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7. 如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18 m的篱笆围成，墙长$DE=8\ \mathrm{m}$，$DF=12\ \mathrm{m}$，则花园最大面积为（
A.$72\ \mathrm{m}^2$
B.$80\ \mathrm{m}^2$
C.$81\ \mathrm{m}^2$
D.$96\ \mathrm{m}^2$
B
）A.$72\ \mathrm{m}^2$
B.$80\ \mathrm{m}^2$
C.$81\ \mathrm{m}^2$
D.$96\ \mathrm{m}^2$
答案
7. B
解析
【分析】
这是一道二次函数解决实际最值的问题，解题思路如下：①先设其中一段篱笆长度为自变量，结合篱笆总长表示出另一段篱笆的长度；②结合两面墙的长度，确定自变量的取值范围，这是本题的易错点，不能忽略实际场景的限制；③写出面积关于自变量的二次函数表达式，再结合二次函数的增减性和自变量的取值范围，求出最大面积。
【解析】
设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，则BC的长度为$(18-x)\ \mathrm{m}$，设花园面积为$S\ \mathrm{m^2}$。
根据墙长限制可得：
1. AB是水平边，长度不超过水平墙DF的长度，即$x≤12$；
2. BC的长度等于竖直边AD的长度，不超过竖直墙DE的长度，即$18-x≤8$，解得$x≥10$。
因此自变量$x$的取值范围为$10≤ x≤12$。
矩形面积公式：
$S=AB· BC=x(18-x)=-x^2+18x$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{18}{2×(-1)}=9$。
开口向下的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，$10≤ x≤12$在对称轴右侧，因此当$x$取最小值10时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=10×(18-10)=80\ \mathrm{m^2}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，自变量取值范围确定
【点评】
本题易错点是忽略墙长对边长的限制，直接计算二次函数顶点处的面积得到错误结果，解题时一定要结合实际场景确定自变量的取值范围，再结合函数增减性求最值。
【难度系数】
0.65
这是一道二次函数解决实际最值的问题，解题思路如下：①先设其中一段篱笆长度为自变量，结合篱笆总长表示出另一段篱笆的长度；②结合两面墙的长度，确定自变量的取值范围，这是本题的易错点，不能忽略实际场景的限制；③写出面积关于自变量的二次函数表达式，再结合二次函数的增减性和自变量的取值范围，求出最大面积。
【解析】
设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，则BC的长度为$(18-x)\ \mathrm{m}$，设花园面积为$S\ \mathrm{m^2}$。
根据墙长限制可得：
1. AB是水平边，长度不超过水平墙DF的长度，即$x≤12$；
2. BC的长度等于竖直边AD的长度，不超过竖直墙DE的长度，即$18-x≤8$，解得$x≥10$。
因此自变量$x$的取值范围为$10≤ x≤12$。
矩形面积公式：
$S=AB· BC=x(18-x)=-x^2+18x$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{18}{2×(-1)}=9$。
开口向下的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，$10≤ x≤12$在对称轴右侧，因此当$x$取最小值10时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=10×(18-10)=80\ \mathrm{m^2}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，自变量取值范围确定
【点评】
本题易错点是忽略墙长对边长的限制，直接计算二次函数顶点处的面积得到错误结果，解题时一定要结合实际场景确定自变量的取值范围，再结合函数增减性求最值。
【难度系数】
0.65
8.某抛物线形的拱桥如图所示,已知该抛物线的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{25}x^2+10$,为了给行人提供安全保障,在该拱桥上距水面AB高为6米的点E,F处悬挂了两个救生圈,则这两个救生圈间的水平距离EF为
10
米。答案
8. 10
解析
【分析】
首先明确水面AB在x轴上，因此距水面的高度对应点的纵坐标值，救生圈高度为6米，即点E、F的纵坐标为6。解题时先将y=6代入抛物线解析式，解出自变量x的两个值，两个x值的差的绝对值就是E、F的水平距离，也可利用抛物线关于y轴对称的性质，算出正的x值后乘以2得到距离。
【解析】
解：由题意可知，水面AB为x轴，距水面高6米处的点纵坐标为y=6。
将y=6代入抛物线表达式$y=-\dfrac{4}{25}x^2+10$，得：
$6=-\dfrac{4}{25}x^2+10$
