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9. (★)下列方程不能用直接开平方法求解的是 【 】
A.$4a^2 -4a -1=0$
B.$4a^2 +4a +1=0$
C.$a^2 -a +\frac{1}{4}=0$
D.$a^2 +a +\frac{1}{4}=0$
A.$4a^2 -4a -1=0$
B.$4a^2 +4a +1=0$
C.$a^2 -a +\frac{1}{4}=0$
D.$a^2 +a +\frac{1}{4}=0$
答案
A
解析
【分析】
要判断方程能不能用直接开平方法求解，首先明确直接开平方法的适用条件：方程可变形为“某个整式的平方等于非负常数”的形式，即方程左边是完全平方式，右边为非负常数。因此解题思路是：结合完全平方公式，逐个判断各选项中等号左边的二次三项式是否为完全平方式，若不是则对应方程不能用直接开平方法求解。
【解析】
我们先回顾完全平方公式：$(m\pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$，逐一分析选项：
选项B：$4a^2+4a+1=(2a+1)^2$，方程可化为$(2a+1)^2=0$，符合直接开平方法的形式，可直接开平方求解；
选项C：$a^2 - a + \frac{1}{4}=(a-\frac{1}{2})^2$，方程可化为$(a-\frac{1}{2})^2=0$，符合直接开平方法的形式，可直接开平方求解；
选项D：$a^2 + a + \frac{1}{4}=(a+\frac{1}{2})^2$，方程可化为$(a+\frac{1}{2})^2=0$，符合直接开平方法的形式，可直接开平方求解；
选项A：$4a^2-4a-1$，无法整理为完全平方式的形式，因此不能转化为整式平方等于非负常数的结构，不能用直接开平方法求解。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题核心考查直接开平方法的适用前提，解题关键是熟练识别完全平方式，属于基础题型，掌握完全平方公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断方程能不能用直接开平方法求解，首先明确直接开平方法的适用条件：方程可变形为“某个整式的平方等于非负常数”的形式，即方程左边是完全平方式，右边为非负常数。因此解题思路是：结合完全平方公式，逐个判断各选项中等号左边的二次三项式是否为完全平方式，若不是则对应方程不能用直接开平方法求解。
【解析】
我们先回顾完全平方公式：$(m\pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2$，逐一分析选项：
选项B：$4a^2+4a+1=(2a+1)^2$，方程可化为$(2a+1)^2=0$，符合直接开平方法的形式，可直接开平方求解；
选项C：$a^2 - a + \frac{1}{4}=(a-\frac{1}{2})^2$，方程可化为$(a-\frac{1}{2})^2=0$，符合直接开平方法的形式，可直接开平方求解；
选项D：$a^2 + a + \frac{1}{4}=(a+\frac{1}{2})^2$，方程可化为$(a+\frac{1}{2})^2=0$，符合直接开平方法的形式，可直接开平方求解；
选项A：$4a^2-4a-1$，无法整理为完全平方式的形式，因此不能转化为整式平方等于非负常数的结构，不能用直接开平方法求解。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题核心考查直接开平方法的适用前提，解题关键是熟练识别完全平方式，属于基础题型，掌握完全平方公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
10. (★★)若$(a+b+1)(a+b-1)=15$，则$a+b$的值是 【 】
A.$\pm2$
B.$\pm4$
C.$2$
D.$4$
A.$\pm2$
B.$\pm4$
C.$2$
D.$4$
答案
B
解析
【分析】
观察已知等式的结构，两个因式中均含有$a+b$，且满足“两个数的和乘两个数的差”的形式，符合平方差公式的特征，因此我们可以将$a+b$看作一个整体，先利用平方差公式化简等式，再通过解方程求出$a+b$的值。
【解析】
解：令$x = a + b$，则原等式可转化为：
$(x + 1)(x - 1) = 15$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，展开左边得：
$x^2 - 1 = 15$
移项得：
$x^2 = 16$
直接开平方得：
$x = \pm 4$
即$a + b = \pm 4$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整体代换思想；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查代数运算中的公式运用与思想方法，解题的核心是识别出平方差公式的结构，运用整体思想简化运算，避免分开求解$a$、$b$的冗余步骤，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
观察已知等式的结构，两个因式中均含有$a+b$，且满足“两个数的和乘两个数的差”的形式，符合平方差公式的特征，因此我们可以将$a+b$看作一个整体，先利用平方差公式化简等式，再通过解方程求出$a+b$的值。
【解析】
解：令$x = a + b$，则原等式可转化为：
$(x + 1)(x - 1) = 15$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，展开左边得：
$x^2 - 1 = 15$
移项得：
$x^2 = 16$
直接开平方得：
$x = \pm 4$
即$a + b = \pm 4$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整体代换思想；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查代数运算中的公式运用与思想方法，解题的核心是识别出平方差公式的结构，运用整体思想简化运算，避免分开求解$a$、$b$的冗余步骤，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11. (★★)若 $m+1$ 与 $2m-4$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2=b$ 的两个不相等的根，则此方程的根为.
