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1. (★)填空：
(1)$x^2 +8x +\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 -7x +\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 -\frac{2}{7}x +\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2 +\frac{5}{2}x +\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$。
(1)$x^2 +8x +\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 -7x +\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 -\frac{2}{7}x +\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2 +\frac{5}{2}x +\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
解：
(1) 根据完全平方公式，一次项系数8的一半为4，$4^2=16$，
$x^2 +8x + \boldsymbol{16}=(x+\boldsymbol{4})^2$；
(2) 一次项系数-7的一半为$\frac{7}{2}$，$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，
$x^2 -7x + \boldsymbol{\frac{49}{4}}=(x-\boldsymbol{\frac{7}{2}})^2$；
(3) 一次项系数$-\frac{2}{7}$的一半为$\frac{1}{7}$，$(\frac{1}{7})^2=\frac{1}{49}$，
$x^2 -\frac{2}{7}x + \boldsymbol{\frac{1}{49}}=(x-\boldsymbol{\frac{1}{7}})^2$；
(4) 一次项系数$\frac{5}{2}$的一半为$\frac{5}{4}$，$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，
$x^2 +\frac{5}{2}x + \boldsymbol{\frac{25}{16}}=(x+\boldsymbol{\frac{5}{4}})^2$。
(1) 根据完全平方公式，一次项系数8的一半为4，$4^2=16$，
$x^2 +8x + \boldsymbol{16}=(x+\boldsymbol{4})^2$；
(2) 一次项系数-7的一半为$\frac{7}{2}$，$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，
$x^2 -7x + \boldsymbol{\frac{49}{4}}=(x-\boldsymbol{\frac{7}{2}})^2$；
(3) 一次项系数$-\frac{2}{7}$的一半为$\frac{1}{7}$，$(\frac{1}{7})^2=\frac{1}{49}$，
$x^2 -\frac{2}{7}x + \boldsymbol{\frac{1}{49}}=(x-\boldsymbol{\frac{1}{7}})^2$；
(4) 一次项系数$\frac{5}{2}$的一半为$\frac{5}{4}$，$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，
$x^2 +\frac{5}{2}x + \boldsymbol{\frac{25}{16}}=(x+\boldsymbol{\frac{5}{4}})^2$。
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，属于配方法的基础题型。解题思路依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$：对于形如$x^2+mx$的二次二项式，配方时需要加上的常数项是一次项系数$m$一半的平方，配方后括号内的常数项就是一次项系数的一半，符号与一次项系数的符号保持一致。解题时只需依次找出每小问的一次项系数，按上述规律计算即可。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm a)^2=x^2\pm 2ax+a^2$，可知需填的常数项为一次项系数一半的平方，括号内的数为一次项系数的一半：
(1) 一次项系数为8，一半为$8÷2=4$，$4^2=16$，因此$x^2 +8x +16=(x+4)^2$；
(2) 一次项系数为-7，一半为$-7÷2=-\frac{7}{2}$，$(-\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，因此$x^2 -7x +\frac{49}{4}=(x-\frac{7}{2})^2$；
(3) 一次项系数为$-\frac{2}{7}$，一半为$-\frac{2}{7}÷2=-\frac{1}{7}$，$(-\frac{1}{7})^2=\frac{1}{49}$，因此$x^2 -\frac{2}{7}x +\frac{1}{49}=(x-\frac{1}{7})^2$；
(4) 一次项系数为$\frac{5}{2}$，一半为$\frac{5}{2}÷2=\frac{5}{4}$，$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，因此$x^2 +\frac{5}{2}x +\frac{25}{16}=(x+\frac{5}{4})^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{49}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{49}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{7}}$；
