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8.如图，四边形BCEF为$\odot O$的内接四边形，AB为$\odot O$的直径，连接OE.若$∠ BOE=80°$，则$∠ C=$.
答案
$\boldsymbol{140°}$
解析
解：
∵ ∠BOE = 80°，
∴ 同弧BE所对的圆周角∠BFE = $\frac{1}{2}$∠BOE = 40°。
∵ 四边形BCEF为⊙O的内接四边形，
∴ ∠C + ∠BFE = 180°，
∴ ∠C = 180° - 40° = 140°。
∵ ∠BOE = 80°，
∴ 同弧BE所对的圆周角∠BFE = $\frac{1}{2}$∠BOE = 40°。
∵ 四边形BCEF为⊙O的内接四边形，
∴ ∠C + ∠BFE = 180°，
∴ ∠C = 180° - 40° = 140°。
9.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为$10π$ cm，母线长为10 cm，则圆锥的侧面积为 cm²（结果保留π）。
答案
$\boldsymbol{50π}$
解析
解：
圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为弧长，$r$为扇形半径），将$l=10π\ \mathrm{cm}$，$r=10\ \mathrm{cm}$代入得：
$S=\frac{1}{2} × 10π × 10 = 50π\ \mathrm{cm}^2$
最终
圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为弧长，$r$为扇形半径），将$l=10π\ \mathrm{cm}$，$r=10\ \mathrm{cm}$代入得：
$S=\frac{1}{2} × 10π × 10 = 50π\ \mathrm{cm}^2$
最终
10.已知二次函数$y=x^2 -4x -1$，当$1＜x≤5$时，y的取值范围是。
答案
解：
将二次函数配方得：
$y=x^2-4x-1=(x-2)^2-5$
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-5)$。
∵对称轴$x=2$在取值范围$1＜x≤5$内，
∴当$x=2$时，$y$取得最小值，最小值为$-5$。
计算区间端点对应的函数值：
当$x=1$时，$y=1^2-4×1-1=-4$；
当$x=5$时，$y=5^2-4×5-1=4$。
∵抛物线开口向上，在$1＜x≤2$时$y$随$x$增大而减小，在$2＜x≤5$时$y$随$x$增大而增大，
∴在$1＜x≤5$范围内，$y$的最大值为$4$。
因此$y$的取值范围是$\boldsymbol{-5≤y≤4}$。
将二次函数配方得：
$y=x^2-4x-1=(x-2)^2-5$
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-5)$。
∵对称轴$x=2$在取值范围$1＜x≤5$内，
∴当$x=2$时，$y$取得最小值，最小值为$-5$。
计算区间端点对应的函数值：
当$x=1$时，$y=1^2-4×1-1=-4$；
当$x=5$时，$y=5^2-4×5-1=4$。
∵抛物线开口向上，在$1＜x≤2$时$y$随$x$增大而减小，在$2＜x≤5$时$y$随$x$增大而增大，
∴在$1＜x≤5$范围内，$y$的最大值为$4$。
因此$y$的取值范围是$\boldsymbol{-5≤y≤4}$。
11. 提升题 如图，矩形ABCD的长AD=8，宽AB=6，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转$90°$得到矩形$A'BC'D'$，则图中阴影部分的面积为。
（第11题） （第12题）
（第11题） （第12题）
答案
$\boldsymbol{9π}$
解析
解：
在矩形$ABCD$中，$∠ A = 90°$，$AD=8$，$AB=6$，
由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由旋转的性质可知：$BD'=BD=10$，$BC'=BC=AD=8$，$∠ DBD'=∠ CBC'=90°$。
阴影部分面积为圆心角$90°$、半径为10的扇形$BDD'$的面积，减去圆心角$90°$、半径为8的扇形$BCC'$的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{90π × 10^2}{360} - \frac{90π × 8^2}{360}\\&=25π - 16π\\&=9π\end{aligned}$
在矩形$ABCD$中，$∠ A = 90°$，$AD=8$，$AB=6$，
由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
由旋转的性质可知：$BD'=BD=10$，$BC'=BC=AD=8$，$∠ DBD'=∠ CBC'=90°$。
阴影部分面积为圆心角$90°$、半径为10的扇形$BDD'$的面积，减去圆心角$90°$、半径为8的扇形$BCC'$的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{90π × 10^2}{360} - \frac{90π × 8^2}{360}\\&=25π - 16π\\&=9π\end{aligned}$
12. 提升题 如图,在正方形ABCD中,已知点A(0,3),B(5,3).将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)后,点B的对应点B'恰好落在坐标轴上,则点C的对应点C'的坐标为.
