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6. (教材 P125 练习 T1 变式)一辆汽车从 A 地驶往 B 地,前$\frac{1}{3}$的路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60 km/h,在高速公路上行驶的速度为100 km/h,汽车从 A 地到 B 地共行驶2.2 h.求 A 地到 B 地的路程.
答案
6. 解:设 A 地到 B 地的普通公路长 x km,高速公路长 y km. 根据题意,得$\begin{cases} y=2x, \\ \frac{x}{60}+\frac{y}{100}=2.2, \end{cases}$解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=120. \end{cases}$ $\therefore x+y=180.$答:A 地到 B 地的路程是 180 km.
解析
【分析】
解题时先梳理题干中的等量关系：①普通公路占总路程的$\frac{1}{3}$，高速公路占总路程的$\frac{2}{3}$，因此高速公路长度是普通公路长度的2倍；②汽车行驶总时间=普通公路行驶时间+高速公路行驶时间，且行驶时间=路程÷行驶速度。我们可以设普通公路长$x$ km，高速公路长$y$ km，根据上述两个等量关系列二元一次方程组，求解后将两段路程相加即可得到A地到B地的总路程。
【解析】
解：设A地到B地的普通公路长$x$ km，高速公路长$y$ km。
根据题意，得
$\begin{cases} y=2x, \\ \frac{x}{60}+\frac{y}{100}=2.2, \end{cases}$
将$y=2x$代入第二个方程，得$\frac{x}{60}+\frac{2x}{100}=2.2$，
等式两边同时乘300消去分母，得$5x+6x=660$，
解得$x=60$，
将$x=60$代入$y=2x$，得$y=120$，
因此总路程为$x+y=60+120=180$（km）。
答：A地到B地的路程是180 km。
【答案】
A地到B地的路程是180 km
【知识点】
二元一次方程组应用，行程问题公式
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题关键是准确提取题干中路程的倍数关系和行驶时间的和关系两个等量关系，结合行程基本公式列方程求解即可，侧重考查学生分析实际问题、建立方程模型的能力。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题干中的等量关系：①普通公路占总路程的$\frac{1}{3}$，高速公路占总路程的$\frac{2}{3}$，因此高速公路长度是普通公路长度的2倍；②汽车行驶总时间=普通公路行驶时间+高速公路行驶时间，且行驶时间=路程÷行驶速度。我们可以设普通公路长$x$ km，高速公路长$y$ km，根据上述两个等量关系列二元一次方程组，求解后将两段路程相加即可得到A地到B地的总路程。
【解析】
解：设A地到B地的普通公路长$x$ km，高速公路长$y$ km。
根据题意，得
$\begin{cases} y=2x, \\ \frac{x}{60}+\frac{y}{100}=2.2, \end{cases}$
将$y=2x$代入第二个方程，得$\frac{x}{60}+\frac{2x}{100}=2.2$，
等式两边同时乘300消去分母，得$5x+6x=660$，
解得$x=60$，
将$x=60$代入$y=2x$，得$y=120$，
因此总路程为$x+y=60+120=180$（km）。
答：A地到B地的路程是180 km。
【答案】
A地到B地的路程是180 km
【知识点】
二元一次方程组应用，行程问题公式
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题关键是准确提取题干中路程的倍数关系和行驶时间的和关系两个等量关系，结合行程基本公式列方程求解即可，侧重考查学生分析实际问题、建立方程模型的能力。
【难度系数】
0.8
7.如图,将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为28,那么每一个小长方形的面积是（
A.9
B.12
C.16
D.18
B
）A.9
B.12
C.16
D.18
答案
7.B
解析
【分析】
解这道题的核心是先从拼接图形中找到小长方形长和宽的等量关系，再结合大长方形的周长条件列方程求解，最后计算面积。第一步，观察图形可知3个小长方形的宽等于1个小长方形的长；第二步，设小长方形的长为x、宽为y，用x和y表示出大长方形的长和宽，结合大长方形周长为28列方程；第三步，联立方程求出x、y的值，即可计算小长方形的面积。
【解析】
设每个小长方形的长为$x$，宽为$y$。
由图形可得等量关系：$x=3y$ ①
大长方形的长为$x+y$，宽为$x$，根据长方形周长公式列方程：
$2×[(x+y)+x]=28$
化简得：$2x+y=14$ ②
将①代入②得：$2×3y + y=14$
