登录
1. 如图,线段CD的两个端点的坐标分别为C(1,2),D(2,0).以原点O为位似中心,将线段CD放大得到线段AB.若点B的坐标为(6,0),则点A的坐标为 (
A.(2,5)
B.(2.5,5)
C.(3,5)
D.(3,6)
D
)A.(2,5)
B.(2.5,5)
C.(3,5)
D.(3,6)
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题思路如下：第一步先找对应点，点D和点B是一组对应点，结合二者坐标可计算出位似比；第二步回忆以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似比为k，同侧位似时原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)；第三步用点C的坐标乘位似比，即可得到点A的坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，点D(2,0)的对应点为B(6,0)，
∴ 本次位似变换的位似比 $k=\frac{OB}{OD}=\frac{6}{2}=3$，且线段AB与CD在位似中心同侧。
∵ 点C(1,2)的对应点为A，
∴ 点A的坐标为 $(1×3, 2×3)$，即 $(3,6)$。
【答案】
D
【知识点】
位似变换的性质，平面直角坐标系位似点坐标规律
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，解题核心是先通过已知对应点求出位似比，再结合位似图形的位置关系计算未知对应点的坐标，熟练掌握位似的坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题思路如下：第一步先找对应点，点D和点B是一组对应点，结合二者坐标可计算出位似比；第二步回忆以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似比为k，同侧位似时原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)；第三步用点C的坐标乘位似比，即可得到点A的坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，点D(2,0)的对应点为B(6,0)，
∴ 本次位似变换的位似比 $k=\frac{OB}{OD}=\frac{6}{2}=3$，且线段AB与CD在位似中心同侧。
∵ 点C(1,2)的对应点为A，
∴ 点A的坐标为 $(1×3, 2×3)$，即 $(3,6)$。
【答案】
D
【知识点】
位似变换的性质，平面直角坐标系位似点坐标规律
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，解题核心是先通过已知对应点求出位似比，再结合位似图形的位置关系计算未知对应点的坐标，熟练掌握位似的坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. [2024·浙江中考]如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为 (
A.(-4,8)
B.(8,-4)
C.(-8,4)
D.(4,-8)
A
)A.(-4,8)
B.(8,-4)
C.(-8,4)
D.(4,-8)
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，解题思路如下：首先根据已知的一组对应点A、A'的坐标计算位似比；再利用位似变换的坐标性质，将点B的横、纵坐标分别与位似比相乘，即可得到对应点B'的坐标。需注意两个位似图形在坐标系中位于同一象限，因此坐标符号不变。
【解析】
∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为原点O，点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2)
∴位似比$k=\frac{-6}{-3}=\frac{2}{1}=2$
根据平面直角坐标系中位似变换的规律：以原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标等于原坐标乘位似比k
∴点B(-2,4)的对应点B'的坐标为$(-2×2,4×2)$，即$(-4,8)$
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质；平面直角坐标系坐标变换
【点评】
本题属于位似变换的基础题，主要考查对原点为位似中心的坐标变换规律的理解与应用，熟练掌握位似比的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，解题思路如下：首先根据已知的一组对应点A、A'的坐标计算位似比；再利用位似变换的坐标性质，将点B的横、纵坐标分别与位似比相乘，即可得到对应点B'的坐标。需注意两个位似图形在坐标系中位于同一象限，因此坐标符号不变。
【解析】
∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为原点O，点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2)
∴位似比$k=\frac{-6}{-3}=\frac{2}{1}=2$
根据平面直角坐标系中位似变换的规律：以原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标等于原坐标乘位似比k
∴点B(-2,4)的对应点B'的坐标为$(-2×2,4×2)$，即$(-4,8)$
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质；平面直角坐标系坐标变换
【点评】
本题属于位似变换的基础题，主要考查对原点为位似中心的坐标变换规律的理解与应用，熟练掌握位似比的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. [易错题]如图,已知△OAB与△OA'B'是相似比为1:2的位似图形,点O为位似中心.若△OAB内一点P(x,y)与△OA'B'内一点P'是一对对应点,则点P'的坐标是
(-2x,-2y)
.答案
3.(-2x,-2y)
解析
【分析】
首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：对应点的坐标的比等于位似比或其相反数，具体符号由两个位似图形相对于原点的位置决定。本题中首先明确△OAB与△OA'B'的相似比为1:2，即△OA'B'的边长是△OAB的2倍；再观察图形可得两个三角形位于原点的两侧，因此对应点的横、纵坐标符号均与原坐标相反，结合位似比即可推出P'的坐标。
【解析】
∵ 位似中心为坐标原点O，△OAB与△OA'B'的相似比为1:2，
∴ △OA'B'与△OAB的位似比为2:1。
又
∵ 两个位似图形分别位于原点的两侧，对应点的横、纵坐标符号均与原坐标相反，
∴ 原图形内点P(x,y)的对应点P'的坐标为$(x×(-2), y×(-2))$，即$(-2x,-2y)$。
【答案】
$(-2x,-2y)$
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 坐标系中位似的坐标变化
3. 相似比的概念
【点评】
本题属于位似变换的基础易错题，易错点是忽略两个位似图形处于原点异侧的位置特征，漏变坐标符号，直接写成$(2x,2y)$，解题时要结合图形判断对应点的相对位置，准确确定坐标的符号。
【难度系数】
0.7
首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：对应点的坐标的比等于位似比或其相反数，具体符号由两个位似图形相对于原点的位置决定。本题中首先明确△OAB与△OA'B'的相似比为1:2，即△OA'B'的边长是△OAB的2倍；再观察图形可得两个三角形位于原点的两侧，因此对应点的横、纵坐标符号均与原坐标相反，结合位似比即可推出P'的坐标。
【解析】
∵ 位似中心为坐标原点O，△OAB与△OA'B'的相似比为1:2，
∴ △OA'B'与△OAB的位似比为2:1。
又
∵ 两个位似图形分别位于原点的两侧，对应点的横、纵坐标符号均与原坐标相反，
∴ 原图形内点P(x,y)的对应点P'的坐标为$(x×(-2), y×(-2))$，即$(-2x,-2y)$。
【答案】
$(-2x,-2y)$
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 坐标系中位似的坐标变化
3. 相似比的概念
【点评】
本题属于位似变换的基础易错题，易错点是忽略两个位似图形处于原点异侧的位置特征，漏变坐标符号，直接写成$(2x,2y)$，解题时要结合图形判断对应点的相对位置，准确确定坐标的符号。
【难度系数】
0.7
4. 在如图所示的方格中,每个小正方形的边长均为1,$△ O_{1}A_{1}B_{1}$与$△ OAB$是以点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P的坐标及$△ O_{1}A_{1}B_{1}$与$△ OAB$的相似比;
(2)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出$△ OAB$的另一个位似图形$△ OA_{2}B_{2}$,使它与$△ OAB$的相似比为$2:1$,并写出点B的对应点$B_{2}$的坐标.
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P的坐标及$△ O_{1}A_{1}B_{1}$与$△ OAB$的相似比;
(2)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出$△ OAB$的另一个位似图形$△ OA_{2}B_{2}$,使它与$△ OAB$的相似比为$2:1$,并写出点B的对应点$B_{2}$的坐标.
答案
4.(1)图略,点P的坐标为(-5,-1),△O₁A₁B₁与△OAB的相似比为2:1.
(2)图略,点B₂的坐标为(2,6).
(2)图略,点B₂的坐标为(2,6).