答案
解：
∵ 点A(0,3)，B(5,3)，
∴ AB=5，正方形ABCD的边长为5。
由旋转性质可知AB'=AB=5，分三种符合条件的情况讨论：
1. 当点B'落在y轴负半轴上时：
由AB'=5，A(0,3)，得B'(0,-2)，此时旋转角α=90°。
向量$\overrightarrow{AB'}=(0,-5)$，将$\overrightarrow{AB'}$逆时针旋转90°得$\overrightarrow{AD'}=(5,0)$，
则$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=(5,-5)$，
因此点C'的坐标为$(0+5, 3-5)=(5,-2)$。
2. 当点B'落在x轴正半轴上时：
设B'(x,0)，由AB'=5得$x^2+(0-3)^2=5^2$，解得x=4，即B'(4,0)。
向量$\overrightarrow{AB'}=(4,-3)$，将$\overrightarrow{AB'}$逆时针旋转90°得$\overrightarrow{AD'}=(3,4)$，
则$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=(7,1)$，
因此点C'的坐标为$(0+7, 3+1)=(7,4)$。
3. 当点B'落在x轴负半轴上时：
同理得B'(-4,0)，向量$\overrightarrow{AB'}=(-4,-3)$，将$\overrightarrow{AB'}$逆时针旋转90°得$\overrightarrow{AD'}=(3,-4)$，
则$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=(-1,-7)$，
因此点C'的坐标为$(0-1, 3-7)=(-1,-4)$。
综上，点C'的坐标为$\boldsymbol{(7,4)}$或$\boldsymbol{(5,-2)}$或$\boldsymbol{(-1,-4)}$。
∵ 点A(0,3)，B(5,3)，
∴ AB=5，正方形ABCD的边长为5。
由旋转性质可知AB'=AB=5，分三种符合条件的情况讨论：
1. 当点B'落在y轴负半轴上时：
由AB'=5，A(0,3)，得B'(0,-2)，此时旋转角α=90°。
向量$\overrightarrow{AB'}=(0,-5)$，将$\overrightarrow{AB'}$逆时针旋转90°得$\overrightarrow{AD'}=(5,0)$，
则$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=(5,-5)$，
因此点C'的坐标为$(0+5, 3-5)=(5,-2)$。
2. 当点B'落在x轴正半轴上时：
设B'(x,0)，由AB'=5得$x^2+(0-3)^2=5^2$，解得x=4，即B'(4,0)。
向量$\overrightarrow{AB'}=(4,-3)$，将$\overrightarrow{AB'}$逆时针旋转90°得$\overrightarrow{AD'}=(3,4)$，
则$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=(7,1)$，
因此点C'的坐标为$(0+7, 3+1)=(7,4)$。
3. 当点B'落在x轴负半轴上时：
同理得B'(-4,0)，向量$\overrightarrow{AB'}=(-4,-3)$，将$\overrightarrow{AB'}$逆时针旋转90°得$\overrightarrow{AD'}=(3,-4)$，
则$\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'}=(-1,-7)$，
因此点C'的坐标为$(0-1, 3-7)=(-1,-4)$。
综上，点C'的坐标为$\boldsymbol{(7,4)}$或$\boldsymbol{(5,-2)}$或$\boldsymbol{(-1,-4)}$。
三、解答题
13.(1)解方程：$x^2 - 2x = x - 2$；
(2)如图，将$△ ABC$绕点A逆时针旋转得到$△ ADE$，点C和点E是对应点.若$∠ CAE = 90°$，$AB = 1$，求BD的长.
