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1.(2024·山西)当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克?
答案
解:设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克.根据题意,得 $\begin{cases}y=x+760,\\2.5x=0.6y,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=240,\\y=1\ 000.\end{cases}$ 答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，我们可以按照“找未知量-找等量关系-列方程组-求解-检验作答”的思路解题。首先明确两个未知量：每吨废旧手机提炼的黄金克数、白银克数，因此可设两个未知数；再梳理题干得到两个等量关系：①每吨提炼的白银克数比黄金多760克；②2.5吨废旧手机提炼的黄金总克数=0.6吨废旧手机提炼的白银总克数，总克数=每吨提炼量×吨数，根据这两个等量关系列出方程组，求解即可得到结果。
【解析】
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金$x$克，白银$y$克。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} y = x + 760 \quad \mathrm{①} \\ 2.5x = 0.6y \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①代入②，得：
$2.5x = 0.6(x + 760)$
展开计算得：$2.5x = 0.6x + 456$
移项合并同类项得：$1.9x = 456$
解得：$x = 240$
把$x=240$代入①，得$y = 240 + 760 = 1000$
经检验，$\begin{cases} x=240 \\ y=1000 \end{cases}$符合题意。
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克。
【答案】
从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克。
【知识点】
1.二元一次方程组的实际应用
2.代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题贴近生活实际，是方程应用的典型题型，解题核心是准确提取题干信息，找到对应等量关系建立方程组求解，能够有效考查学生的信息提取能力和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用题，我们可以按照“找未知量-找等量关系-列方程组-求解-检验作答”的思路解题。首先明确两个未知量：每吨废旧手机提炼的黄金克数、白银克数，因此可设两个未知数；再梳理题干得到两个等量关系：①每吨提炼的白银克数比黄金多760克；②2.5吨废旧手机提炼的黄金总克数=0.6吨废旧手机提炼的白银总克数，总克数=每吨提炼量×吨数，根据这两个等量关系列出方程组，求解即可得到结果。
【解析】
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金$x$克，白银$y$克。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} y = x + 760 \quad \mathrm{①} \\ 2.5x = 0.6y \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①代入②，得：
$2.5x = 0.6(x + 760)$
展开计算得：$2.5x = 0.6x + 456$
移项合并同类项得：$1.9x = 456$
解得：$x = 240$
把$x=240$代入①，得$y = 240 + 760 = 1000$
经检验，$\begin{cases} x=240 \\ y=1000 \end{cases}$符合题意。
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克。
【答案】
从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克。
【知识点】
1.二元一次方程组的实际应用
2.代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题贴近生活实际，是方程应用的典型题型，解题核心是准确提取题干信息，找到对应等量关系建立方程组求解，能够有效考查学生的信息提取能力和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
2. (2024·淮安)《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘.问客及盘各几何？”意思为：现有若干名客人.若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子.客人和盘子各有多少？
答案
解:设有x个客人,y个盘子.根据题意,得$\begin{cases}\dfrac{x}{2}=y+2,\\\dfrac{x}{3}+3=y,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=30,\\y=13.\end{cases}$答:有30个客人,13个盘子.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，包含客人数量、盘子数量两个未知量，可通过设两个未知数、找两个等量关系建立方程组求解。首先理解题意提炼等量关系：①2人共用1个盘子时少2个盘子，说明所需盘子数比现有盘子数多2，即总人数÷2 = 现有盘子数 + 2；②3人共用1个盘子时多3个盘子，说明所需盘子数比现有盘子数少3，即总人数÷3 + 3 = 现有盘子数。再将等量关系转化为方程联立求解，最后验证结果是否符合实际即可。
【解析】
解：设有$x$个客人，$y$个盘子。
根据题意，得$\begin{cases}\dfrac{x}{2}=y+2,\\\dfrac{x}{3}+3=y,\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程，可得$\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{3}+3+2$，