(4) $\boldsymbol{\frac{25}{16}}$，$\boldsymbol{\frac{5}{4}}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础练习题，核心考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，熟练掌握“一次项系数一半的平方”这一配方技巧即可快速解题，是后续学习一元二次方程求解、二次函数变形等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的应用，属于配方法的基础题型。解题思路依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$：对于形如$x^2+mx$的二次二项式，配方时需要加上的常数项是一次项系数$m$一半的平方，配方后括号内的常数项就是一次项系数的一半，符号与一次项系数的符号保持一致。解题时只需依次找出每小问的一次项系数，按上述规律计算即可。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm a)^2=x^2\pm 2ax+a^2$，可知需填的常数项为一次项系数一半的平方，括号内的数为一次项系数的一半：
(1) 一次项系数为8，一半为$8÷2=4$，$4^2=16$，因此$x^2 +8x +16=(x+4)^2$；
(2) 一次项系数为-7，一半为$-7÷2=-\frac{7}{2}$，$(-\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，因此$x^2 -7x +\frac{49}{4}=(x-\frac{7}{2})^2$；
(3) 一次项系数为$-\frac{2}{7}$，一半为$-\frac{2}{7}÷2=-\frac{1}{7}$，$(-\frac{1}{7})^2=\frac{1}{49}$，因此$x^2 -\frac{2}{7}x +\frac{1}{49}=(x-\frac{1}{7})^2$；
(4) 一次项系数为$\frac{5}{2}$，一半为$\frac{5}{2}÷2=\frac{5}{4}$，$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，因此$x^2 +\frac{5}{2}x +\frac{25}{16}=(x+\frac{5}{4})^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$，$\boldsymbol{4}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{49}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{49}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{7}}$；
(4) $\boldsymbol{\frac{25}{16}}$，$\boldsymbol{\frac{5}{4}}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础练习题，核心考查对完全平方公式结构特征的理解与运用，熟练掌握“一次项系数一半的平方”这一配方技巧即可快速解题，是后续学习一元二次方程求解、二次函数变形等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. (★)解方程$x^2 +8x +3=0$,可先将常数项移到等号右边,得,然后配方,得,进而将二次方程转化为两个一次方程和.像这样,通过配成形式来解一元二次方程的方法,叫作配方法.配方是为了利用开方实现,把一个一元二次方程转化成两个来解.
答案
解：
将常数项移到等号右边，得$\boldsymbol{x^2 + 8x = -3}$，
然后配方，得$\boldsymbol{(x+4)^2 = 13}$，
进而将二次方程转化为两个一次方程$\boldsymbol{x+4=\sqrt{13}}$和$\boldsymbol{x+4=-\sqrt{13}}$。
像这样，通过配成$\boldsymbol{完全平方}$形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
配方是为了利用开方实现$\boldsymbol{降次}$，把一个一元二次方程转化成两个$\boldsymbol{一元一次方程}$来解。
将常数项移到等号右边，得$\boldsymbol{x^2 + 8x = -3}$，
然后配方，得$\boldsymbol{(x+4)^2 = 13}$，
进而将二次方程转化为两个一次方程$\boldsymbol{x+4=\sqrt{13}}$和$\boldsymbol{x+4=-\sqrt{13}}$。
像这样，通过配成$\boldsymbol{完全平方}$形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
配方是为了利用开方实现$\boldsymbol{降次}$，把一个一元二次方程转化成两个$\boldsymbol{一元一次方程}$来解。
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的步骤及相关概念，解题时按照配方法的标准流程逐步推导即可：首先回忆配方法的第一步是移项，把常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的二次项、一次项在左侧；第二步是配方，给等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步是开平方，根据平方根的性质，把二次方程转化为两个一次方程；最后结合配方法的定义和核心原理填写概念类空即可。
【解析】