移项整理得：
$\dfrac{4}{25}x^2=4$
两边同时除以4得：
$\dfrac{1}{25}x^2=1$
解得：$x_1=5$，$x_2=-5$
即点E的横坐标为-5，点F的横坐标为5，
因此水平距离$EF=5-(-5)=10$（米）。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的应用；二次函数图象的对称性；求函数自变量的值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是将实际问题中的高度对应到函数的纵坐标，通过代入解析式求解自变量即可得到结果，利用抛物线的对称性能简化计算过程。
【难度系数】
0.8
首先明确水面AB在x轴上，因此距水面的高度对应点的纵坐标值，救生圈高度为6米，即点E、F的纵坐标为6。解题时先将y=6代入抛物线解析式，解出自变量x的两个值，两个x值的差的绝对值就是E、F的水平距离，也可利用抛物线关于y轴对称的性质，算出正的x值后乘以2得到距离。
【解析】
解：由题意可知，水面AB为x轴，距水面高6米处的点纵坐标为y=6。
将y=6代入抛物线表达式$y=-\dfrac{4}{25}x^2+10$，得：
$6=-\dfrac{4}{25}x^2+10$
移项整理得：
$\dfrac{4}{25}x^2=4$
两边同时除以4得：
$\dfrac{1}{25}x^2=1$
解得：$x_1=5$，$x_2=-5$
即点E的横坐标为-5，点F的横坐标为5，
因此水平距离$EF=5-(-5)=10$（米）。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的应用；二次函数图象的对称性；求函数自变量的值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是将实际问题中的高度对应到函数的纵坐标，通过代入解析式求解自变量即可得到结果，利用抛物线的对称性能简化计算过程。
【难度系数】
0.8
9.用长8 m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是
$\dfrac{8}{3}$
m²。答案
9. $\dfrac{8}{3}$
解析
【分析】
本题是利用二次函数解决实际最值的题型，解题思路为：首先观察窗框结构，明确共有3条水平边、2条竖直边，总长度为8m；接下来设其中一类边长为未知数，用总长度表示出另一类边长；再根据矩形面积公式写出面积关于未知数的二次函数关系式；最后利用二次函数的最值性质计算最大面积即可。
【解析】
设窗框水平方向的边长为$ x \, \mathrm{m} $，
由铝合金总长度为8m，且共有3条水平边、2条竖直边，可得竖直方向的边长为$ \frac{8 - 3x}{2} \, \mathrm{m} $。
设窗户透光面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S &= x · \frac{8 - 3x}{2} \\&= -\frac{3}{2}x^2 + 4x\end{aligned}$
该二次函数中$ a=-\frac{3}{2}＜0 $，因此$ S $存在最大值。
根据二次函数顶点公式，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{4}{3} $时，$ S $取得最大值，
将$ x=\frac{4}{3} $代入函数得：
$S_{\mathrm{max}} = -\frac{3}{2}×(\frac{4}{3})^2 + 4×\frac{4}{3} = \frac{8}{3}$
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
二次函数的最值，列二次函数关系式，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数的实际应用经典题型，解题核心是准确梳理几何图形的边长关系，正确建立面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是利用二次函数解决实际最值的题型，解题思路为：首先观察窗框结构，明确共有3条水平边、2条竖直边，总长度为8m；接下来设其中一类边长为未知数，用总长度表示出另一类边长；再根据矩形面积公式写出面积关于未知数的二次函数关系式；最后利用二次函数的最值性质计算最大面积即可。
【解析】
设窗框水平方向的边长为$ x \, \mathrm{m} $，
由铝合金总长度为8m，且共有3条水平边、2条竖直边，可得竖直方向的边长为$ \frac{8 - 3x}{2} \, \mathrm{m} $。
设窗户透光面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S &= x · \frac{8 - 3x}{2} \\&= -\frac{3}{2}x^2 + 4x\end{aligned}$
该二次函数中$ a=-\frac{3}{2}＜0 $，因此$ S $存在最大值。
根据二次函数顶点公式，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{4}{3} $时，$ S $取得最大值，
将$ x=\frac{4}{3} $代入函数得：
$S_{\mathrm{max}} = -\frac{3}{2}×(\frac{4}{3})^2 + 4×\frac{4}{3} = \frac{8}{3}$