整理得$\dfrac{x}{6}=5$，解得$x=30$，
把$x=30$代入$\dfrac{x}{3}+3=y$，得$y=13$。
经检验，方程组的解符合实际题意。
答：有30个客人，13个盘子。
【答案】
有30个客人，13个盘子。
【知识点】
二元一次方程组应用，等量关系构建，代入消元法
【点评】
本题以古代数学典籍的问题为背景，考查用二元一次方程组解决实际问题的能力，解题核心是准确理解文言描述的数量关系，正确建立方程组求解，解题逻辑清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用题，包含客人数量、盘子数量两个未知量，可通过设两个未知数、找两个等量关系建立方程组求解。首先理解题意提炼等量关系：①2人共用1个盘子时少2个盘子，说明所需盘子数比现有盘子数多2，即总人数÷2 = 现有盘子数 + 2；②3人共用1个盘子时多3个盘子，说明所需盘子数比现有盘子数少3，即总人数÷3 + 3 = 现有盘子数。再将等量关系转化为方程联立求解，最后验证结果是否符合实际即可。
【解析】
解：设有$x$个客人，$y$个盘子。
根据题意，得$\begin{cases}\dfrac{x}{2}=y+2,\\\dfrac{x}{3}+3=y,\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程，可得$\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{3}+3+2$，
整理得$\dfrac{x}{6}=5$，解得$x=30$，
把$x=30$代入$\dfrac{x}{3}+3=y$，得$y=13$。
经检验，方程组的解符合实际题意。
答：有30个客人，13个盘子。
【答案】
有30个客人，13个盘子。
【知识点】
二元一次方程组应用，等量关系构建，代入消元法
【点评】
本题以古代数学典籍的问题为背景，考查用二元一次方程组解决实际问题的能力，解题核心是准确理解文言描述的数量关系，正确建立方程组求解，解题逻辑清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
3. 甲、乙两城相距1 120千米，一列快车从甲城出发开往乙城，行驶120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇。若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，动车与快车平均每小时各行驶多少千米？
答案
解:设动车平均每小时行驶x千米,快车平均每小时行驶y千米.依题意,得$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x+5,\\2(x+y)+120=1\ 120,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=330,\\y=170.\end{cases}$答:动车平均每小时行驶330千米,快车平均每小时行驶170千米.
解析
【分析】
这是一道相遇类的行程应用题，解题核心是找到两个等量关系：①速度关系：快车平均速度=动车平均速度的$\frac{1}{2}$+5千米；②路程关系：快车先行驶的120千米+两车共同行驶2小时的路程和=两城总距离1120千米。我们可以分别设动车、快车的速度为未知数，根据两个等量关系列出二元一次方程组，再求解即可得到两车的速度。
【解析】
解：设动车平均每小时行驶$x$千米，快车平均每小时行驶$y$千米。
依题意，列方程组得：
$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x+5&①\\2(x+y)+120=1120&②\end{cases}$
先化简方程②：
$2(x+y)=1120-120$
$2(x+y)=1000$
$x+y=500$ ③
将①代入③得：
$x+\dfrac{1}{2}x+5=500$
$\dfrac{3}{2}x=495$
解得$x=330$
把$x=330$代入①得：
$y=\dfrac{1}{2}×330 +5=170$
经检验，方程组的解符合题意。
【答案】
动车平均每小时行驶330千米，快车平均每小时行驶170千米。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇问题，等量关系建立
【点评】
本题为典型的行程类二元一次方程组实际应用题，解题的关键是理清行程过程，准确提取题目中的两个等量关系，注意不要遗漏快车先行的120千米，掌握列方程组解应用题的一般步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是一道相遇类的行程应用题，解题核心是找到两个等量关系：①速度关系：快车平均速度=动车平均速度的$\frac{1}{2}$+5千米；②路程关系：快车先行驶的120千米+两车共同行驶2小时的路程和=两城总距离1120千米。我们可以分别设动车、快车的速度为未知数，根据两个等量关系列出二元一次方程组，再求解即可得到两车的速度。
【解析】
解：设动车平均每小时行驶$x$千米，快车平均每小时行驶$y$千米。
依题意，列方程组得：
$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x+5&①\\2(x+y)+120=1120&②\end{cases}$
先化简方程②：
$2(x+y)=1120-120$
$2(x+y)=1000$
$x+y=500$ ③
将①代入③得：
$x+\dfrac{1}{2}x+5=500$
$\dfrac{3}{2}x=495$
解得$x=330$
把$x=330$代入①得：
$y=\dfrac{1}{2}×330 +5=170$
经检验，方程组的解符合题意。
【答案】
动车平均每小时行驶330千米，快车平均每小时行驶170千米。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇问题，等量关系建立
【点评】
本题为典型的行程类二元一次方程组实际应用题，解题的关键是理清行程过程，准确提取题目中的两个等量关系，注意不要遗漏快车先行的120千米，掌握列方程组解应用题的一般步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
4.如图,在长方形ABCD中,放入六个形状、大小相同的小长方形,所标尺寸如图所示,请你利用方程组的思想方法解决以下问题:
(1)求小长方形的长和宽.