1. 移项：将方程$x^2 +8x +3=0$的常数项$3$移到等号右侧，移项要变号，得$x^2 + 8x = -3$；
2. 配方：一次项系数为$8$，它的一半是$4$，$4$的平方为$16$，给等号两边同时加$16$，左侧$x^2+8x+16$可整理为完全平方式$(x+4)^2$，右侧为$-3+16=13$，因此配方后得$(x+4)^2 = 13$；
3. 开平方：根据平方根的性质，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$，因此对$(x+4)^2 = 13$开平方，可得到两个一次方程$x+4=\sqrt{13}$和$x+4=-\sqrt{13}$；
4. 概念填写：配方法的定义是通过配成完全平方形式来解一元二次方程，配方的核心目的是利用开方实现降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
【答案】
$x^2 + 8x = -3$；$(x+4)^2 = 13$；$x+4=\sqrt{13}$；$x+4=-\sqrt{13}$；完全平方；降次；一元一次方程
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，侧重考查配方法的操作步骤和核心逻辑，熟练掌握移项、配方、开方的每一步要求，理解配方法降次的本质，即可快速作答，也为后续学习一元二次方程的其他解法打下基础。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法解一元二次方程的步骤及相关概念，解题时按照配方法的标准流程逐步推导即可：首先回忆配方法的第一步是移项，把常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的二次项、一次项在左侧；第二步是配方，给等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步是开平方，根据平方根的性质，把二次方程转化为两个一次方程；最后结合配方法的定义和核心原理填写概念类空即可。
【解析】
1. 移项：将方程$x^2 +8x +3=0$的常数项$3$移到等号右侧，移项要变号，得$x^2 + 8x = -3$；
2. 配方：一次项系数为$8$，它的一半是$4$，$4$的平方为$16$，给等号两边同时加$16$，左侧$x^2+8x+16$可整理为完全平方式$(x+4)^2$，右侧为$-3+16=13$，因此配方后得$(x+4)^2 = 13$；
3. 开平方：根据平方根的性质，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$，因此对$(x+4)^2 = 13$开平方，可得到两个一次方程$x+4=\sqrt{13}$和$x+4=-\sqrt{13}$；
4. 概念填写：配方法的定义是通过配成完全平方形式来解一元二次方程，配方的核心目的是利用开方实现降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
【答案】
$x^2 + 8x = -3$；$(x+4)^2 = 13$；$x+4=\sqrt{13}$；$x+4=-\sqrt{13}$；完全平方；降次；一元一次方程
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，侧重考查配方法的操作步骤和核心逻辑，熟练掌握移项、配方、开方的每一步要求，理解配方法降次的本质，即可快速作答，也为后续学习一元二次方程的其他解法打下基础。
【难度系数】
0.9
3. (★)一般地,一元二次方程可以通过配方转化为$(x+n)^2 = p$的形式.
(1)当$p＞0$时,方程有的实数根$x_1 =$$,x_2 =$;
(2)当$p=0$时,方程有的实数根$x_1 = x_2 =$;
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$(x+n)^2 ≥ 0$,所以方程实数根.
(1)当$p＞0$时,方程有的实数根$x_1 =$$,x_2 =$;
(2)当$p=0$时,方程有的实数根$x_1 = x_2 =$;
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$(x+n)^2 ≥ 0$,所以方程实数根.
答案
解：
(1) 两个不相等；$-n+\sqrt{p}$；$-n-\sqrt{p}$
(2) 两个相等；$-n$
(3) 没有
(1) 两个不相等；$-n+\sqrt{p}$；$-n-\sqrt{p}$
(2) 两个相等；$-n$
(3) 没有
解析
【分析】
本题考查一元二次方程配方后根的情况分类，解题核心是结合平方的非负性和平方根的定义分析：首先明确对任意实数x，都有$(x+n)^2≥0$，再根据p与0的大小关系分情况讨论：①p＞0时，正数有两个互为相反数的平方根，对应方程两个不等实根，开平方移项即可求根；②p=0时，0的平方根只有0，对应两个相等的实根；③p＜0时，平方不可能为负，因此方程无实根。
【解析】
根据平方的非负性，对任意实数，均有$(x+n)^2≥0$，结合平方根的定义分情况讨论：
(1) 当$p＞0$时，对$(x+n)^2 = p$两边开平方，得$x+n=\pm\sqrt{p}$，移项得$x=-n\pm\sqrt{p}$，因此方程有两个不相等的实数根，$x_1=-n+\sqrt{p}$，$x_2=-n-\sqrt{p}$；
(2) 当$p=0$时，$(x+n)^2=0$，因此$x+n=0$，解得$x=-n$，即方程有两个相等的实数根，$x_1=x_2=-n$；
(3) 当$p＜0$时，由于$(x+n)^2≥0$恒成立，不可能等于负数p，因此方程没有实数根。
【答案】
(1) 两个不相等；$-n+\sqrt{p}$；$-n-\sqrt{p}$
(2) 两个相等；$-n$
(3) 没有
【知识点】