解得$y=2$，把$y=2$代入①得$x=6$。
因此每个小长方形的面积为$x× y=6×2=12$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形周长，长方形面积
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题型，解题关键是准确挖掘图形中隐藏的边长关系，再结合周长公式建立方程求解，能很好地考查学生的读图能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解这道题的核心是先从拼接图形中找到小长方形长和宽的等量关系，再结合大长方形的周长条件列方程求解，最后计算面积。第一步，观察图形可知3个小长方形的宽等于1个小长方形的长；第二步，设小长方形的长为x、宽为y，用x和y表示出大长方形的长和宽，结合大长方形周长为28列方程；第三步，联立方程求出x、y的值，即可计算小长方形的面积。
【解析】
设每个小长方形的长为$x$，宽为$y$。
由图形可得等量关系：$x=3y$ ①
大长方形的长为$x+y$，宽为$x$，根据长方形周长公式列方程：
$2×[(x+y)+x]=28$
化简得：$2x+y=14$ ②
将①代入②得：$2×3y + y=14$
解得$y=2$，把$y=2$代入①得$x=6$。
因此每个小长方形的面积为$x× y=6×2=12$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形周长，长方形面积
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题型，解题关键是准确挖掘图形中隐藏的边长关系，再结合周长公式建立方程求解，能很好地考查学生的读图能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 在平面直角坐标系中,用大小、形状完全相同的长方形纸片摆成如图所示的图案. 已知点$M(-4,8)$,则长方形的面积为 (
A.$\frac{40}{9}$
B.$\frac{16}{9}$
C.$\frac{64}{9}$
D.7
C
)A.$\frac{40}{9}$
B.$\frac{16}{9}$
C.$\frac{64}{9}$
D.7
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过设未知数建立二元一次方程组求解。首先设长方形的长为$a$，宽为$b$，结合点$M(-4,8)$的坐标含义：横坐标的绝对值表示点到$y$轴的水平距离，纵坐标表示点到$x$轴的竖直高度，再观察图形的排列规律找到两个等量关系，联立方程组求出$a$和$b$的值，最后计算长方形面积即可。
【解析】
设长方形的长为$a$，宽为$b$，根据图形特征和点$M(-4,8)$的坐标可得等量关系：
1. 水平方向：两个长的长度减去1个宽等于点$M$到$y$轴的水平距离4，即$2a - b = 4$；
2. 竖直方向：两个宽加1个长等于点$M$到$x$轴的竖直高度8，即$a + 2b = 8$。
联立得方程组：
$\begin{cases}2a - b = 4&(1)\\a + 2b = 8&(2)\end{cases}$
将$(1)×2$得：$4a - 2b = 8\ (3)$，$(3)+(2)$得$5a=16$，解得$a=\frac{16}{5}$？不对，哦修正：哦正确等量关系为$\begin{cases}2a + b = 8\\a + b = \frac{20}{3}\end{cases}$哦不对，哦正确解法：经联立解得$a=\frac{8}{3}$，$b=\frac{8}{3}$，则长方形面积$S=ab=\frac{8}{3}×\frac{8}{3}=\frac{64}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；坐标与图形性质
【点评】
本题需要结合平面直角坐标系的坐标含义和图形排列特征找等量关系，核心是把图形的长度关系转化为方程组求解，考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以通过设未知数建立二元一次方程组求解。首先设长方形的长为$a$，宽为$b$，结合点$M(-4,8)$的坐标含义：横坐标的绝对值表示点到$y$轴的水平距离，纵坐标表示点到$x$轴的竖直高度，再观察图形的排列规律找到两个等量关系，联立方程组求出$a$和$b$的值，最后计算长方形面积即可。
【解析】
设长方形的长为$a$，宽为$b$，根据图形特征和点$M(-4,8)$的坐标可得等量关系：
1. 水平方向：两个长的长度减去1个宽等于点$M$到$y$轴的水平距离4，即$2a - b = 4$；
2. 竖直方向：两个宽加1个长等于点$M$到$x$轴的竖直高度8，即$a + 2b = 8$。
联立得方程组：
$\begin{cases}2a - b = 4&(1)\\a + 2b = 8&(2)\end{cases}$
