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1.如图,一只蜗牛从圆柱的点A出发,绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了BC的中点E处.若沿AD将圆柱侧面剪开并展开,则所得的侧面展开图是 (
C
)答案
1.C
解析
【分析】
解决这道题要按两个步骤思考：首先明确平面内两点之间线段最短，蜗牛沿圆柱侧面的最短爬行路线，在侧面展开图里一定是线段，可先排除曲线类选项；其次要理清圆柱上的点在展开图中的对应位置：沿AD剪开圆柱侧面后，原圆柱上BC边对应展开长方形长的中点处的竖线，E是BC中点，因此E点在展开图的中线上，再结合路径是线段的特征筛选正确选项即可。
【解析】
1. 由两点之间线段最短可知，蜗牛的最短爬行路线在侧面展开图中是线段，因此排除路径为曲线的A、D选项；
2. 圆柱沿AD剪开后侧面展开为长方形，原圆柱底面的A、B是底面直径的两个端点，对应展开图中，B点在长方形长的中点位置，即BC边对应过长方形长中点的竖线，E为BC中点，因此E点在这条中线上，连接A与E的线段即为最短路径，符合这一特征的只有C选项，排除E在长方形右侧边上的B选项。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短
【点评】
本题考查立体图形侧面展开的最短路径问题，解题核心是掌握圆柱侧面展开的特征，结合线段最短原理判断路径形态，再准确定位各点在展开图中的对应位置即可求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题要按两个步骤思考：首先明确平面内两点之间线段最短，蜗牛沿圆柱侧面的最短爬行路线，在侧面展开图里一定是线段，可先排除曲线类选项；其次要理清圆柱上的点在展开图中的对应位置：沿AD剪开圆柱侧面后，原圆柱上BC边对应展开长方形长的中点处的竖线，E是BC中点，因此E点在展开图的中线上，再结合路径是线段的特征筛选正确选项即可。
【解析】
1. 由两点之间线段最短可知，蜗牛的最短爬行路线在侧面展开图中是线段，因此排除路径为曲线的A、D选项；
2. 圆柱沿AD剪开后侧面展开为长方形，原圆柱底面的A、B是底面直径的两个端点，对应展开图中，B点在长方形长的中点位置，即BC边对应过长方形长中点的竖线，E为BC中点，因此E点在这条中线上，连接A与E的线段即为最短路径，符合这一特征的只有C选项，排除E在长方形右侧边上的B选项。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短
【点评】
本题考查立体图形侧面展开的最短路径问题，解题核心是掌握圆柱侧面展开的特征，结合线段最短原理判断路径形态，再准确定位各点在展开图中的对应位置即可求解。
【难度系数】
0.7
2. 每年秋分是中国农民“丰收节”，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为30 cm，高为20 cm的圆柱粮仓模型，如图，BC是底面直径，AB是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为
50 cm
.答案
2. 50 cm
解析
【分析】
求解圆柱侧面上的最短路径问题，核心思路是将曲面转化为平面，利用“两点之间线段最短”求解。首先我们需要把圆柱的侧面沿高AB展开为长方形，此时长方形的长对应圆柱底面周长，宽对应圆柱的高。由于BC是底面直径，因此展开后C点与B点的水平距离为底面周长的一半。又因为装饰带要绕侧面一圈经过A、C两点，最短路径为展开图中两条长度相等的斜线段之和，最后用勾股定理计算单段斜线段的长度，再求和即可得到总长度。
【解析】
解：将圆柱侧面沿AB展开，得到长为30cm、宽为20cm的长方形。
∵BC是底面直径，
∴展开后C点与B点的水平距离为底面半周长：$30÷2=15\ \mathrm{cm}$。
装饰带的最短路径为两条等长的斜线段之和，单条斜线段的两条直角边分别为圆柱的高20cm和半周长15cm。
根据勾股定理，单段路径长为：
$\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$
因此装饰带的最短总长度为：$25×2=50\ \mathrm{cm}$
【答案】
50 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题将实际问题转化为几何最短路径问题，重点考查转化思想的应用，解题的关键是准确确定展开图中点的位置，结合勾股定理计算，易错点是容易忽略装饰带是一圈，漏乘2得到错误结果。