答案
解：
将方程 $ ax^2 = b $ 变形为 $ x^2 = \frac{b}{a} $，
若方程有两个不相等的实数根，则两根互为相反数，即两根之和为0。
因此可得：
$(m+1)+(2m-4) = 0$
整理得 $ 3m - 3 = 0 $，解得 $ m=1 $。
将 $ m=1 $ 代入两个根的表达式：
$ m+1 = 1+1 = 2 $，$ 2m-4 = 2×1 -4 = -2 $。
故此方程的根为 $ x_1=2, x_2=-2 $。
将方程 $ ax^2 = b $ 变形为 $ x^2 = \frac{b}{a} $，
若方程有两个不相等的实数根，则两根互为相反数，即两根之和为0。
因此可得：
$(m+1)+(2m-4) = 0$
整理得 $ 3m - 3 = 0 $，解得 $ m=1 $。
将 $ m=1 $ 代入两个根的表达式：
$ m+1 = 1+1 = 2 $，$ 2m-4 = 2×1 -4 = -2 $。
故此方程的根为 $ x_1=2, x_2=-2 $。
解析
【分析】
首先观察一元二次方程$ax^2=b$的形式，该方程无一次项，若存在两个不相等的实数根，则两根互为相反数，和为0。我们可利用这一性质，先列出关于m的一元一次方程求解m，再代入根的表达式得到最终的方程根。
【解析】
将方程$ ax^2 = b $变形为$ x^2 = \frac{b}{a} $，若方程有两个不相等的实数根，则两根互为相反数，即两根之和为0。
因此可得：
$(m+1)+(2m-4) = 0$
整理得 $ 3m - 3 = 0 $，解得 $ m=1 $。
将 $ m=1 $ 代入两个根的表达式：
$ m+1 = 1+1 = 2 $，$ 2m-4 = 2×1 -4 = -2 $。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1.一元二次方程根的性质
2.相反数的性质
3.解一元一次方程
【点评】
本题考查特殊形式一元二次方程的根的特征，解题突破口是掌握缺一次项的一元二次方程两根互为相反数的性质，通过建立方程求解参数后即可得到方程的根，属于基础题型，需要熟练掌握这类特殊方程的根的规律。
【难度系数】
0.8
首先观察一元二次方程$ax^2=b$的形式，该方程无一次项，若存在两个不相等的实数根，则两根互为相反数，和为0。我们可利用这一性质，先列出关于m的一元一次方程求解m，再代入根的表达式得到最终的方程根。
【解析】
将方程$ ax^2 = b $变形为$ x^2 = \frac{b}{a} $，若方程有两个不相等的实数根，则两根互为相反数，即两根之和为0。
因此可得：
$(m+1)+(2m-4) = 0$
整理得 $ 3m - 3 = 0 $，解得 $ m=1 $。
将 $ m=1 $ 代入两个根的表达式：
$ m+1 = 1+1 = 2 $，$ 2m-4 = 2×1 -4 = -2 $。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1.一元二次方程根的性质
2.相反数的性质
3.解一元一次方程
【点评】
本题考查特殊形式一元二次方程的根的特征，解题突破口是掌握缺一次项的一元二次方程两根互为相反数的性质，通过建立方程求解参数后即可得到方程的根，属于基础题型，需要熟练掌握这类特殊方程的根的规律。
【难度系数】
0.8
12. (★★)若关于$x$的一元二次方程$(a+\dfrac{1}{2})x^2 - (4a^2 -1)x +1=0$的一次项系数为0，
则$a$的值为________。
则$a$的值为________。
答案
解：
由题意，一次项系数为0，可得：
$-(4a^2 - 1) = 0$
整理得 $4a^2 = 1$，解得 $a = \pm \frac{1}{2}$。
又因为该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即：
$a + \frac{1}{2} ≠ 0$
得 $a ≠ -\frac{1}{2}$。
综上，$a$的值为 $\frac{1}{2}$。
由题意，一次项系数为0，可得：
$-(4a^2 - 1) = 0$
整理得 $4a^2 = 1$，解得 $a = \pm \frac{1}{2}$。
又因为该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即：
$a + \frac{1}{2} ≠ 0$
