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两条边和一个角分别对应相等的两个三角形是不是全等的呢？
探究1：画一个三角形，使得它的两条边长分别是3 cm，5 cm，并且使两边的夹角为30°，你能画出几种不同的三角形？
探究2：已知三角形的两边及其夹角，用尺规作出的三角形一定全等吗？
已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α。
作法：(1)作一条线段BC＝
(2)以点B为顶点，以BC为一边，作
(3)在射线BD上截取线段
(4)连接AC。
△ABC就是所要作的三角形。
探究1：画一个三角形，使得它的两条边长分别是3 cm，5 cm，并且使两边的夹角为30°，你能画出几种不同的三角形？
探究2：已知三角形的两边及其夹角，用尺规作出的三角形一定全等吗？
已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α。
作法：(1)作一条线段BC＝
a
。(2)以点B为顶点，以BC为一边，作
∠DBC=∠α
。(3)在射线BD上截取线段
BA=c
。(4)连接AC。
△ABC就是所要作的三角形。
答案
探究1 解：画图略。只能画出一种符合条件的三角形。
探究2 解：一定全等。
(1)a (2)∠DBC=∠α (3)BA=c
探究2 解：一定全等。
(1)a (2)∠DBC=∠α (3)BA=c
解析
【分析】
解题时先明确题目给出的条件类型：探究1和探究2均为已知三角形两边及夹角的情况。首先回忆全等三角形的判定相关知识，若两边及其夹角确定，则三角形的形状、大小完全固定，因此符合条件的三角形唯一。对于尺规作图题，按照“先定边、再定角、最后截另一条边”的顺序思考即可：第一步先作出已知长度的边BC，第二步构造出要求的夹角，第三步在角的另一条边上截取另一条已知长度的边，最后连接端点得到三角形。
【解析】
探究1
我们按照条件动手作图：先画出30°的角，在角的两条边上分别截取长度为3cm、5cm的线段，连接两个端点得到三角形。多次尝试后会发现，所有符合条件的三角形都可以完全重合，因此只能画出1种不同的三角形。
探究2
根据“边角边”全等判定定理，只要两个三角形的两边及其夹角对应相等，两个三角形就全等，因此用尺规按该条件作出的三角形一定全等。
尺规作图步骤解析：
(1) 首先确定第一条已知边的长度，因此作一条线段$BC=a$；
(2) 接下来构造要求的夹角，以点B为顶点，以BC为一边，作$∠ DBC=∠ α$，得到角的另一边射线BD；
(3) 在射线BD上截取第二条已知边的长度，即线段$BA=c$；
(4) 连接AC，得到的$△ ABC$即为所求。
【答案】
探究1：只能画出一种符合条件的三角形。
探究2：一定全等。
(1)$a$ (2)$∠ DBC=∠ α$ (3)$BA=c$
【知识点】
1. 尺规作三角形
2. 边角边（SAS）判定三角形全等
【点评】
本题以作图探究的形式呈现，既考察了尺规作图的基础操作能力，又帮助学生直观理解两边及夹角确定三角形的唯一性，加深对SAS全等判定定理的掌握，是全等三角形板块的基础练习题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目给出的条件类型：探究1和探究2均为已知三角形两边及夹角的情况。首先回忆全等三角形的判定相关知识，若两边及其夹角确定，则三角形的形状、大小完全固定，因此符合条件的三角形唯一。对于尺规作图题，按照“先定边、再定角、最后截另一条边”的顺序思考即可：第一步先作出已知长度的边BC，第二步构造出要求的夹角，第三步在角的另一条边上截取另一条已知长度的边，最后连接端点得到三角形。
【解析】
探究1
我们按照条件动手作图：先画出30°的角，在角的两条边上分别截取长度为3cm、5cm的线段，连接两个端点得到三角形。多次尝试后会发现，所有符合条件的三角形都可以完全重合，因此只能画出1种不同的三角形。
探究2
根据“边角边”全等判定定理，只要两个三角形的两边及其夹角对应相等，两个三角形就全等，因此用尺规按该条件作出的三角形一定全等。
尺规作图步骤解析：
(1) 首先确定第一条已知边的长度，因此作一条线段$BC=a$；
(2) 接下来构造要求的夹角，以点B为顶点，以BC为一边，作$∠ DBC=∠ α$，得到角的另一边射线BD；
(3) 在射线BD上截取第二条已知边的长度，即线段$BA=c$；
(4) 连接AC，得到的$△ ABC$即为所求。
【答案】
探究1：只能画出一种符合条件的三角形。
探究2：一定全等。
(1)$a$ (2)$∠ DBC=∠ α$ (3)$BA=c$
【知识点】
1. 尺规作三角形
2. 边角边（SAS）判定三角形全等
【点评】
本题以作图探究的形式呈现，既考察了尺规作图的基础操作能力，又帮助学生直观理解两边及夹角确定三角形的唯一性，加深对SAS全等判定定理的掌握，是全等三角形板块的基础练习题。
【难度系数】
0.8
探究3：画一个三角形，使它的两条边长分别是3 cm，5 cm，并且使长为3 cm的这条边所对的角是$30°$，你能画出几种不同的三角形？
新知生成：(1)两边及其夹角分别相等的两个三角形
(2)两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形
新知生成：(1)两边及其夹角分别相等的两个三角形
全等