【难度系数】
0.6
求解圆柱侧面上的最短路径问题，核心思路是将曲面转化为平面，利用“两点之间线段最短”求解。首先我们需要把圆柱的侧面沿高AB展开为长方形，此时长方形的长对应圆柱底面周长，宽对应圆柱的高。由于BC是底面直径，因此展开后C点与B点的水平距离为底面周长的一半。又因为装饰带要绕侧面一圈经过A、C两点，最短路径为展开图中两条长度相等的斜线段之和，最后用勾股定理计算单段斜线段的长度，再求和即可得到总长度。
【解析】
解：将圆柱侧面沿AB展开，得到长为30cm、宽为20cm的长方形。
∵BC是底面直径，
∴展开后C点与B点的水平距离为底面半周长：$30÷2=15\ \mathrm{cm}$。
装饰带的最短路径为两条等长的斜线段之和，单条斜线段的两条直角边分别为圆柱的高20cm和半周长15cm。
根据勾股定理，单段路径长为：
$\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$
因此装饰带的最短总长度为：$25×2=50\ \mathrm{cm}$
【答案】
50 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题将实际问题转化为几何最短路径问题，重点考查转化思想的应用，解题的关键是准确确定展开图中点的位置，结合勾股定理计算，易错点是容易忽略装饰带是一圈，漏乘2得到错误结果。
【难度系数】
0.6
3.如图,在底面周长约为6米的石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,经过AC的中点B),每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16米,则雕刻在石柱上的巨龙至少为
20
米.答案
3. 20
解析
【分析】
要计算石柱表面螺旋雕龙的最短长度，需用“化曲为直”的思路：把圆柱侧面沿高展开为平面，螺旋线的最短长度对应展开图中线段的长度。本题中雕龙盘绕2圈，总柱高16米，因此每盘1圈上升高度为16÷2=8米，每圈螺旋线展开后对应直角三角形的斜边，直角边分别为底面周长6米和每圈上升高度8米，再结合勾股定理即可求解。
【解析】
解：将石柱侧面沿高展开，
因为雕龙盘绕2圈，刻龙部分柱高16米，所以每盘绕1圈上升的高度为$16÷2=8$米。
每圈螺旋线展开后，对应直角三角形的两条直角边分别为底面周长6米、每圈上升高度8米，根据勾股定理，单圈雕龙的长度为：
$\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$米
总长度为2圈的长度之和：$10×2=20$米
（也可直接将侧面展开2次，得到长为$2×6=12$米、高为16米的长方形，对角线长度为$\sqrt{12^2+16^2}=20$米，结果一致）
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题是化曲为直思想的典型应用，解题核心是将立体表面的曲线最短路径转化为平面内两点间的线段长度，再结合勾股定理计算，需要准确理解圆柱展开后各量与原立体图形参数的对应关系。
【难度系数】
0.7
要计算石柱表面螺旋雕龙的最短长度，需用“化曲为直”的思路：把圆柱侧面沿高展开为平面，螺旋线的最短长度对应展开图中线段的长度。本题中雕龙盘绕2圈，总柱高16米，因此每盘1圈上升高度为16÷2=8米，每圈螺旋线展开后对应直角三角形的斜边，直角边分别为底面周长6米和每圈上升高度8米，再结合勾股定理即可求解。
【解析】
解：将石柱侧面沿高展开，
因为雕龙盘绕2圈，刻龙部分柱高16米，所以每盘绕1圈上升的高度为$16÷2=8$米。
每圈螺旋线展开后，对应直角三角形的两条直角边分别为底面周长6米、每圈上升高度8米，根据勾股定理，单圈雕龙的长度为：
$\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$米
总长度为2圈的长度之和：$10×2=20$米
（也可直接将侧面展开2次，得到长为$2×6=12$米、高为16米的长方形，对角线长度为$\sqrt{12^2+16^2}=20$米，结果一致）
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题是化曲为直思想的典型应用，解题核心是将立体表面的曲线最短路径转化为平面内两点间的线段长度，再结合勾股定理计算，需要准确理解圆柱展开后各量与原立体图形参数的对应关系。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为$\frac{8}{π}$ m. 已知$AE+BF=20$ m，$BC=10$ m，一只蚂蚁从点A爬到点C，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走