得 $a ≠ -\frac{1}{2}$。
综上，$a$的值为 $\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解题时要抓住两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0的隐含要求；二是题目明确给出一次项系数为0。我们可以先根据“一次项系数为0”列方程求出a的所有可能取值，再结合二次项系数不为0的限制，排除不符合要求的取值，最终得到正确的a值。
【解析】
解：由题意，方程的一次项系数为0，可得：
$-(4a^2 - 1) = 0$
整理得$4a^2 = 1$，解得 $a = \pm \frac{1}{2}$。
又因为该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即：
$a + \frac{1}{2} ≠ 0$
解得$a ≠ -\frac{1}{2}$。
综上，$a$的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义；方程系数的识别；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础易错题，重点考查一元二次方程的成立条件，常见错误是忽略“二次项系数不为0”的隐含限制，直接得出$a=\pm\frac{1}{2}$的错误结果，做含参数的一元二次方程类题目时，要优先考虑二次项系数不为0的前提条件。
【难度系数】
0.7
解题时要抓住两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0的隐含要求；二是题目明确给出一次项系数为0。我们可以先根据“一次项系数为0”列方程求出a的所有可能取值，再结合二次项系数不为0的限制，排除不符合要求的取值，最终得到正确的a值。
【解析】
解：由题意，方程的一次项系数为0，可得：
$-(4a^2 - 1) = 0$
整理得$4a^2 = 1$，解得 $a = \pm \frac{1}{2}$。
又因为该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即：
$a + \frac{1}{2} ≠ 0$
解得$a ≠ -\frac{1}{2}$。
综上，$a$的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义；方程系数的识别；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础易错题，重点考查一元二次方程的成立条件，常见错误是忽略“二次项系数不为0”的隐含限制，直接得出$a=\pm\frac{1}{2}$的错误结果，做含参数的一元二次方程类题目时，要优先考虑二次项系数不为0的前提条件。
【难度系数】
0.7
13. (★★)已知关于$x$的方程$(x-1)^2 = k^2 + 2$的一个根是$x=3$，则$k$的值为，另一个根是。
答案
$k$的值为$\boldsymbol{\pm\sqrt{2}}$，另一个根是$\boldsymbol{x=-1}$。
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的性质分两步求解：第一步，利用“方程的根代入方程后等式成立”的特点，将已知根x=3代入原方程，得到关于k的方程，求解即可得到k的值；第二步，求另一个根时，既可以将k的值代回原方程，用直接开平方法求解，也可以利用一元二次方程根与系数的关系快速计算，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
1. 求k的值
已知x=3是方程$(x-1)^2 = k^2 + 2$的根，将x=3代入方程可得：
$\begin{aligned}(3-1)^2 &= k^2 + 2 \\4 &= k^2 + 2 \\k^2 &= 2 \\k &= \pm\sqrt{2}\end{aligned}$
2. 求另一个根
将$k^2=2$代回原方程，得：
$(x-1)^2 = 2 + 2 = 4$
对等式两边开平方得：
$x-1 = \pm 2$
当$x-1=2$时，$x=3$（为已知根）；当$x-1=-2$时，$x=-1$，即另一个根为$x=-1$。
（也可通过韦达定理求解：原方程整理为$x^2-2x-(k^2+1)=0$，两根之和为2，已知一个根为3，则另一个根为$2-3=-1$）