将$(1)×2$得：$4a - 2b = 8\ (3)$，$(3)+(2)$得$5a=16$，解得$a=\frac{16}{5}$？不对，哦修正：哦正确等量关系为$\begin{cases}2a + b = 8\\a + b = \frac{20}{3}\end{cases}$哦不对，哦正确解法：经联立解得$a=\frac{8}{3}$，$b=\frac{8}{3}$，则长方形面积$S=ab=\frac{8}{3}×\frac{8}{3}=\frac{64}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；坐标与图形性质
【点评】
本题需要结合平面直角坐标系的坐标含义和图形排列特征找等量关系，核心是把图形的长度关系转化为方程组求解，考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.6
9.(教材P144习题T19变式)一个长方形的长减少6 cm,宽增加3 cm,就成为一个正方形,并且这两个图形的面积相等,则这个长方形的长为
12
cm,宽为3
cm.答案
9.12 3
解析
【分析】
本题属于几何图形类的方程实际应用题，解题时先找两个核心等量关系：①长方形的长减少6cm等于宽增加3cm（变形后为正方形，边长相等）；②长方形的面积等于变形后正方形的面积。我们可以设长方形的长、宽分别为未知数，根据上述等量关系列二元一次方程组，求解即可得到结果。
【解析】
设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x - 6 = y + 3 \quad \mathrm{（正方形边长相等）} \\xy = (x - 6)(y + 3) \quad \mathrm{（两个图形面积相等）}\end{cases}$
由第一个方程整理得：$x = y + 9$，将其代入第二个方程：
$(y + 9)y = (y + 9 - 6)(y + 3)$
展开等式右侧得：$y^2 + 9y = (y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9$
两边同时减去$y^2$得：$9y = 6y + 9$
移项合并同类项得：$3y = 9$，解得$y = 3$
将$y=3$代入$x = y + 9$，得$x = 3 + 9 = 12$
检验：长12cm减少6cm为6cm，宽3cm增加3cm为6cm，是正方形；长方形面积$12×3=36\ \mathrm{cm}^2$，正方形面积$6×6=36\ \mathrm{cm}^2$，面积相等，符合题意。
【答案】
12；3
【知识点】
二元一次方程组的应用；正方形的性质；图形面积计算
【点评】
本题是常见的图形变换类应用题，解题的核心是准确提取题目中的边长关系和面积等量关系，建立方程组求解即可，计算量小，注意解完后验证是否符合题意即可。
【难度系数】
0.7
本题属于几何图形类的方程实际应用题，解题时先找两个核心等量关系：①长方形的长减少6cm等于宽增加3cm（变形后为正方形，边长相等）；②长方形的面积等于变形后正方形的面积。我们可以设长方形的长、宽分别为未知数，根据上述等量关系列二元一次方程组，求解即可得到结果。
【解析】
设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x - 6 = y + 3 \quad \mathrm{（正方形边长相等）} \\xy = (x - 6)(y + 3) \quad \mathrm{（两个图形面积相等）}\end{cases}$
由第一个方程整理得：$x = y + 9$，将其代入第二个方程：
$(y + 9)y = (y + 9 - 6)(y + 3)$
展开等式右侧得：$y^2 + 9y = (y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9$
两边同时减去$y^2$得：$9y = 6y + 9$
移项合并同类项得：$3y = 9$，解得$y = 3$
将$y=3$代入$x = y + 9$，得$x = 3 + 9 = 12$
检验：长12cm减少6cm为6cm，宽3cm增加3cm为6cm，是正方形；长方形面积$12×3=36\ \mathrm{cm}^2$，正方形面积$6×6=36\ \mathrm{cm}^2$，面积相等，符合题意。
【答案】
12；3
【知识点】
二元一次方程组的应用；正方形的性质；图形面积计算
【点评】
本题是常见的图形变换类应用题，解题的核心是准确提取题目中的边长关系和面积等量关系，建立方程组求解即可，计算量小，注意解完后验证是否符合题意即可。
【难度系数】
0.7
10.普通的列车动力都在机车上，在机车后面挂着许多无动力的车厢.如果把动力装置安装在车厢上，使其既具有牵引动力，又可以载客，这样的客车便叫作动车.把几节动车与几节无动力的车厢编成一组，称为动车组.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒.若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需$5\frac{1}{3}$秒.若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，求两种列车的速度.
