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11. 某客轮在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，从石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时.
(1)求该客轮在静水中的速度和水流速度.
(2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港口到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港口与该码头相距多少千米？
(1)求该客轮在静水中的速度和水流速度.
(2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港口到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港口与该码头相距多少千米？
答案
11. 解:(1)设该客轮在静水中的速度是 x 千米/时,水流速度是 y 千米/时. 依题意, 得 $\begin{cases} 9(x+y)=270, \\ (9+4.5)(x-y)=270, \end{cases}$ 解 得 $\begin{cases} x=25, \\ y=5. \end{cases}$ 答:该客轮在静水中的速度是 25 千米/时,水流速度是 5 千米/时. (2)设重庆港口与该码头相距 a 千米,则石宝寨与该码头相距$(270-a)$千米.依题意,得$\frac{a}{25+5}=\frac{270-a}{25-5}$,解得 $a=162.$答:重庆港口与该码头相距 162 千米.
解析
【分析】
(1)本题属于流水行船类行程问题，核心公式为：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，路程=速度×时间。本题要求静水速度和水流速度两个未知量，可设两个未知数，根据顺流9小时行驶270千米、逆流$(9+4.5)$小时行驶270千米两个等量关系，列二元一次方程组求解。
(2)要求重庆港口到新码头的距离，可设该距离为a千米，则石宝寨到新码头的距离为$(270-a)$千米，根据“重庆到码头的航行时间=石宝寨到码头的航行时间”这一等量关系，结合顺流、逆流速度公式列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1)设该客轮在静水中的速度是$x$千米/时，水流速度是$y$千米/时，依题意得：
$\begin{cases} 9(x+y)=270 \\ (9+4.5)(x-y)=270 \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases} x+y=30 \\ x-y=20 \end{cases}$
两式相加得$2x=50$，解得$x=25$，将$x=25$代入$x+y=30$，解得$y=5$。
(2)设重庆港口与该码头相距$a$千米，则石宝寨与该码头相距$(270-a)$千米，依题意得：
$\frac{a}{25+5}=\frac{270-a}{25-5}$
化简得$\frac{a}{30}=\frac{270-a}{20}$，交叉相乘得$20a=30(270-a)$，
展开移项合并得$50a=8100$，解得$a=162$。
【答案】
(1) 该客轮在静水中的速度是25千米/时，水流速度是5千米/时；
(2) 重庆港口与该码头相距162千米。
【知识点】
二元一次方程组的应用；流水行船问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题核心是掌握流水行船的速度公式，准确提取题干中的等量关系构建方程模型，能够有效考察学生的信息提取能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)本题属于流水行船类行程问题，核心公式为：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，路程=速度×时间。本题要求静水速度和水流速度两个未知量，可设两个未知数，根据顺流9小时行驶270千米、逆流$(9+4.5)$小时行驶270千米两个等量关系，列二元一次方程组求解。
(2)要求重庆港口到新码头的距离，可设该距离为a千米，则石宝寨到新码头的距离为$(270-a)$千米，根据“重庆到码头的航行时间=石宝寨到码头的航行时间”这一等量关系，结合顺流、逆流速度公式列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1)设该客轮在静水中的速度是$x$千米/时，水流速度是$y$千米/时，依题意得：
$\begin{cases} 9(x+y)=270 \\ (9+4.5)(x-y)=270 \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases} x+y=30 \\ x-y=20 \end{cases}$
两式相加得$2x=50$，解得$x=25$，将$x=25$代入$x+y=30$，解得$y=5$。
(2)设重庆港口与该码头相距$a$千米，则石宝寨与该码头相距$(270-a)$千米，依题意得：
$\frac{a}{25+5}=\frac{270-a}{25-5}$
化简得$\frac{a}{30}=\frac{270-a}{20}$，交叉相乘得$20a=30(270-a)$，
展开移项合并得$50a=8100$，解得$a=162$。
【答案】
(1) 该客轮在静水中的速度是25千米/时，水流速度是5千米/时；
(2) 重庆港口与该码头相距162千米。
【知识点】
二元一次方程组的应用；流水行船问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题核心是掌握流水行船的速度公式，准确提取题干中的等量关系构建方程模型，能够有效考察学生的信息提取能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动.若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙.