(2)求出图中阴影部分的面积.
(1)求小长方形的长和宽.
(2)求出图中阴影部分的面积.
答案
解:(1)设小长方形的长为x cm,宽为y cm.根据题意,得$\begin{cases}x+3y=14,\\x+y-2y=6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8,\\y=2.\end{cases}$答:小长方形的长为8 cm,宽为2 cm.(2)阴影部分的面积为$14×(6+2×2)-6×8×2=44(\mathrm{cm}^2)$.答:阴影部分的面积为$44\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
（1）求解小长方形的长和宽时，我们采用方程思想，先设未知数，再从图形中找两个等量关系：①水平方向上，大长方形的长14cm等于1个小长方形的长加3个小长方形的宽；②竖直方向上，标注的6cm等于1个小长方形的长减去1个小长方形的宽，联立两个等量关系列二元一次方程组即可求解。
（2）求解阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：阴影面积=大长方形ABCD的面积减去6个小长方形的总面积，先根据小长方形的宽求出大长方形的宽，再分别计算面积作差即可。
【解析】
(1) 设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+3y=14 \\x - y=6\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$(x+3y)-(x-y)=14-6$，化简得$4y=8$，解得$y=2$。
将$y=2$代入$x-y=6$，得$x=6+2=8$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=8 \\ y=2 \end{cases}$。
(2) 先计算大长方形ABCD的宽：由图可知大长方形的宽为$6+2y=6+2×2=10\ \mathrm{cm}$。
大长方形的面积为：$14×10=140\ \mathrm{cm}^2$。
6个小长方形的总面积为：$6×(8×2)=96\ \mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积为：$140-96=44\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 小长方形的长为8 cm，宽为2 cm；
(2) 阴影部分的面积为$44\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题是方程与几何结合的典型应用题，解题核心是从图形的长度关系中挖掘等量关系列方程组，再结合面积公式求解，很好地考察了识图能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
（1）求解小长方形的长和宽时，我们采用方程思想，先设未知数，再从图形中找两个等量关系：①水平方向上，大长方形的长14cm等于1个小长方形的长加3个小长方形的宽；②竖直方向上，标注的6cm等于1个小长方形的长减去1个小长方形的宽，联立两个等量关系列二元一次方程组即可求解。
（2）求解阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：阴影面积=大长方形ABCD的面积减去6个小长方形的总面积，先根据小长方形的宽求出大长方形的宽，再分别计算面积作差即可。
【解析】
(1) 设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+3y=14 \\x - y=6\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$(x+3y)-(x-y)=14-6$，化简得$4y=8$，解得$y=2$。
将$y=2$代入$x-y=6$，得$x=6+2=8$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=8 \\ y=2 \end{cases}$。
(2) 先计算大长方形ABCD的宽：由图可知大长方形的宽为$6+2y=6+2×2=10\ \mathrm{cm}$。
大长方形的面积为：$14×10=140\ \mathrm{cm}^2$。
6个小长方形的总面积为：$6×(8×2)=96\ \mathrm{cm}^2$。
阴影部分面积为：$140-96=44\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 小长方形的长为8 cm，宽为2 cm；
(2) 阴影部分的面积为$44\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题是方程与几何结合的典型应用题，解题核心是从图形的长度关系中挖掘等量关系列方程组，再结合面积公式求解，很好地考察了识图能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