26
m的路程.答案
4. 26
解析
【分析】
要求蚂蚁翻过半圆柱凸起从A到C的最短路程，需先将半圆柱的侧面展开为平面，将立体路径转化为平面上两点间的线段距离，再结合勾股定理计算。第一步先计算半圆柱底面半圆的弧长，得到展开后AB方向的总长度，第二步把总长度和BC作为直角边，用勾股定理求斜边即可得到最短路径。
【解析】
1. 计算半圆柱底面半圆的弧长：
已知半圆柱底面直径$d=\frac{8}{π}\ \mathrm{m}$，半圆的弧长公式为$L=\frac{1}{2}πd$，代入得：
$L=\frac{1}{2}× π× \frac{8}{π}=4\ \mathrm{m}$
2. 求侧面展开后AB方向的总长度：
展开后原来EF段的弧长变为线段长度，因此总水平长度为$AE+BF+L=20+4=24\ \mathrm{m}$
3. 用勾股定理计算最短路径：
已知$BC=10\ \mathrm{m}$，展开后A、C两点的最短路径为直角三角形的斜边，两条直角边分别为24 m和10 m，因此：
$AC=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26\ \mathrm{m}$
【答案】
26
【知识点】
平面展开最短路径，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题核心是将曲面展开为平面，把折线路径转化为平面内的线段求解，易错点是容易误将EF的线段长度直接代替弧长计算总水平长度。
【难度系数】
0.6
要求蚂蚁翻过半圆柱凸起从A到C的最短路程，需先将半圆柱的侧面展开为平面，将立体路径转化为平面上两点间的线段距离，再结合勾股定理计算。第一步先计算半圆柱底面半圆的弧长，得到展开后AB方向的总长度，第二步把总长度和BC作为直角边，用勾股定理求斜边即可得到最短路径。
【解析】
1. 计算半圆柱底面半圆的弧长：
已知半圆柱底面直径$d=\frac{8}{π}\ \mathrm{m}$，半圆的弧长公式为$L=\frac{1}{2}πd$，代入得：
$L=\frac{1}{2}× π× \frac{8}{π}=4\ \mathrm{m}$
2. 求侧面展开后AB方向的总长度：
展开后原来EF段的弧长变为线段长度，因此总水平长度为$AE+BF+L=20+4=24\ \mathrm{m}$
3. 用勾股定理计算最短路径：
已知$BC=10\ \mathrm{m}$，展开后A、C两点的最短路径为直角三角形的斜边，两条直角边分别为24 m和10 m，因此：
$AC=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26\ \mathrm{m}$
【答案】
26
【知识点】
平面展开最短路径，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题核心是将曲面展开为平面，把折线路径转化为平面内的线段求解，易错点是容易误将EF的线段长度直接代替弧长计算总水平长度。
【难度系数】
0.6
5.如图，台阶阶梯每一层高 20 cm，宽 40 cm，长50 cm.一只蚂蚁从点 A 爬到点 B，最短路程是
130 cm
.答案
5. 130 cm
解析
【分析】
要解决立体图形表面蚂蚁爬行的最短路程问题，核心思路是“化曲为直”：先将立体图形的表面展开到同一平面，再根据“两点之间线段最短”确定最短路径，最后利用勾股定理计算路径长度。首先需要把台阶的竖直面和水平面展开，找到展开后A、B两点对应的位置，确定直角三角形的两条直角边长度，代入勾股定理即可求解。
【解析】
首先将台阶的所有竖直面、水平面展开到同一平面，此时A、B两点为展开后长方形的两个对角顶点：
1. 计算展开后一条直角边的长度：台阶总高度+总宽度=2×20cm + 2×40cm = 120cm；
2. 另一条直角边为台阶的长度，即50cm；
3. 根据勾股定理，最短路程AB为：
$AB=\sqrt{50^2 + 120^2}=\sqrt{2500 + 14400}=\sqrt{16900}=130\mathrm{cm}$。
【答案】
130 cm
【知识点】
