1.我们来探索捆扎圆柱管时所需要的绳子的长度(不计接头部分)与圆柱管的半径r之间的关系.
(1)当圆柱管的放置方式是“单层平放”时,截面如图所示,完成下表.


(2)当圆柱管的放置方式是“两层叠放(每一个圆都至少和两个圆外切)”时,截面如图所示,完成下表.


(3)当圆柱管的个数为10时,放置方式有许多种,请你设计一种绳子长度最短的放置方式,画出草图,并计算绳子的长度.

解：
(1) 2个圆柱管时，绳子两端圆弧之和恰好为1个整圆的周长$2π r$，上下两条外公切线总长度为$4r$，因此绳子长度为$2π r + 4r$；
3个圆柱管时，绳子两端圆弧之和仍为$2π r$，上下两条外公切线总长度为$8r$，因此绳子长度为$2π r + 8r$。
表格依次填入：$\boldsymbol{2π r + 4r}$，$\boldsymbol{2π r + 8r}$。
(2) 3个圆柱管两两外切，圆心构成边长为$2r$的正三角形，所有拐角圆弧之和为$2π r$，直段总长度为$6r$，绳子长度为$2π r + 6r$；
4个圆柱管2行2列排列，所有拐角圆弧之和为$2π r$，直段总长度为$8r$，绳子长度为$2π r + 8r$；
5个圆柱管两层叠放（上层2个、下层3个），所有拐角圆弧之和为$2π r$，直段总长度为$10r$，绳子长度为$2π r + 10r$；
6个圆柱管2行3列排列，所有拐角圆弧之和为$2π r$，直段总长度为$12r$，绳子长度为$2π r + 12r$。
表格依次填入：$\boldsymbol{2π r + 6r}$，$\boldsymbol{2π r + 8r}$，$\boldsymbol{2π r + 10r}$，$\boldsymbol{2π r + 12r}$。
(3) 将10个圆柱管按3行紧凑排列：第一行3个，第二行4个，第三行3个，所有相邻圆两两外切，该排列外围轮廓最接近圆形，绳子长度最短。
此时所有拐角处的圆弧之和恰好等于1个整圆的周长$2π r$，所有直段部分总长度为$20r$，因此绳子总长度为：
$2π r + 20r$
答：10个圆柱管按3行（3个、4个、3个）排列时绳子最短，绳子长度为$2π r + 20r$。

2. 提升题 解答下列问题.
(1)如图①,在足球比赛场上,甲带球奔向对方球门$PQ$,当他带球冲到$A$点时,同伴乙已冲到$B$点,甲是自己射门好,还是将球传给乙,让乙射门好? 对于这个问题,根据“仅从射门角度考虑,球员对球门的视角越大,足球越容易被踢进”的经验,小明认为甲应该将球传给乙.请结合图①给出$∠ PAQ ＜ ∠ PBQ$的理由.
(2)最大视角问题:如图②,$A,B$是平面内两个定点,$C$是直线$l$上的一个动点,当且仅当$△ ABC$的外接圆与$l$相切于点$C$时,$∠ ACB$最大.如图③,$∠ MPN=30°$,$A,B$是边$PM$上两点,$AB=6$,$C$是边$PN$上的一个动点.
①若$∠ ACB$最大为$90°$,请求出当$∠ ACB=90°$时,$PC$的长;
②若$∠ ACB$最大不超过$60°$,写出$PA$的取值范围:.

(1) 证明：
如图①，设AQ交过P、Q、B三点的圆于点C，连接CQ。
由圆周角定理得 $∠ PBQ = ∠ PCQ$，
$\because ∠ PCQ$ 是 $△ ACQ$ 的外角，
$\therefore ∠ PCQ ＞ ∠ PAQ$，
$\therefore ∠ PAQ ＜ ∠ PBQ$。
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(2) 解答：
① 解：当 $∠ ACB$ 最大时，$△ ABC$ 的外接圆与 $PN$ 相切于点 $C$。
由题意此时 $∠ ACB=90°$，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得 $AB$ 是该外接圆的直径。
设圆心为 $O$，则 $O$ 是 $AB$ 的中点，半径 $OC=OA=OB=\frac{AB}{2}=3$。
$\because$ 圆 $O$ 与 $PN$ 相切于点 $C$，
$\therefore OC ⊥ PN$，即 $∠ OCP=90°$。
又 $\because ∠ MPN=30°$，$O$ 在 $PM$ 上，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ POC$ 中，$PO=2OC=6$，
$\therefore PC=\sqrt{PO^2 - OC^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}$。
② $0 ＜ PA ≤ 4\sqrt{3}-6$ 或 $PA ≥ 4\sqrt{3}$
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答：① $PC$ 的长为 $3\sqrt{3}$；② $PA$ 的取值范围是 $0 ＜ PA ≤ 4\sqrt{3}-6$ 或 $PA ≥ 4\sqrt{3}$。