【答案】
$\boldsymbol{\pm\sqrt{2}}$；$\boldsymbol{x=-1}$
【知识点】
方程的根的定义；直接开平方法解方程；韦达定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考察一元二次方程的相关概念和解法，解题时注意求k的值时不要遗漏负根，灵活选择求根的方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题可根据一元二次方程根的性质分两步求解：第一步，利用“方程的根代入方程后等式成立”的特点，将已知根x=3代入原方程，得到关于k的方程，求解即可得到k的值；第二步，求另一个根时，既可以将k的值代回原方程，用直接开平方法求解，也可以利用一元二次方程根与系数的关系快速计算，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
1. 求k的值
已知x=3是方程$(x-1)^2 = k^2 + 2$的根，将x=3代入方程可得：
$\begin{aligned}(3-1)^2 &= k^2 + 2 \\4 &= k^2 + 2 \\k^2 &= 2 \\k &= \pm\sqrt{2}\end{aligned}$
2. 求另一个根
将$k^2=2$代回原方程，得：
$(x-1)^2 = 2 + 2 = 4$
对等式两边开平方得：
$x-1 = \pm 2$
当$x-1=2$时，$x=3$（为已知根）；当$x-1=-2$时，$x=-1$，即另一个根为$x=-1$。
（也可通过韦达定理求解：原方程整理为$x^2-2x-(k^2+1)=0$，两根之和为2，已知一个根为3，则另一个根为$2-3=-1$）
【答案】
$\boldsymbol{\pm\sqrt{2}}$；$\boldsymbol{x=-1}$
【知识点】
方程的根的定义；直接开平方法解方程；韦达定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考察一元二次方程的相关概念和解法，解题时注意求k的值时不要遗漏负根，灵活选择求根的方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.7
14. (★★)解下列方程：
(1) $25x^2 -10x +1=9$；
(2) $x^2 -x +\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$；
(3) $4(x-2)^2 -36=0$；
(4) $4(3x-1)^2 -9(3x+1)^2=0$。
(1) $25x^2 -10x +1=9$；
(2) $x^2 -x +\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$；
(3) $4(x-2)^2 -36=0$；
(4) $4(3x-1)^2 -9(3x+1)^2=0$。
答案
解：
(1) 原方程可变形为：
$(5x-1)^2 = 9$
直接开平方，得：
$5x-1 = \pm 3$
当$5x-1=3$时，解得$x_1=\frac{4}{5}$；
当$5x-1=-3$时，解得$x_2=-\frac{2}{5}$。
(2) 原方程可变形为：
$(x-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2}$
∵ 任何实数的平方都不可能为负数，
∴ 原方程无实数根。
(3) 移项，得：
$4(x-2)^2 = 36$
两边同时除以4，得：
$(x-2)^2 = 9$
直接开平方，得：
$x-2 = \pm 3$
当$x-2=3$时，解得$x_1=5$；
当$x-2=-3$时，解得$x_2=-1$。
(4) 移项，得：
$[2(3x-1)]^2 = [3(3x+1)]^2$
直接开平方，得：
$2(3x-1) = \pm 3(3x+1)$
当$2(3x-1)=3(3x+1)$时，展开得$6x-2=9x+3$，解得$x_1=-\frac{5}{3}$；
当$2(3x-1)=-3(3x+1)$时，展开得$6x-2=-9x-3$，解得$x_2=-\frac{1}{15}$。
(1) 原方程可变形为：
$(5x-1)^2 = 9$
直接开平方，得：
$5x-1 = \pm 3$
当$5x-1=3$时，解得$x_1=\frac{4}{5}$；