配方法解一元二次方程；平方根的性质；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的情况判断的基础题型，是后续学习根的判别式、求根公式的基础，熟练掌握平方的性质和平方根的运算即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程配方后根的情况分类，解题核心是结合平方的非负性和平方根的定义分析：首先明确对任意实数x，都有$(x+n)^2≥0$，再根据p与0的大小关系分情况讨论：①p＞0时，正数有两个互为相反数的平方根，对应方程两个不等实根，开平方移项即可求根；②p=0时，0的平方根只有0，对应两个相等的实根；③p＜0时，平方不可能为负，因此方程无实根。
【解析】
根据平方的非负性，对任意实数，均有$(x+n)^2≥0$，结合平方根的定义分情况讨论：
(1) 当$p＞0$时，对$(x+n)^2 = p$两边开平方，得$x+n=\pm\sqrt{p}$，移项得$x=-n\pm\sqrt{p}$，因此方程有两个不相等的实数根，$x_1=-n+\sqrt{p}$，$x_2=-n-\sqrt{p}$；
(2) 当$p=0$时，$(x+n)^2=0$，因此$x+n=0$，解得$x=-n$，即方程有两个相等的实数根，$x_1=x_2=-n$；
(3) 当$p＜0$时，由于$(x+n)^2≥0$恒成立，不可能等于负数p，因此方程没有实数根。
【答案】
(1) 两个不相等；$-n+\sqrt{p}$；$-n-\sqrt{p}$
(2) 两个相等；$-n$
(3) 没有
【知识点】
配方法解一元二次方程；平方根的性质；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的情况判断的基础题型，是后续学习根的判别式、求根公式的基础，熟练掌握平方的性质和平方根的运算即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. (★)方程$x^2 + 4x + 4 = 0$的根是 【 】
A.$x_1 = x_2 = 2$
B.$x_1 = x_2 = -2$
C.$x_1 = -2, x_2 = 2$
D.无实数根
A.$x_1 = x_2 = 2$
B.$x_1 = x_2 = -2$
C.$x_1 = -2, x_2 = 2$
D.无实数根
答案
B
解析
【分析】
拿到这道一元二次方程求解的题目，首先观察方程左边的多项式结构，$x^2+4x+4$刚好符合完全平方公式的形式，所以优先选择因式分解法解题，比配方法、求根公式法更简便。先把左边因式分解，再根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”的规则求出方程的根，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程左边利用完全平方公式因式分解，可得：
$(x+2)^2=0$
根据平方的性质，若一个数的平方为0，则这个数本身为0，因此：
$x+2=0$
解得$x_1=x_2=-2$
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，一元二次方程解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的基础求解方法，熟练掌握因式分解的常用公式就能快速得出答案，计算量很小。
【难度系数】
0.9
拿到这道一元二次方程求解的题目，首先观察方程左边的多项式结构，$x^2+4x+4$刚好符合完全平方公式的形式，所以优先选择因式分解法解题，比配方法、求根公式法更简便。先把左边因式分解，再根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”的规则求出方程的根，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程左边利用完全平方公式因式分解，可得：
$(x+2)^2=0$
根据平方的性质，若一个数的平方为0，则这个数本身为0，因此：
$x+2=0$
解得$x_1=x_2=-2$
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，一元二次方程解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的基础求解方法，熟练掌握因式分解的常用公式就能快速得出答案，计算量很小。
【难度系数】
0.9
5. (★)把方程$x^2 +6x -5=0$的左边配成完全平方形式后所得的方程为【 】
A.$(x+3)^2=14$
B.$(x-3)^2=14$
C.$(x+6)^2=\frac{1}{2}$
D.$(x-6)^2=\frac{1}{2}$
A.$(x+3)^2=14$
B.$(x-3)^2=14$
C.$(x+6)^2=\frac{1}{2}$
D.$(x-6)^2=\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程变形为完全平方形式的能力。解题时首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将常数项移到方程等号的右侧，只保留含未知数的二次项和一次项在左侧；第二步计算一次项系数一半的平方，将这个数同时加到方程左右两侧，此时左侧就可以写成完全平方的形式，右侧合并常数就能得到最终配方后的方程，再对照选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 +6x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 +6x = 5$
2. 一次项系数为6，其一半为3，平方为$3^2=9$，在方程左右两边同时加9：
$x^2 +6x +9 = 5 +9$
3. 左侧根据完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：
$(x+3)^2=14$
因此配方后所得方程为$(x+3)^2=14$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考察题，核心是掌握配方的标准化步骤，只要牢记“移常数项、加一次项系数一半的平方”的操作流程，就能快速得出正确结果，是一元二次方程相关知识点的基础常考题型。