解析
【分析】
(1) 位似图形的位似中心是所有对应点连线的公共交点，因此只需连接两组对应点（如O与O₁、A与A₁），延长后交点即为P，再根据网格读取P的坐标；相似比为位似图形对应边的长度比，计算对应边长度求比值即可。
(2) 原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标比等于相似比（同侧符号相同，异侧符号相反），本题要求在y轴右侧，与原图形（在y轴左侧）异侧，因此将原△OAB各顶点横、纵坐标乘以-2（相似比为2:1，新图形边长是原图形的2倍），即可得到对应点坐标，顺次连接得到图形，读出B₂坐标即可。
【解析】
(1) 分别连接$O_1O$、$A_1A$并延长，两直线的交点即为位似中心$P$，结合网格读取坐标得$P(-5,-1)$；
观察网格可得，$△ OAB$中$OA$的长度为$\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，$△ O_1A_1B_1$中对应边$O_1A_1$的长度为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，因此$△ O_1A_1B_1$与$△ OAB$的相似比为$O_1A_1:OA=2:1$。
(2) 先确定原$△ OAB$各顶点坐标：$O(0,0)$，$A(-2,-1)$，$B(-1,-3)$；
以原点为位似中心，在y轴右侧作相似比为$2:1$的位似图形，即新图形各点坐标为原坐标乘以$-2$（异侧符号相反，长度放大2倍），因此$B$的对应点$B_2$的坐标为$(-1×(-2),-3×(-2))=(2,6)$，顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$即可得到$△ OA_2B_2$。
【答案】
(1) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-5,-1)}$，$△ O_1A_1B_1$与$△ OAB$的相似比为$\boldsymbol{2:1}$；
(2) 点$B_2$的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$。
【知识点】
位似中心的确定；位似相似比；坐标系位似变换
【点评】
本题考查位似图形的基础应用，解题核心是掌握位似中心的找法，以及平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律，对位似图形的概念理解到位即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 位似图形的位似中心是所有对应点连线的公共交点，因此只需连接两组对应点（如O与O₁、A与A₁），延长后交点即为P，再根据网格读取P的坐标；相似比为位似图形对应边的长度比，计算对应边长度求比值即可。
(2) 原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标比等于相似比（同侧符号相同，异侧符号相反），本题要求在y轴右侧，与原图形（在y轴左侧）异侧，因此将原△OAB各顶点横、纵坐标乘以-2（相似比为2:1，新图形边长是原图形的2倍），即可得到对应点坐标，顺次连接得到图形，读出B₂坐标即可。
【解析】
(1) 分别连接$O_1O$、$A_1A$并延长，两直线的交点即为位似中心$P$，结合网格读取坐标得$P(-5,-1)$；
观察网格可得，$△ OAB$中$OA$的长度为$\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，$△ O_1A_1B_1$中对应边$O_1A_1$的长度为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，因此$△ O_1A_1B_1$与$△ OAB$的相似比为$O_1A_1:OA=2:1$。
(2) 先确定原$△ OAB$各顶点坐标：$O(0,0)$，$A(-2,-1)$，$B(-1,-3)$；
以原点为位似中心，在y轴右侧作相似比为$2:1$的位似图形，即新图形各点坐标为原坐标乘以$-2$（异侧符号相反，长度放大2倍），因此$B$的对应点$B_2$的坐标为$(-1×(-2),-3×(-2))=(2,6)$，顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$即可得到$△ OA_2B_2$。
【答案】
(1) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-5,-1)}$，$△ O_1A_1B_1$与$△ OAB$的相似比为$\boldsymbol{2:1}$；
(2) 点$B_2$的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$。
【知识点】
位似中心的确定；位似相似比；坐标系位似变换
【点评】
本题考查位似图形的基础应用，解题核心是掌握位似中心的找法，以及平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律，对位似图形的概念理解到位即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,点A,B,E在x轴上.若正方形BEFG的边长为6,则点C的坐标为
(3,2)
.答案
5.(3,2)
解析
【分析】
解题时先利用位似图形的相似比求出小正方形ABCD的边长，再结合位似中心为原点的性质，得到对应线段的比例关系，求出点C的横坐标，最后结合小正方形边长得到点C的纵坐标，即可确定点C坐标。
【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG的相似比为$\frac{1}{3}$，正方形BEFG的边长为6，