，简写为“边角边”或“SAS
”。(2)两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形
不一定
全等。答案
探究3 解：如图，可以画出两种符合条件的三角形。
新知生成 (1)全等 SAS (2)不一定
解析
【分析】
对于探究3的问题，我们可以通过尺规作图的思路分析：首先明确已知条件：两条边长分别为3cm、5cm，长3cm的边所对的角为30°。我们可以先固定长度为5cm的边，再作出30°的角，最后以5cm边的另一个端点为圆心、3cm为半径画弧，通过弧与角的另一边的交点数量，即可确定能画出的三角形个数。对于新知生成的问题，结合探究结果和课本上学过的三角形全等判定定理直接填写即可：两边及其夹角相等的三角形全等，即SAS定理；而两边及其中一边的对角相等的情况，由探究可知可能画出不同的三角形，因此不能判定一定全等。
【解析】
探究3解析：
1. 先画线段AB=5cm；
2. 作∠ABM=30°；
3. 以点A为圆心，3cm长为半径画弧，可观察到弧与射线BM有2个不同的交点，将两个交点分别记为C、E；
4. 分别连接AC、AE，得到△ABC和△ABE，两个三角形都满足“两条边长为3cm、5cm，长3cm的边所对的角为30°”的要求，因此可以画出2种不同的三角形。
新知生成解析：
(1) 根据边角边判定定理，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”；
(2) 由探究3的结果可知，两边分别相等且其中一组等边的对角相等时，可能得到两个不同的三角形，因此两个三角形不一定全等。
【答案】
探究3 解：如图，可以画出两种符合条件的三角形。
新知生成 (1)全等 SAS (2)不一定
【知识点】
尺规作三角形，SAS判定全等，全等三角形判定
【点评】
本题通过动手作图的方式探究三角形全等的判定条件，直观展示了“SAS”和“SSA”的区别，帮助大家理解只有两边及其夹角相等才能判定三角形全等，两边及其中一边的对角相等不能作为全等的判定依据，强化了对全等判定定理的理解。
【难度系数】
0.7
对于探究3的问题，我们可以通过尺规作图的思路分析：首先明确已知条件：两条边长分别为3cm、5cm，长3cm的边所对的角为30°。我们可以先固定长度为5cm的边，再作出30°的角，最后以5cm边的另一个端点为圆心、3cm为半径画弧，通过弧与角的另一边的交点数量，即可确定能画出的三角形个数。对于新知生成的问题，结合探究结果和课本上学过的三角形全等判定定理直接填写即可：两边及其夹角相等的三角形全等，即SAS定理；而两边及其中一边的对角相等的情况，由探究可知可能画出不同的三角形，因此不能判定一定全等。
【解析】
探究3解析：
1. 先画线段AB=5cm；
2. 作∠ABM=30°；
3. 以点A为圆心，3cm长为半径画弧，可观察到弧与射线BM有2个不同的交点，将两个交点分别记为C、E；
4. 分别连接AC、AE，得到△ABC和△ABE，两个三角形都满足“两条边长为3cm、5cm，长3cm的边所对的角为30°”的要求，因此可以画出2种不同的三角形。
新知生成解析：
(1) 根据边角边判定定理，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”；
(2) 由探究3的结果可知，两边分别相等且其中一组等边的对角相等时，可能得到两个不同的三角形，因此两个三角形不一定全等。
【答案】
探究3 解：如图，可以画出两种符合条件的三角形。
新知生成 (1)全等 SAS (2)不一定
【知识点】
尺规作三角形，SAS判定全等，全等三角形判定
【点评】
本题通过动手作图的方式探究三角形全等的判定条件，直观展示了“SAS”和“SSA”的区别，帮助大家理解只有两边及其夹角相等才能判定三角形全等，两边及其中一边的对角相等不能作为全等的判定依据，强化了对全等判定定理的理解。
【难度系数】
0.7
1. 如图，AC，BD相交于点O，$∠ 1=∠ 2$，若用“SAS”说明$△ ACB ≌ △ BDA$，则还需要加上条件（
A.$AD=BC$
B.$BD=AC$
C.$∠ D=∠ C$
D.$OA=AB$
B
）A.$AD=BC$
B.$BD=AC$
C.$∠ D=∠ C$
D.$OA=AB$
答案
1. B
解析
【分析】
首先明确题目要求用“SAS”判定△ACB≌△BDA，先回忆“SAS”的判定规则：两个三角形的两组对应边相等，且两组边的夹角也相等，即可判定全等。先梳理已知条件：①已知∠1=∠2；②AB是两个三角形的公共边，故AB=BA。其中∠1是△ACB中边AB和AC的夹角，∠2是△BDA中边BA和BD的夹角，现有条件已经有一组等角、一组等角的邻边（公共边）相等，只需补充等角的另一组邻边相等即可满足SAS的判定要求，再逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
要使用“SAS”判定△ACB≌△BDA，先整理现有条件：
1. $AB = BA$（公共边相等）
2. $∠1 = ∠2$（题目已知）
根据SAS判定要求，需要补充∠1和∠2的另一组邻边对应相等，即$AC=BD$，也就是$BD=AC$。
对各选项逐一判断：
A选项：$AD=BC$，此时两组边和其中一边的对角相等（SSA），不符合SAS判定规则，不能判定全等，错误；
B选项：$BD=AC$，此时满足$AB=BA$，$∠1=∠2$，$AC=BD$，符合SAS判定条件，正确；