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
二次函数的最值，列二次函数关系式，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数的实际应用经典题型，解题核心是准确梳理几何图形的边长关系，正确建立面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
10.炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下，其运动形成的轨迹是抛物线，高度$h$（单位：米）与时间$t$（单位：秒）满足二次函数表达式：$h=at^2+bt+c(a≠0)$，具体数据如表：
(1)结合表中所给的数据可知，
①炮弹飞行的最高高度为
②炮弹飞行
(2)当炮弹飞行高度为12米时，求炮弹的飞行时间。
(1)结合表中所给的数据可知，
①炮弹飞行的最高高度为
47
米；②炮弹飞行
6
秒后，回落到2米高度。(2)当炮弹飞行高度为12米时，求炮弹的飞行时间。
答案
10. (1)①47 ②6
(2)当$h=12$时，$-5t^2+30t+2=12$，解得$t_1=3+\sqrt{7}$，$t_2=3-\sqrt{7}$，
∴当炮弹飞行高度为12米时，炮弹的飞行时间为$t_1=3+\sqrt{7}$秒或$t_2=3-\sqrt{7}$秒
(2)当$h=12$时，$-5t^2+30t+2=12$，解得$t_1=3+\sqrt{7}$，$t_2=3-\sqrt{7}$，
∴当炮弹飞行高度为12米时，炮弹的飞行时间为$t_1=3+\sqrt{7}$秒或$t_2=3-\sqrt{7}$秒
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用二次函数的对称性分析表格数据：①观察到t=1和t=5时高度h相同，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，可先求出对称轴，炮弹运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点处即为最高高度；②回落至2米高度时，该点和t=0时h=2的点关于对称轴对称，利用对称性可直接求出对应时间。第二问先通过已知点求出二次函数的解析式，再将h=12代入解析式，解一元二次方程即可得到对应的飞行时间。
【解析】
(1) ① 由表格可知，t=1和t=5时，h均为27，因此该二次函数的对称轴为直线$t=\frac{1+5}{2}=3$。
炮弹运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点为最高点，表格中t=3时h=47，因此炮弹飞行的最高高度为47米。
② t=0时h=2，该点关于对称轴$t=3$对称的点的横坐标为$3×2 -0=6$，因此炮弹飞行6秒后，回落到2米高度。
(2) 先求二次函数解析式：
当t=0时，h=2，代入$h=at^2+bt+c$得$c=2$。
由对称轴$t=-\frac{b}{2a}=3$，可得$b=-6a$。
将$(1,27)$代入$h=at^2+bt+2$，得$a + b + 2 = 27$，
将$b=-6a$代入上式：$a -6a =25$，解得$a=-5$，则$b=30$。
因此二次函数解析式为$h=-5t^2+30t+2$。
当$h=12$时，代入解析式得：
$-5t^2+30t+2=12$
整理得$t^2 -6t +2=0$
解得$t_1=3+\sqrt{7}$，$t_2=3-\sqrt{7}$。
【答案】
(1)①47；②6
(2)炮弹的飞行时间为$3+\sqrt{7}$秒或$3-\sqrt{7}$秒
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合炮弹飞行的实际场景考查二次函数的相关知识，解题的核心是利用二次函数的对称性快速确定对称轴，减少计算量，再结合函数解析式求解对应问题，需要注意结合实际场景判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先利用二次函数的对称性分析表格数据：①观察到t=1和t=5时高度h相同，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，可先求出对称轴，炮弹运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点处即为最高高度；②回落至2米高度时，该点和t=0时h=2的点关于对称轴对称，利用对称性可直接求出对应时间。第二问先通过已知点求出二次函数的解析式，再将h=12代入解析式，解一元二次方程即可得到对应的飞行时间。
【解析】
(1) ① 由表格可知，t=1和t=5时，h均为27，因此该二次函数的对称轴为直线$t=\frac{1+5}{2}=3$。
炮弹运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点为最高点，表格中t=3时h=47，因此炮弹飞行的最高高度为47米。
② t=0时h=2，该点关于对称轴$t=3$对称的点的横坐标为$3×2 -0=6$，因此炮弹飞行6秒后，回落到2米高度。
(2) 先求二次函数解析式：
当t=0时，h=2，代入$h=at^2+bt+c$得$c=2$。
由对称轴$t=-\frac{b}{2a}=3$，可得$b=-6a$。