【难度系数】
0.9
本题考查用配方法将一元二次方程变形为完全平方形式的能力。解题时首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将常数项移到方程等号的右侧，只保留含未知数的二次项和一次项在左侧；第二步计算一次项系数一半的平方，将这个数同时加到方程左右两侧，此时左侧就可以写成完全平方的形式，右侧合并常数就能得到最终配方后的方程，再对照选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 +6x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 +6x = 5$
2. 一次项系数为6，其一半为3，平方为$3^2=9$，在方程左右两边同时加9：
$x^2 +6x +9 = 5 +9$
3. 左侧根据完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：
$(x+3)^2=14$
因此配方后所得方程为$(x+3)^2=14$。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考察题，核心是掌握配方的标准化步骤，只要牢记“移常数项、加一次项系数一半的平方”的操作流程，就能快速得出正确结果，是一元二次方程相关知识点的基础常考题型。
【难度系数】
0.9
6. (★)用配方法解下列方程时，配方正确的是
【 】
A.方程$x^2 -6x -5=0$可化为$(x-3)^2=4$
B.方程$y^2 -2y -2015=0$可化为$(y-1)^2=2015$
C.方程$a^2 +8a +9=0$可化为$(a+4)^2=25$
D.方程$2x^2 -6x -7=0$可化为$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{23}{4}$
【 】
A.方程$x^2 -6x -5=0$可化为$(x-3)^2=4$
B.方程$y^2 -2y -2015=0$可化为$(y-1)^2=2015$
C.方程$a^2 +8a +9=0$可化为$(a+4)^2=25$
D.方程$2x^2 -6x -7=0$可化为$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{23}{4}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的判断，解题思路为：首先回忆配方法的标准步骤：1. 若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；2. 将常数项移到等号右侧；3. 等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，再逐一验证四个选项的配方结果是否正确即可。
【解析】
我们按照配方法步骤逐一验证选项：
A. 方程$x^2 -6x -5=0$，移项得$x^2 -6x=5$，两边加$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2-6x+9=5+9$，即$(x-3)^2=14$，选项配方错误；
B. 方程$y^2 -2y -2015=0$，移项得$y^2-2y=2015$，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$，得$y^2-2y+1=2015+1$，即$(y-1)^2=2016$，选项配方错误；
C. 方程$a^2 +8a +9=0$，移项得$a^2+8a=-9$，两边加$(\frac{8}{2})^2=16$，得$a^2+8a+16=-9+16$，即$(a+4)^2=7$，选项配方错误；
D. 方程$2x^2 -6x -7=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2-3x-\frac{7}{2}=0$，移项得$x^2-3x=\frac{7}{2}$，两边加$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2-3x+\frac{9}{4}=\frac{7}{2}+\frac{9}{4}$，整理得$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{23}{4}$，选项配方正确。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题，核心是掌握配方法的操作流程，特别注意二次项系数不为1时要先化为1，移项和计算常数项时要避免符号、计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的判断，解题思路为：首先回忆配方法的标准步骤：1. 若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；2. 将常数项移到等号右侧；3. 等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式，再逐一验证四个选项的配方结果是否正确即可。
【解析】
我们按照配方法步骤逐一验证选项：
A. 方程$x^2 -6x -5=0$，移项得$x^2 -6x=5$，两边加$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2-6x+9=5+9$，即$(x-3)^2=14$，选项配方错误；
B. 方程$y^2 -2y -2015=0$，移项得$y^2-2y=2015$，两边加$(\frac{-2}{2})^2=1$，得$y^2-2y+1=2015+1$，即$(y-1)^2=2016$，选项配方错误；
C. 方程$a^2 +8a +9=0$，移项得$a^2+8a=-9$，两边加$(\frac{8}{2})^2=16$，得$a^2+8a+16=-9+16$，即$(a+4)^2=7$，选项配方错误；