C选项：$∠D=∠C$，结合已知条件可通过AAS判定全等，不符合题目要求的SAS判定，错误；
D选项：$OA=AB$，无法推出△ACB和△BDA的对应边相等，不能判定全等，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 公共边的性质
【点评】
本题核心是考查对“SAS”全等判定定理的掌握，解题时要注意“边角边”中的角必须是两组对应边的夹角，不要和不能判定全等的“边边角”混淆，先梳理已知的边、角条件，再结合判定定理寻找缺失的对应条件即可。
【难度系数】
0.8
首先明确题目要求用“SAS”判定△ACB≌△BDA，先回忆“SAS”的判定规则：两个三角形的两组对应边相等，且两组边的夹角也相等，即可判定全等。先梳理已知条件：①已知∠1=∠2；②AB是两个三角形的公共边，故AB=BA。其中∠1是△ACB中边AB和AC的夹角，∠2是△BDA中边BA和BD的夹角，现有条件已经有一组等角、一组等角的邻边（公共边）相等，只需补充等角的另一组邻边相等即可满足SAS的判定要求，再逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
要使用“SAS”判定△ACB≌△BDA，先整理现有条件：
1. $AB = BA$（公共边相等）
2. $∠1 = ∠2$（题目已知）
根据SAS判定要求，需要补充∠1和∠2的另一组邻边对应相等，即$AC=BD$，也就是$BD=AC$。
对各选项逐一判断：
A选项：$AD=BC$，此时两组边和其中一边的对角相等（SSA），不符合SAS判定规则，不能判定全等，错误；
B选项：$BD=AC$，此时满足$AB=BA$，$∠1=∠2$，$AC=BD$，符合SAS判定条件，正确；
C选项：$∠D=∠C$，结合已知条件可通过AAS判定全等，不符合题目要求的SAS判定，错误；
D选项：$OA=AB$，无法推出△ACB和△BDA的对应边相等，不能判定全等，错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 公共边的性质
【点评】
本题核心是考查对“SAS”全等判定定理的掌握，解题时要注意“边角边”中的角必须是两组对应边的夹角，不要和不能判定全等的“边边角”混淆，先梳理已知的边、角条件，再结合判定定理寻找缺失的对应条件即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB，CD，且OB=OD，要利用“SAS”判定$△ AOB ≌ △ COD$，应添加一个条件是
OA=OC
。答案
2. $OA=OC$
解析
【分析】
要使用“SAS”判定两个三角形全等，需满足两边及其夹角对应相等。首先梳理已知相等条件：题目给出OB=OD，又因为AD与BC交于点O，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，此时已经有一组边相等、一组夹角相等，只需补充该夹角的另一组对应边相等，即可满足SAS的判定要求。
【解析】
已知OB=OD，
∵线段AD与BC相交于点O，
∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
要符合“SAS”的判定规则，需要夹角∠AOB和∠COD的另一组邻边对应相等，即OA=OC。
此时在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\∠AOB=∠COD\\OB=OD\end{array} $
满足两边及夹角对应相等，可判定△AOB≌△COD（SAS）。
【答案】
$OA=OC$
【知识点】
SAS判定全等；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形“SAS”判定定理的应用，解题的关键是明确“SAS”要求的是两边及两边的夹角对应相等，注意区分“边角边”和“边边角”，不要混淆判定条件。
【难度系数】
0.8
要使用“SAS”判定两个三角形全等，需满足两边及其夹角对应相等。首先梳理已知相等条件：题目给出OB=OD，又因为AD与BC交于点O，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，此时已经有一组边相等、一组夹角相等，只需补充该夹角的另一组对应边相等，即可满足SAS的判定要求。
【解析】
已知OB=OD，
∵线段AD与BC相交于点O，
∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
要符合“SAS”的判定规则，需要夹角∠AOB和∠COD的另一组邻边对应相等，即OA=OC。
此时在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\∠AOB=∠COD\\OB=OD\end{array} $
满足两边及夹角对应相等，可判定△AOB≌△COD（SAS）。
【答案】
$OA=OC$
【知识点】
SAS判定全等；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形“SAS”判定定理的应用，解题的关键是明确“SAS”要求的是两边及两边的夹角对应相等，注意区分“边角边”和“边边角”，不要混淆判定条件。
【难度系数】
0.8