∴正方形ABCD的边长为$6×\frac{1}{3}=2$，即$BC=2$，也就是点C的纵坐标为2。
设$OB=x$，则$OE=OB+BE=x+6$，
∵两个正方形以原点O为位似中心，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{x+6}=\frac{1}{3}$，
解方程得：$3x=x+6$，$x=3$，即$OB=3$，也就是点C的横坐标为3。
综上，点C的坐标为$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
位似图形的性质，正方形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题考查位似图形的性质应用，解题的关键是抓住位似比与对应线段长度的关系求解，是位似相关知识点的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用位似图形的相似比求出小正方形ABCD的边长，再结合位似中心为原点的性质，得到对应线段的比例关系，求出点C的横坐标，最后结合小正方形边长得到点C的纵坐标，即可确定点C坐标。
【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG的相似比为$\frac{1}{3}$，正方形BEFG的边长为6，
∴正方形ABCD的边长为$6×\frac{1}{3}=2$，即$BC=2$，也就是点C的纵坐标为2。
设$OB=x$，则$OE=OB+BE=x+6$，
∵两个正方形以原点O为位似中心，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{x+6}=\frac{1}{3}$，
解方程得：$3x=x+6$，$x=3$，即$OB=3$，也就是点C的横坐标为3。
综上，点C的坐标为$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
位似图形的性质，正方形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题考查位似图形的性质应用，解题的关键是抓住位似比与对应线段长度的关系求解，是位似相关知识点的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-4,4),(0,4)$,点C,D的坐标分别为$(0,1),(2,1)$.若线段AB和CD是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为
(0,2)
.答案
6.(0,2)
解析
【分析】
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，本题已知位似中心在y轴上，首先确定对应顶点：线段AB端点为A(-4,4)、B(0,4)，线段CD端点为C(0,1)、D(2,1)，AB、CD均平行于x轴为对应边，因此对应顶点为A对应D、B对应C。由于B、C都在y轴上，二者连线就是y轴，只需求出对应顶点连线AD与y轴的交点，即可得到位似中心；也可设位似中心坐标，利用位似比等于对应点到位似中心的距离比列方程求解。
【解析】
方法一：连接AD，设直线AD的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将A(-4,4)、D(2,1)代入解析式得：
$\begin{cases} -4k + b = 4 \\ 2k + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=-3$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
将$k=-\frac{1}{2}$代入$2k + b = 1$，得$-1 + b = 1$，解得$b=2$。
因此直线AD的解析式为$y=-\frac{1}{2}x + 2$。
y轴上点的横坐标为0，令$x=0$，得$y=2$，即直线AD与y轴的交点为(0,2)，即位似中心坐标为(0,2)。
方法二：设位似中心为$P(0,m)$。
AB的长度为$|0 - (-4)|=4$，CD的长度为$|2 - 0|=2$，因此位似比为$AB:CD=2:1$。
根据位似性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，因此$PB:PC=2:1$，其中$PB=4-m$，$PC=m-1$（位似中心在B、C之间，m介于1和4之间）。
列方程：$4 - m = 2(m - 1)$，解得$m=2$，即位似中心坐标为(0,2)。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
位似图形的性质；待定系数法求一次函数解析式；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是位似性质在平面直角坐标系中的基础应用，解题核心是抓住位似中心是对应顶点连线的交点这一性质，结合坐标系特点即可快速求解。
【难度系数】
0.7
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，本题已知位似中心在y轴上，首先确定对应顶点：线段AB端点为A(-4,4)、B(0,4)，线段CD端点为C(0,1)、D(2,1)，AB、CD均平行于x轴为对应边，因此对应顶点为A对应D、B对应C。由于B、C都在y轴上，二者连线就是y轴，只需求出对应顶点连线AD与y轴的交点，即可得到位似中心；也可设位似中心坐标，利用位似比等于对应点到位似中心的距离比列方程求解。
【解析】
方法一：连接AD，设直线AD的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将A(-4,4)、D(2,1)代入解析式得：