D. 方程$2x^2 -6x -7=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2-3x-\frac{7}{2}=0$，移项得$x^2-3x=\frac{7}{2}$，两边加$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2-3x+\frac{9}{4}=\frac{7}{2}+\frac{9}{4}$，整理得$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{23}{4}$，选项配方正确。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题，核心是掌握配方法的操作流程，特别注意二次项系数不为1时要先化为1，移项和计算常数项时要避免符号、计算错误。
【难度系数】
0.8
7. (★)解方程: $2x^2 -3x -2=0.$
为了便于配方,我们将常数项移到右边,
得 $2x^2 -3x =$ ;
再把二次项系数化为1,得 $x^2 -$ $x =$ ;
然后配方,得 $x^2 -$ $x + ($ $)^2 =$ $ + ($ $)^2$;
进一步得 $(x -$ $)^2 =$ ;
解得方程的两个根为 .
为了便于配方,我们将常数项移到右边,
得 $2x^2 -3x =$ ;
再把二次项系数化为1,得 $x^2 -$ $x =$ ;
然后配方,得 $x^2 -$ $x + ($ $)^2 =$ $ + ($ $)^2$;
进一步得 $(x -$ $)^2 =$ ;
解得方程的两个根为 .
答案
解：
将常数项移到右边，得$2x^2 - 3x = \boldsymbol{2}$；
再把二次项系数化为1，得$x^2 - \boldsymbol{\frac{3}{2}}x = \boldsymbol{1}$；
然后配方，得$x^2 - \boldsymbol{\frac{3}{2}}x + (\boldsymbol{\frac{3}{4}})^2 = \boldsymbol{1} + (\boldsymbol{\frac{3}{4}})^2$；
进一步得$(x - \boldsymbol{\frac{3}{4}})^2 = \boldsymbol{\frac{25}{16}}$；
开方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{5}{4}$，
解得方程的两个根为$\boldsymbol{x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}}$。
将常数项移到右边，得$2x^2 - 3x = \boldsymbol{2}$；
再把二次项系数化为1，得$x^2 - \boldsymbol{\frac{3}{2}}x = \boldsymbol{1}$；
然后配方，得$x^2 - \boldsymbol{\frac{3}{2}}x + (\boldsymbol{\frac{3}{4}})^2 = \boldsymbol{1} + (\boldsymbol{\frac{3}{4}})^2$；
进一步得$(x - \boldsymbol{\frac{3}{4}})^2 = \boldsymbol{\frac{25}{16}}$；
开方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{5}{4}$，
解得方程的两个根为$\boldsymbol{x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}}$。
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，按照配方法的固定步骤逐步推导即可：第一步移项，将不含未知数的常数项移到等号右侧，移项要变号；第二步将二次项系数化为1，等式两边同时除以二次项系数；第三步配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式；第四步将左侧写成完全平方式，计算右侧结果；最后开平方求解方程的根，每一步对应填空即可。
【解析】
1. 移项：将常数项-2移到等号右边，变号得$2x^2 - 3x = 2$；
2. 二次项系数化为1：等式两边同时除以2，得$x^2 - \frac{3}{2}x = 1$；
3. 配方：一次项系数为$-\frac{3}{2}$，其一半为$-\frac{3}{4}$，平方为$(\frac{3}{4})^2$，等式两边同时加$(\frac{3}{4})^2$，得$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = 1 + (\frac{3}{4})^2$；
4. 整理完全平方式：左侧为$(x - \frac{3}{4})^2$，右侧计算得$1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$，即$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$；
5. 开方求解：两边开平方得$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}$，解得$x_1 = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = 2$，$x_2 = \frac{3}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{1}{2}$。
【答案】
$2$；$\frac{3}{2}$，$1$；$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$，$1$，$\frac{3}{4}$；$\frac{3}{4}$，$\frac{25}{16}$；$x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时等式两边需要同时加上一次项系数一半的平方，避免出现只给左侧加的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，按照配方法的固定步骤逐步推导即可：第一步移项，将不含未知数的常数项移到等号右侧，移项要变号；第二步将二次项系数化为1，等式两边同时除以二次项系数；第三步配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式；第四步将左侧写成完全平方式，计算右侧结果；最后开平方求解方程的根，每一步对应填空即可。