勾股定理的应用，平面展开最短路径，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，解题的关键是正确将立体图形展开为平面图形，明确最短路径对应展开图中两点的连线，再结合勾股定理计算即可，注意展开时要准确计算各边的总长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
要解决立体图形表面蚂蚁爬行的最短路程问题，核心思路是“化曲为直”：先将立体图形的表面展开到同一平面，再根据“两点之间线段最短”确定最短路径，最后利用勾股定理计算路径长度。首先需要把台阶的竖直面和水平面展开，找到展开后A、B两点对应的位置，确定直角三角形的两条直角边长度，代入勾股定理即可求解。
【解析】
首先将台阶的所有竖直面、水平面展开到同一平面，此时A、B两点为展开后长方形的两个对角顶点：
1. 计算展开后一条直角边的长度：台阶总高度+总宽度=2×20cm + 2×40cm = 120cm；
2. 另一条直角边为台阶的长度，即50cm；
3. 根据勾股定理，最短路程AB为：
$AB=\sqrt{50^2 + 120^2}=\sqrt{2500 + 14400}=\sqrt{16900}=130\mathrm{cm}$。
【答案】
130 cm
【知识点】
勾股定理的应用，平面展开最短路径，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，解题的关键是正确将立体图形展开为平面图形，明确最短路径对应展开图中两点的连线，再结合勾股定理计算即可，注意展开时要准确计算各边的总长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
6.如图,在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2 cm的点M处有一只小蜘蛛(即AM=2 cm),它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5 cm的点N处觅食(BN=5 cm).已知钢管横截面的周长为18 cm,长为15 cm,则小蜘蛛需要爬行的最短距离是(空心钢管壁厚度忽略不计)
(
A.5 cm
B.4 cm
C.14 cm
D.15 cm
(
D
)A.5 cm
B.4 cm
C.14 cm
D.15 cm
答案
6. D
解析
【分析】
要解决立体图形表面的最短爬行路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算路径长度。本题中N点位于钢管内表面，需要通过对称转化，将内外表面的路径转化为同一平面内的两点连线，再找到对应直角边的长度即可求解。
【解析】
1. 把空心钢管的侧面展开为长方形，长方形的一边长为底面周长18cm，另一边长为钢管的长度15cm。
2. 由于N在钢管内表面，将N点对称到外表面所在平面，可得M、N两点在圆周方向的距离为底面半周长：$18÷2=9\mathrm{cm}$。
3. 结合两点的位置，计算得到两点沿钢管长度方向的距离为：$2+(15-5)=12\mathrm{cm}$。
4. 根据勾股定理，小蜘蛛需要爬行的最短距离为：
$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题，轴对称的应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的思想，将立体侧面展开为平面，注意内表面的点需要通过对称转化到同一平面内，再用勾股定理计算。
【难度系数】
0.6
要解决立体图形表面的最短爬行路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算路径长度。本题中N点位于钢管内表面，需要通过对称转化，将内外表面的路径转化为同一平面内的两点连线，再找到对应直角边的长度即可求解。
【解析】
1. 把空心钢管的侧面展开为长方形，长方形的一边长为底面周长18cm，另一边长为钢管的长度15cm。
2. 由于N在钢管内表面，将N点对称到外表面所在平面，可得M、N两点在圆周方向的距离为底面半周长：$18÷2=9\mathrm{cm}$。
3. 结合两点的位置，计算得到两点沿钢管长度方向的距离为：$2+(15-5)=12\mathrm{cm}$。
4. 根据勾股定理，小蜘蛛需要爬行的最短距离为：
$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题，轴对称的应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的思想，将立体侧面展开为平面，注意内表面的点需要通过对称转化到同一平面内，再用勾股定理计算。
【难度系数】
0.6