$\begin{cases} -4k + b = 4 \\ 2k + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$6k=-3$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
将$k=-\frac{1}{2}$代入$2k + b = 1$，得$-1 + b = 1$，解得$b=2$。
因此直线AD的解析式为$y=-\frac{1}{2}x + 2$。
y轴上点的横坐标为0，令$x=0$，得$y=2$，即直线AD与y轴的交点为(0,2)，即位似中心坐标为(0,2)。
方法二：设位似中心为$P(0,m)$。
AB的长度为$|0 - (-4)|=4$，CD的长度为$|2 - 0|=2$，因此位似比为$AB:CD=2:1$。
根据位似性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，因此$PB:PC=2:1$，其中$PB=4-m$，$PC=m-1$（位似中心在B、C之间，m介于1和4之间）。
列方程：$4 - m = 2(m - 1)$，解得$m=2$，即位似中心坐标为(0,2)。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
位似图形的性质；待定系数法求一次函数解析式；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是位似性质在平面直角坐标系中的基础应用，解题核心是抓住位似中心是对应顶点连线的交点这一性质，结合坐标系特点即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O位于坐标原点，点A，C坐标分别为(-4,0)和(0,6)。若矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的$\frac{1}{16}$，则点B的对应点B'的坐标是
$(1,-\frac{3}{2})或(-1,\frac{3}{2})$
。答案
7.$(1,-\frac{3}{2})或(-1,\frac{3}{2})$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据矩形的性质确定点B的坐标，已知A(-4,0)、C(0,6)，矩形对边平行且相等，可得点B坐标为(-4,6)；第二步，利用位似图形的面积比等于相似比的平方，由面积比为$\frac{1}{16}$计算出位似比为$\frac{1}{4}$；第三步，平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，对应点坐标为原坐标乘位似比或位似比的相反数，分两种情况计算即可得到B'的坐标，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵四边形OABC是矩形，点A(-4,0)，C(0,6)
∴点B的坐标为$(-4,6)$
∵矩形$OA'B'C'$与矩形$OABC$关于点$O$位似，且$S_{矩形OA'B'C'}=\frac{1}{16}S_{矩形OABC}$
∴位似比$k=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$
∵位似中心为原点，位似图形可位于原点同侧或异侧
∴点B的对应点B'的坐标为$(-4×\frac{1}{4},6×\frac{1}{4})$或$(-4×(-\frac{1}{4}),6×(-\frac{1}{4}))$
计算得$B'$的坐标为$(-1,\frac{3}{2})$或$(1,-\frac{3}{2})$
【答案】
$(1,-\frac{3}{2})或(-1,\frac{3}{2})$
【知识点】
位似的性质，坐标与位似变换，矩形的性质
【点评】
本题主要考查位似图形的性质，易错点是忽略位似图形相对于位似中心的两种位置关系，导致漏解，熟练掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，根据矩形的性质确定点B的坐标，已知A(-4,0)、C(0,6)，矩形对边平行且相等，可得点B坐标为(-4,6)；第二步，利用位似图形的面积比等于相似比的平方，由面积比为$\frac{1}{16}$计算出位似比为$\frac{1}{4}$；第三步，平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，对应点坐标为原坐标乘位似比或位似比的相反数，分两种情况计算即可得到B'的坐标，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵四边形OABC是矩形，点A(-4,0)，C(0,6)
∴点B的坐标为$(-4,6)$
∵矩形$OA'B'C'$与矩形$OABC$关于点$O$位似，且$S_{矩形OA'B'C'}=\frac{1}{16}S_{矩形OABC}$
∴位似比$k=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$
∵位似中心为原点，位似图形可位于原点同侧或异侧
∴点B的对应点B'的坐标为$(-4×\frac{1}{4},6×\frac{1}{4})$或$(-4×(-\frac{1}{4}),6×(-\frac{1}{4}))$
计算得$B'$的坐标为$(-1,\frac{3}{2})$或$(1,-\frac{3}{2})$
【答案】
$(1,-\frac{3}{2})或(-1,\frac{3}{2})$
【知识点】
位似的性质，坐标与位似变换，矩形的性质
【点评】
本题主要考查位似图形的性质，易错点是忽略位似图形相对于位似中心的两种位置关系，导致漏解，熟练掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