当$5x-1=-3$时，解得$x_2=-\frac{2}{5}$。
(2) 原方程可变形为：
$(x-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2}$
∵ 任何实数的平方都不可能为负数，
∴ 原方程无实数根。
(3) 移项，得：
$4(x-2)^2 = 36$
两边同时除以4，得：
$(x-2)^2 = 9$
直接开平方，得：
$x-2 = \pm 3$
当$x-2=3$时，解得$x_1=5$；
当$x-2=-3$时，解得$x_2=-1$。
(4) 移项，得：
$[2(3x-1)]^2 = [3(3x+1)]^2$
直接开平方，得：
$2(3x-1) = \pm 3(3x+1)$
当$2(3x-1)=3(3x+1)$时，展开得$6x-2=9x+3$，解得$x_1=-\frac{5}{3}$；
当$2(3x-1)=-3(3x+1)$时，展开得$6x-2=-9x-3$，解得$x_2=-\frac{1}{15}$。
解析
【分析】
这四道一元二次方程均适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程结构，将方程变形为“(含未知数的一次式)²=常数”的形式；若右侧常数为非负数，直接开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根；若右侧常数为负数，根据实数的平方具有非负性，可直接判定方程无实数根。第(4)题为两个平方式相等的结构，可直接开平方转化为一次方程求解，注意开平方后要分正负两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$(5x-1)^2 = 9$
直接开平方，得：
$5x-1 = \pm 3$
当$5x-1=3$时，解得$x_1=\frac{4}{5}$；
当$5x-1=-3$时，解得$x_2=-\frac{2}{5}$。
(2) 原方程可变形为：
$(x-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2}$
∵ 任何实数的平方都不可能为负数，
∴ 原方程无实数根。
(3) 移项，得：
$4(x-2)^2 = 36$
两边同时除以4，得：
$(x-2)^2 = 9$
直接开平方，得：
$x-2 = \pm 3$
当$x-2=3$时，解得$x_1=5$；
当$x-2=-3$时，解得$x_2=-1$。
(4) 移项，得：
$[2(3x-1)]^2 = [3(3x+1)]^2$
直接开平方，得：
$2(3x-1) = \pm 3(3x+1)$
当$2(3x-1)=3(3x+1)$时，展开得$6x-2=9x+3$，解得$x_1=-\frac{5}{3}$；
当$2(3x-1)=-3(3x+1)$时，展开得$6x-2=-9x-3$，解得$x_2=-\frac{1}{15}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{2}{5}$
(2) 无实数根
(3) $x_1=5,x_2=-1$
(4) $x_1=-\frac{5}{3},x_2=-\frac{1}{15}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，需要熟练识别完全平方式，掌握开平方后的分类讨论逻辑，同时牢记实数范围内平方数的非负性，减少不必要的计算。
【难度系数】
0.7
这四道一元二次方程均适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程结构，将方程变形为“(含未知数的一次式)²=常数”的形式；若右侧常数为非负数，直接开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根；若右侧常数为负数，根据实数的平方具有非负性，可直接判定方程无实数根。第(4)题为两个平方式相等的结构，可直接开平方转化为一次方程求解，注意开平方后要分正负两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$(5x-1)^2 = 9$
直接开平方，得：
$5x-1 = \pm 3$
当$5x-1=3$时，解得$x_1=\frac{4}{5}$；
当$5x-1=-3$时，解得$x_2=-\frac{2}{5}$。
(2) 原方程可变形为：