【解析】
1. 移项：将常数项-2移到等号右边，变号得$2x^2 - 3x = 2$；
2. 二次项系数化为1：等式两边同时除以2，得$x^2 - \frac{3}{2}x = 1$；
3. 配方：一次项系数为$-\frac{3}{2}$，其一半为$-\frac{3}{4}$，平方为$(\frac{3}{4})^2$，等式两边同时加$(\frac{3}{4})^2$，得$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = 1 + (\frac{3}{4})^2$；
4. 整理完全平方式：左侧为$(x - \frac{3}{4})^2$，右侧计算得$1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$，即$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$；
5. 开方求解：两边开平方得$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}$，解得$x_1 = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = 2$，$x_2 = \frac{3}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{1}{2}$。
【答案】
$2$；$\frac{3}{2}$，$1$；$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$，$1$，$\frac{3}{4}$；$\frac{3}{4}$，$\frac{25}{16}$；$x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程的解法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时等式两边需要同时加上一次项系数一半的平方，避免出现只给左侧加的错误。
【难度系数】
0.8
8. (★)若方程$x^2+px+q=0$可化为$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$的形式，则$p=$，$q=$。
答案
$p=\boldsymbol{1}$，$q=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
解析
【分析】
要确定p和q的取值，首先需要将题目给出的配方形式的方程转化为一元二次方程的一般形式，再与$x^2+px+q=0$的各项系数一一对应即可求出结果。思考步骤：第一步回忆完全平方公式的展开规则，第二步用公式展开方程左侧，第三步移项合并同类项得到一般式，第四步对比系数得到p、q的值。
【解析】
首先展开$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得：
$x^2 + x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
将等号右侧的常数项移到左侧合并同类项：
$x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = 0$
化简得：$x^2 + x - \frac{1}{2} = 0$
将上式与$x^2+px+q=0$对比，对应系数相等，因此$p=1$，$q=-\frac{1}{2}$。
【答案】
$p=\boldsymbol{1}$，$q=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
完全平方公式，一元二次方程系数对应，等式变形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查完全平方公式的应用和一元二次方程系数的对应关系，解题逻辑清晰，计算量小，熟练掌握基础公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要确定p和q的取值，首先需要将题目给出的配方形式的方程转化为一元二次方程的一般形式，再与$x^2+px+q=0$的各项系数一一对应即可求出结果。思考步骤：第一步回忆完全平方公式的展开规则，第二步用公式展开方程左侧，第三步移项合并同类项得到一般式，第四步对比系数得到p、q的值。
【解析】
首先展开$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得：
$x^2 + x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
将等号右侧的常数项移到左侧合并同类项：
$x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = 0$
化简得：$x^2 + x - \frac{1}{2} = 0$
将上式与$x^2+px+q=0$对比，对应系数相等，因此$p=1$，$q=-\frac{1}{2}$。
【答案】
$p=\boldsymbol{1}$，$q=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
完全平方公式，一元二次方程系数对应，等式变形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查完全平方公式的应用和一元二次方程系数的对应关系，解题逻辑清晰，计算量小，熟练掌握基础公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
