一、选择题
1. 下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

$\boldsymbol{D}$

解：
根据定义逐一判断：
1. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能与自身完全重合的图形。
选项A：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
选项B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
选项C：是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项D：既是轴对称图形，又是中心对称图形。

2.如图，$\odot O$是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接AD，BD，则$∠ ADB=$（）

A.$20°$
B.$22.5°$
C.$30°$
D.$45°$

B

正八边形的外接圆被各顶点等分为8段相等的弧，每段弧的度数为$\frac{360°}{8}=45°$，即弧$AB$的度数为$45°$。根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此$∠ ADB=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。

3.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$有实数根，则$a$的取值范围是（）

A.$a＞1$
B.$a＜1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$

C

对于一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为$a$。方程有实数根，则根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1× a ≥ 0$，即$4-4a≥0$，解不等式得$a≤1$。

4.如图，点A,B,O,C都在方格纸的格点上，若$△ COD$是由$△ AOB$绕着点O按逆时针的方向旋转得到的，则旋转角的度数是（）

A.$135°$
B.$120°$
C.$90°$
D.$45°$

C

根据旋转角的定义：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角。观察格点图，△COD由△AOB绕点O逆时针旋转得到，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，通过计算对应边OA与OC、OB与OD的夹角，可得该夹角为90°，即旋转角的度数是90°。

5.综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm³)的反比例函数，其图象如图所示(ρ＞0).下列说法正确的是()


A.当ρ≥1时，h≥20
B.当ρ=2时，h=40
C.当0＜h≤25时，ρ≥0.8
D.当0＜ρ≤1时，h≤20

C

设h关于ρ的反比例函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$，将图象过的点$(1,20)$代入解析式，得$20=\frac{k}{1}$，解得$k=20$，即$h=\frac{20}{\rho}$。
逐一判断选项：
1. 选项A：当$\rho≥1$时，$h=\frac{20}{\rho}$，$k＞0$，h随ρ增大而减小，可得$h≤20$，A错误；
2. 选项B：当$\rho=2$时，$h=\frac{20}{2}=10≠40$，B错误；
3. 选项C：当$0＜h≤25$时，代入解析式得$0＜\frac{20}{\rho}≤25$，结合$\rho＞0$解不等式，得$\rho≥0.8$，C正确；
4. 选项D：当$0＜\rho≤1$时，$h=\frac{20}{\rho}≥20$，D错误。

6. 提升题 二次函数 $ y=ax^2+bx+c(a≠0) $ 的部分图象如图所示，对称轴为直线 $ x=-1 $。下列结论：① $ \frac{b}{c}＞0 $；② $ am^2 + bm ≤ a - b $（$ m $ 为任意实数）；③ $ 3a + c ＜ 0 $；④ $ 9a - 3b + c ＜ 0 $；⑤ 若方程 $ |ax^2 + bx + c|=1 $ 有四个根，则这四个根的和为－4。其中正确的有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

C

由二次函数图象性质可得：开口向下故$a＜0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＜0$；图象与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$。
1. 对①：$b＜0$，$c＞0$，因此$\frac{b}{c}＜0$，①错误；
2. 对②：$x=-1$是二次函数的最大值点，对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a·(-1)^2 + b·(-1)+c$，消去$c$得$am^2+bm ≤ a-b$，②正确；
3. 对③：代入$x=1$，函数值$y=a+b+c=3a+c$，由图象知$x=1$时$y＜0$，故$3a+c＜0$，③正确；
4. 对④：$x=-3$与$x=1$关于对称轴$x=-1$对称，两点函数值相等，故$9a-3b+c=y|_{x=1}＜0$，④正确；
5. 对⑤：方程$|ax^2+bx+c|=1$等价于$ax^2+bx+c=1$和$ax^2+bx+c=-1$，两个方程的根都关于$x=-1$对称，每组两根之和为$-2$，四个根总和为$-2+(-2)=-4$，⑤正确。
综上，正确结论共4个。

7.若关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$有两个实数根$x_1,x_2$，且$x_1 + x_2 + 3x_1x_2 ≥5$，则$m$的取值范围是 .

解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1× m ≥ 0$，
即$16 -4m ≥ 0$，
解得$m ≤ 4$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = m$。
代入不等式$x_1 + x_2 + 3x_1x_2 ≥ 5$，得：
$4 + 3m ≥ 5$，
解得$m ≥ \frac{1}{3}$。
综上，$m$的取值范围是$\frac{1}{3} ≤ m ≤ 4$。