$(x-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2}$
∵ 任何实数的平方都不可能为负数，
∴ 原方程无实数根。
(3) 移项，得：
$4(x-2)^2 = 36$
两边同时除以4，得：
$(x-2)^2 = 9$
直接开平方，得：
$x-2 = \pm 3$
当$x-2=3$时，解得$x_1=5$；
当$x-2=-3$时，解得$x_2=-1$。
(4) 移项，得：
$[2(3x-1)]^2 = [3(3x+1)]^2$
直接开平方，得：
$2(3x-1) = \pm 3(3x+1)$
当$2(3x-1)=3(3x+1)$时，展开得$6x-2=9x+3$，解得$x_1=-\frac{5}{3}$；
当$2(3x-1)=-3(3x+1)$时，展开得$6x-2=-9x-3$，解得$x_2=-\frac{1}{15}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{2}{5}$
(2) 无实数根
(3) $x_1=5,x_2=-1$
(4) $x_1=-\frac{5}{3},x_2=-\frac{1}{15}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，需要熟练识别完全平方式，掌握开平方后的分类讨论逻辑，同时牢记实数范围内平方数的非负性，减少不必要的计算。
【难度系数】
0.7
15. (★★★)已知关于x的一元二次方程$m(x-h)^2 - k = 0$（$m,h,k$均为常数且$m≠0$）的解是$x_1=3, x_2=6$，则关于y的一元二次方程$m(y-h-1)^2 = k$的解是
【 】
A.$y_1=-3, y_2=-6$
B.$y_1=-4, y_2=-7$
C.$y_1=4, y_2=7$
D.$y_1=3, y_2=6$
【 】
A.$y_1=-3, y_2=-6$
B.$y_1=-4, y_2=-7$
C.$y_1=4, y_2=7$
D.$y_1=3, y_2=6$
答案
C
解析
【分析】
本题可利用整体代换的思路求解：先观察两个方程的结构特征，发现待求方程与已知方程形式高度一致，仅将已知方程中的x替换为了(y-1)。结合一元二次方程解的定义，可知(y-1)的取值就等于已知方程的两个解，据此即可求出y的值，无需展开方程进行复杂计算。
【解析】
首先整理已知方程：$m(x-h)^2 - k = 0$可变形为$m(x-h)^2 = k$，已知该方程的解为$x_1=3$，$x_2=6$。
再整理待求的关于y的方程：$m(y-h-1)^2 = k$，可改写为$m[(y-1)-h]^2 = k$。
对比两个方程的结构，令$z = y-1$，则待求方程变为$m(z-h)^2 = k$，该方程与已知方程完全相同，因此它的解为$z_1=3$，$z_2=6$。
将$z = y-1$代入求解y：
当$z=3$时，$y-1=3$，解得$y_1=4$；
当$z=6$时，$y-1=6$，解得$y_2=7$。
【答案】
C
【知识点】
换元法解一元二次方程；一元二次方程的解
【点评】
本题重点考查整体代换的数学思想，通过观察方程结构进行换元可大幅简化运算，易错点为换元时容易混淆变量的对应关系，需注意方程结构的匹配。
【难度系数】
0.7
本题可利用整体代换的思路求解：先观察两个方程的结构特征，发现待求方程与已知方程形式高度一致，仅将已知方程中的x替换为了(y-1)。结合一元二次方程解的定义，可知(y-1)的取值就等于已知方程的两个解，据此即可求出y的值，无需展开方程进行复杂计算。
【解析】
首先整理已知方程：$m(x-h)^2 - k = 0$可变形为$m(x-h)^2 = k$，已知该方程的解为$x_1=3$，$x_2=6$。
再整理待求的关于y的方程：$m(y-h-1)^2 = k$，可改写为$m[(y-1)-h]^2 = k$。
对比两个方程的结构，令$z = y-1$，则待求方程变为$m(z-h)^2 = k$，该方程与已知方程完全相同，因此它的解为$z_1=3$，$z_2=6$。
将$z = y-1$代入求解y：
当$z=3$时，$y-1=3$，解得$y_1=4$；
当$z=6$时，$y-1=6$，解得$y_2=7$。
【答案】
C
【知识点】
换元法解一元二次方程；一元二次方程的解
【点评】
本题重点考查整体代换的数学思想，通过观察方程结构进行换元可大幅简化运算，易错点为换元时容易混淆变量的对应关系，需注意方程结构的匹配。
【难度系数】
0.7