[第13(2)题]
13.(1)解方程：$x^2 - 2x = x - 2$；
(2)如图，将$△ ABC$绕点A逆时针旋转得到$△ ADE$，点C和点E是对应点.若$∠ CAE = 90°$，$AB = 1$，求BD的长.
[第13(2)题]
答案
解：(1)
移项，得$x^2 - 2x - x + 2 = 0$，
整理得$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解，得$(x-1)(x-2)=0$，
则$x-1=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
(2)
由旋转的性质可得：$AD=AB$，$∠ DAE = ∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAE + ∠ CAD = ∠ BAC + ∠ CAD$，
即$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$，
$\because AB=1$，$\therefore AD=1$，
在$Rt△ BAD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
移项，得$x^2 - 2x - x + 2 = 0$，
整理得$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解，得$(x-1)(x-2)=0$，
则$x-1=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
(2)
由旋转的性质可得：$AD=AB$，$∠ DAE = ∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAE + ∠ CAD = ∠ BAC + ∠ CAD$，
即$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$，
$\because AB=1$，$\therefore AD=1$，
在$Rt△ BAD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
14.已知关于x的一元二次方程$ax^2 - (a+8)x +8=0$.
(1)求证:无论a取任何非零实数,该方程总有实数根.
(2)若$□ ABCD$的两边AB,BC的长是已知方程的两个实数根,当a为何值时,$□ ABCD$是菱形?求此菱形的边长.
(1)求证:无论a取任何非零实数,该方程总有实数根.
(2)若$□ ABCD$的两边AB,BC的长是已知方程的两个实数根,当a为何值时,$□ ABCD$是菱形?求此菱形的边长.
答案
(1) 证明：
∵ 方程 $ax^2 -(a+8)x +8=0$ 是一元二次方程，且$a$为非零实数，
∴ 判别式
$\begin{aligned}\Delta &= [-(a+8)]^2 - 4 × a × 8 \\&=a^2 +16a +64 -32a \\&=a^2 -16a +64 \\&=(a-8)^2\end{aligned}$
∵ 无论$a$取任何非零实数，都有 $(a-8)^2 ≥ 0$，即 $\Delta ≥ 0$，
∴ 无论$a$取任何非零实数，该方程总有实数根。
---
(2) 解：
若$□ ABCD$是菱形，则邻边$AB=BC$，
∴ 方程 $ax^2 -(a+8)x +8=0$ 有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(a-8)^2=0$，
解得 $a=8$。
将$a=8$代入原方程得：$8x^2 -16x +8=0$，
化简得：$(x-1)^2=0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
答：当$a=8$时，$□ ABCD$是菱形，此菱形的边长为$1$。
∵ 方程 $ax^2 -(a+8)x +8=0$ 是一元二次方程，且$a$为非零实数，
∴ 判别式
$\begin{aligned}\Delta &= [-(a+8)]^2 - 4 × a × 8 \\&=a^2 +16a +64 -32a \\&=a^2 -16a +64 \\&=(a-8)^2\end{aligned}$
∵ 无论$a$取任何非零实数，都有 $(a-8)^2 ≥ 0$，即 $\Delta ≥ 0$，
∴ 无论$a$取任何非零实数，该方程总有实数根。
---
(2) 解：
若$□ ABCD$是菱形，则邻边$AB=BC$，
∴ 方程 $ax^2 -(a+8)x +8=0$ 有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(a-8)^2=0$，
解得 $a=8$。
将$a=8$代入原方程得：$8x^2 -16x +8=0$，
化简得：$(x-1)^2=0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
答：当$a=8$时，$□ ABCD$是菱形，此菱形的边长为$1$。