将$(1,27)$代入$h=at^2+bt+2$，得$a + b + 2 = 27$，
将$b=-6a$代入上式：$a -6a =25$，解得$a=-5$，则$b=30$。
因此二次函数解析式为$h=-5t^2+30t+2$。
当$h=12$时，代入解析式得：
$-5t^2+30t+2=12$
整理得$t^2 -6t +2=0$
解得$t_1=3+\sqrt{7}$，$t_2=3-\sqrt{7}$。
【答案】
(1)①47；②6
(2)炮弹的飞行时间为$3+\sqrt{7}$秒或$3-\sqrt{7}$秒
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合炮弹飞行的实际场景考查二次函数的相关知识，解题的核心是利用二次函数的对称性快速确定对称轴，减少计算量，再结合函数解析式求解对应问题，需要注意结合实际场景判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
11.图1是一款优雅且稳定的抛物线形落地灯,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D离地1.86 m,灯柱AB及支架的相关数据如图2所示。若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为
2.7
m。答案
11. 2.7
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先建立合适的平面直角坐标系，将题目中的长度数据转化为对应点的坐标；②已知抛物线的顶点坐标，因此设顶点式来求抛物线的解析式，将已知点B代入即可求出解析式；③灯罩D离地高度就是D点的纵坐标，将其代入解析式求出对应的横坐标，该横坐标就是茶几到灯柱的距离AE的长度。
【解析】
以点A为原点，直线AE为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线的顶点C的坐标为$(1.5,2.5)$，点B的坐标为$(0,1.5)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1.5)^2+2.5$，将$B(0,1.5)$代入解析式：
$1.5=a(0-1.5)^2+2.5$
解得$a=-\frac{4}{9}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{4}{9}(x-1.5)^2+2.5$。
已知灯罩D离地1.86 m，即D点纵坐标$y=1.86$，代入解析式：
$1.86=-\frac{4}{9}(x-1.5)^2+2.5$
整理得：$\frac{4}{9}(x-1.5)^2=2.5-1.86=0.64$
解得$(x-1.5)^2=1.44$，即$x-1.5=\pm1.2$
因为点D在抛物线右侧，$x＞1.5$，因此取$x-1.5=1.2$，得$x=2.7$。
因为E在D的正下方，所以E点横坐标为2.7，即$AE=2.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
2.7
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关应用，核心是通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.65
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先建立合适的平面直角坐标系，将题目中的长度数据转化为对应点的坐标；②已知抛物线的顶点坐标，因此设顶点式来求抛物线的解析式，将已知点B代入即可求出解析式；③灯罩D离地高度就是D点的纵坐标，将其代入解析式求出对应的横坐标，该横坐标就是茶几到灯柱的距离AE的长度。
【解析】
以点A为原点，直线AE为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线的顶点C的坐标为$(1.5,2.5)$，点B的坐标为$(0,1.5)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1.5)^2+2.5$，将$B(0,1.5)$代入解析式：
$1.5=a(0-1.5)^2+2.5$
解得$a=-\frac{4}{9}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{4}{9}(x-1.5)^2+2.5$。
已知灯罩D离地1.86 m，即D点纵坐标$y=1.86$，代入解析式：
$1.86=-\frac{4}{9}(x-1.5)^2+2.5$
整理得：$\frac{4}{9}(x-1.5)^2=2.5-1.86=0.64$
解得$(x-1.5)^2=1.44$，即$x-1.5=\pm1.2$
因为点D在抛物线右侧，$x＞1.5$，因此取$x-1.5=1.2$，得$x=2.7$。
因为E在D的正下方，所以E点横坐标为2.7，即$AE=2.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
2.7
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关应用，核心是通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.65
