质，得$PM = PD$，
又
∵$BP$是$∠ABC$的平分线，$PM ⊥ BA$，$PN ⊥ BC$，
∴$PM = PN$，
∴$PN = PD$，
又
∵$PD ⊥ AC$，$PN ⊥ BC$，
∴根据角平分线的判定定理，点$P$在$∠ACN$的平分线上，即$CP$平分$∠ACN$.
(2)
∵$PM ⊥ BA$，$PN ⊥ BC$，
∴$∠M = ∠PNB = 90°$，
∵四边形$BMPN$内角和为$360°$，
∴$∠ABC + ∠M + ∠PNB + ∠MPN = 360°$，
代入得$∠ ABC + 90° + 90° + ∠ MPN = 360°$，
∴$∠ ABC + ∠ MPN = 180°$.
在$\mathrm{Rt}△ PAM$和$\mathrm{Rt}△ PAD$中：
$\{\begin{array}{l} PM = PD\\ PA = PA\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ PAM ≌ \mathrm{Rt}△ PAD$（HL），
∴$∠ APM = ∠ APD$.
同理，在$\mathrm{Rt}△ PCD$和$\mathrm{Rt}△ PCN$中：
$\{\begin{array}{l} PD = PN\\ PC = PC\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ PCD ≌ \mathrm{Rt}△ PCN$（HL），
∴$∠ CPD = ∠ CPN$.
∴$∠APD + ∠CPD = ∠APM + ∠CPN$，即$∠APC = ∠APM + ∠CPN$，
∴$∠ MPN = ∠APM + ∠APC + ∠CPN = 2∠ APC$，
代入$∠ ABC + ∠ MPN = 180°$得：$∠ ABC + 2∠ APC = 180°$.
【答案】
(1) $CP$平分$∠ ACN$成立；
(2) $∠ ABC + 2∠ APC = 180°$成立。
【知识点】
角平分线的性质与判定；直角三角形全等的判定；四边形内角和定理
【点评】
本题是角平分线模块的典型综合题，解题核心是通过作垂线段辅助线，结合角平分线的相关定理、全等三角形的性质完成角的关系转化，能很好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6