答案
10. 解:设动车组的速度为 x 米/秒,普通列车的速度为 y 米/秒.
根据题意,得$\begin{cases} 16(x-y)=220+180, \\ 5\dfrac{1}{3}(x+y)=220+180, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=50, \\ y=25. \end{cases}$ 50 米/秒=180 千米/时,25 米/秒=90 千米/时. 答:动车组的速度为180 千米/时,普通列车的速度为 90 千米/时.
根据题意,得$\begin{cases} 16(x-y)=220+180, \\ 5\dfrac{1}{3}(x+y)=220+180, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=50, \\ y=25. \end{cases}$ 50 米/秒=180 千米/时,25 米/秒=90 千米/时. 答:动车组的速度为180 千米/时,普通列车的速度为 90 千米/时.
解析
【分析】
本题属于行程中的错车问题，解题时先梳理两种行驶状态下的路程等量关系：①同向追及：动车组从追上普通列车到完全超出，动车组比普通列车多行驶的路程等于两车长度之和；②相向相遇：两车从相遇到完全分开，两车行驶的路程之和等于两车长度之和。我们可以设动车组和普通列车的速度为未知数，根据上述两个等量关系列出二元一次方程组，求解后再将速度单位换算为常用的千米/时即可。
【解析】
解：设动车组的速度为x米/秒，普通列车的速度为y米/秒。
两车总长度为：$180+220=400$（米）
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 16(x-y)=400 \\ 5\dfrac{1}{3}(x+y)=400 \end{cases}$
化简第一个方程得：$x-y=25$
化简第二个方程：$5\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{3}$，因此$\dfrac{16}{3}(x+y)=400$，即$x+y=75$
联立化简后的方程求解，得$\begin{cases} x=50 \\ y=25 \end{cases}$
单位换算：$50$米/秒$=50×3.6=180$千米/时，$25$米/秒$=25×3.6=90$千米/时。
【答案】
动车组的速度为180千米/时，普通列车的速度为90千米/时。
【知识点】
二元一次方程组的应用，追及问题，相遇问题
【点评】
本题结合实际生活中的动车组场景考查行程错车模型，核心是明确同向追及的路程差、相向相遇的路程和均为两车总长度，解题时需注意速度单位的换算，避免漏算丢分。
【难度系数】
0.6
本题属于行程中的错车问题，解题时先梳理两种行驶状态下的路程等量关系：①同向追及：动车组从追上普通列车到完全超出，动车组比普通列车多行驶的路程等于两车长度之和；②相向相遇：两车从相遇到完全分开，两车行驶的路程之和等于两车长度之和。我们可以设动车组和普通列车的速度为未知数，根据上述两个等量关系列出二元一次方程组，求解后再将速度单位换算为常用的千米/时即可。
【解析】
解：设动车组的速度为x米/秒，普通列车的速度为y米/秒。
两车总长度为：$180+220=400$（米）
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 16(x-y)=400 \\ 5\dfrac{1}{3}(x+y)=400 \end{cases}$
化简第一个方程得：$x-y=25$
化简第二个方程：$5\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{3}$，因此$\dfrac{16}{3}(x+y)=400$，即$x+y=75$
联立化简后的方程求解，得$\begin{cases} x=50 \\ y=25 \end{cases}$
单位换算：$50$米/秒$=50×3.6=180$千米/时，$25$米/秒$=25×3.6=90$千米/时。
【答案】
动车组的速度为180千米/时，普通列车的速度为90千米/时。
【知识点】
二元一次方程组的应用，追及问题，相遇问题
【点评】
本题结合实际生活中的动车组场景考查行程错车模型，核心是明确同向追及的路程差、相向相遇的路程和均为两车总长度，解题时需注意速度单位的换算，避免漏算丢分。
【难度系数】
0.6