(1)你能求出甲、乙两人的速度吗？
(2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，丙出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙.请问丙出发时，在甲、乙前方多少米的位置？丙的速度是多少？
(1)你能求出甲、乙两人的速度吗？
(2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，丙出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙.请问丙出发时，在甲、乙前方多少米的位置？丙的速度是多少？
答案
12. 解:(1)设甲的速度为 x 米/秒,乙的速度为 y 米/秒. 根据题意,得 $\begin{cases} 40(x+y)=400, \\ 200(x-y)=400, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=6, \\ y=4. \end{cases}$ 答:甲的速度为 6 米/秒,乙的速度为 4 米/秒. (2)设丙在甲、乙前方 a 米的位置,丙的速度是 m 米/秒. 根据题意,得$\begin{cases} 20(6-m)=a, \\ 100(4-m)=a, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=3.5, \\ a=50. \end{cases}$ 答:丙在甲、乙前方 50 米的位置,丙的速度是 3.5 米/秒.
解析
【分析】
(1) 环形跑道行程问题中，反向而行第一次相遇时，两人行驶路程之和等于跑道周长；同向而行快者第一次追上慢者时，两人行驶路程之差等于跑道周长。我们可以分别设甲、乙的速度为未知数，结合这两个等量关系列出二元一次方程组求解。
(2) 同向追及问题中，追及者与被追及者的路程差等于出发时两者的距离，因此设丙出发时领先的距离和丙的速度为未知数，根据甲、乙分别追上丙的两个追及过程列方程组即可求解。
【解析】
(1) 设甲的速度为$x$米/秒，乙的速度为$y$米/秒。
根据题意，反向而行40秒第一次相遇，两人路程和为400米：$40(x+y)=400$
同向而行200秒甲第一次追上乙，甲比乙多跑400米：$200(x-y)=400$
联立得方程组：
$\begin{cases} 40(x+y)=400 \\ 200(x-y)=400 \end{cases}$
化简得$\begin{cases} x+y=10 \\ x-y=2 \end{cases}$，两式相加得$2x=12$，解得$x=6$，代入$x+y=10$得$y=4$。
(2) 设丙出发时在甲、乙前方$a$米的位置，丙的速度是$m$米/秒。
根据题意，甲20秒追上丙：$20(6-m)=a$
乙100秒追上丙：$100(4-m)=a$
联立得方程组：
$\begin{cases} 20(6-m)=a \\ 100(4-m)=a \end{cases}$
联立两式得$20(6-m)=100(4-m)$，展开得$120-20m=400-100m$，移项合并得$80m=280$，解得$m=3.5$，代入$20(6-3.5)=a$得$a=50$。
【答案】
(1) 甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒；
(2) 丙出发时在甲、乙前方50米的位置，丙的速度是3.5米/秒。
【知识点】
二元一次方程组的应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题结合环形跑道场景考查行程类实际问题的求解，关键是准确梳理不同运动情况对应的路程等量关系，将实际问题转化为二元一次方程组求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 环形跑道行程问题中，反向而行第一次相遇时，两人行驶路程之和等于跑道周长；同向而行快者第一次追上慢者时，两人行驶路程之差等于跑道周长。我们可以分别设甲、乙的速度为未知数，结合这两个等量关系列出二元一次方程组求解。
(2) 同向追及问题中，追及者与被追及者的路程差等于出发时两者的距离，因此设丙出发时领先的距离和丙的速度为未知数，根据甲、乙分别追上丙的两个追及过程列方程组即可求解。
【解析】
(1) 设甲的速度为$x$米/秒，乙的速度为$y$米/秒。
根据题意，反向而行40秒第一次相遇，两人路程和为400米：$40(x+y)=400$
同向而行200秒甲第一次追上乙，甲比乙多跑400米：$200(x-y)=400$
联立得方程组：
$\begin{cases} 40(x+y)=400 \\ 200(x-y)=400 \end{cases}$
化简得$\begin{cases} x+y=10 \\ x-y=2 \end{cases}$，两式相加得$2x=12$，解得$x=6$，代入$x+y=10$得$y=4$。
(2) 设丙出发时在甲、乙前方$a$米的位置，丙的速度是$m$米/秒。
根据题意，甲20秒追上丙：$20(6-m)=a$
乙100秒追上丙：$100(4-m)=a$
联立得方程组：
$\begin{cases} 20(6-m)=a \\ 100(4-m)=a \end{cases}$
联立两式得$20(6-m)=100(4-m)$，展开得$120-20m=400-100m$，移项合并得$80m=280$，解得$m=3.5$，代入$20(6-3.5)=a$得$a=50$。
【答案】
(1) 甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒；
(2) 丙出发时在甲、乙前方50米的位置，丙的速度是3.5米/秒。
【知识点】
二元一次方程组的应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题结合环形跑道场景考查行程类实际问题的求解，关键是准确梳理不同运动情况对应的路程等量关系，将实际问题转化为二元一次方程组求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
