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12.【问题情境】
小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师。他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼(图1)。请你帮他一起设计，解决相关问题。
【建立模型】
整座建筑分为上、下两部分，上部是一条抛物线的造型$ l_1 $，其最高点A到水平地面的距离为6.8 m，左右两端B，C两点到水平地面的距离均为1.8 m，且两点相距20 m。如图2，以水平地面所在直线为x轴，垂直于水平地面且经过左端B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
(1)求建筑上部抛物线造型$ l_1 $对应的函数表达式。
【问题解决】
(2)将建筑上部的抛物线造型$ l_1 $沿直线BC折叠得到一条新的抛物线$ l_2 $，其与水平地面交于D，E两点(点D在点E的左侧)。抛物线$ l_2 $在水平地面之上的部分与线段DE共同组成了建筑的下部。
①求线段DE的长；
②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN，GH(MN在GH的左侧)，其中点M，G在建筑的上部，点N，H在建筑的下部。小明只记得两根装饰杆的高度均为1.9 m，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点N，H的坐标。
小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师。他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼(图1)。请你帮他一起设计，解决相关问题。
【建立模型】
整座建筑分为上、下两部分，上部是一条抛物线的造型$ l_1 $，其最高点A到水平地面的距离为6.8 m，左右两端B，C两点到水平地面的距离均为1.8 m，且两点相距20 m。如图2，以水平地面所在直线为x轴，垂直于水平地面且经过左端B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
(1)求建筑上部抛物线造型$ l_1 $对应的函数表达式。
【问题解决】
(2)将建筑上部的抛物线造型$ l_1 $沿直线BC折叠得到一条新的抛物线$ l_2 $，其与水平地面交于D，E两点(点D在点E的左侧)。抛物线$ l_2 $在水平地面之上的部分与线段DE共同组成了建筑的下部。
①求线段DE的长；
②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN，GH(MN在GH的左侧)，其中点M，G在建筑的上部，点N，H在建筑的下部。小明只记得两根装饰杆的高度均为1.9 m，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点N，H的坐标。
答案
12. (1)$y=-0.05(x-10)^2+6.8=-0.05x^2+x+1.8(0≤x≤20)$
(2)①根据题意得:抛物线$l_2$的顶点坐标为$(10,-3.2)$,设抛物线$l_2$的解析式为:$y=a'(x-10)^2-3.2$,把$B(0,1.8)$代入,得$a'=0.05$,
∴抛物线$l_2$的解析式为:$y=0.05(x-10)^2-3.2=0.05x^2-x+1.8$,把$y=0$代入,得$0.05x^2-x+1.8=0$,解得$x_1=2$,$x_2=18$。
∵点D在点E的左侧,
∴$D(2,0)$,$E(18,0)$,
∴$DE=18-2=16(\mathrm{m})$
②增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN,GH(MN在GH的左侧),其中点M,G在建筑的上部,点N,H在建筑的下部。把$x=2$代入$y=-0.05x^2+x+1.8$,得$y=3.6$。
∵$3.6＞1.9$,
∴圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边,点E的右侧,
∴$-0.05x^2+x+1.8-(0.05x^2-x+1.8)=1.9$,解得$x_1=1$,$x_2=19$,把$x=1$代入$y=0.05x^2-x+1.8$,得$y=0.85$,把$x=19$代入$y=0.05x^2-x+1.8$,得$y=0.85$,
∴$N(1,0.85)$,$H(19,0.85)$
(2)①根据题意得:抛物线$l_2$的顶点坐标为$(10,-3.2)$,设抛物线$l_2$的解析式为:$y=a'(x-10)^2-3.2$,把$B(0,1.8)$代入,得$a'=0.05$,
∴抛物线$l_2$的解析式为:$y=0.05(x-10)^2-3.2=0.05x^2-x+1.8$,把$y=0$代入,得$0.05x^2-x+1.8=0$,解得$x_1=2$,$x_2=18$。
∵点D在点E的左侧,
∴$D(2,0)$,$E(18,0)$,
∴$DE=18-2=16(\mathrm{m})$
②增设两根竖直的圆柱形装饰杆MN,GH(MN在GH的左侧),其中点M,G在建筑的上部,点N,H在建筑的下部。把$x=2$代入$y=-0.05x^2+x+1.8$,得$y=3.6$。
∵$3.6＞1.9$,
∴圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边,点E的右侧,
∴$-0.05x^2+x+1.8-(0.05x^2-x+1.8)=1.9$,解得$x_1=1$,$x_2=19$,把$x=1$代入$y=0.05x^2-x+1.8$,得$y=0.85$,把$x=19$代入$y=0.05x^2-x+1.8$,得$y=0.85$,
∴$N(1,0.85)$,$H(19,0.85)$
解析
【分析】
(1) 求抛物线$l_1$的表达式时，先根据题意确定各关键点坐标：B(0,1.8)、C(20,1.8)，最高点A是$l_1$的顶点，坐标为(10,6.8)，因此设顶点式求解即可。
(2) ① 抛物线沿BC折叠时，顶点关于直线BC（y=1.8）对称，开口方向相反、开口大小不变，先求出$l_2$的顶点坐标，再代入已知点求$l_2$的解析式，令y=0解一元二次方程得到D、E的横坐标，差值即为DE的长度。
② 竖直装饰杆高度为1.9m，说明同一横坐标下，$l_1$的函数值减去$l_2$的函数值等于1.9，据此列方程求解横坐标，再代入$l_2$解析式得到对应纵坐标，结合位置条件即可确定N、H的坐标。
【解析】
(1) 由题意得$l_1$的顶点A坐标为(10,6.8)，设$l_1$的解析式为$y=a(x-10)^2+6.8$，将B(0,1.8)代入得：
$1.8=a(0-10)^2+6.8$，解得$a=-0.05$
∴$l_1$的函数表达式为$y=-0.05(x-10)^2+6.8$，整理得$y=-0.05x^2+x+1.8(0≤x≤20)$。
(2) ① 折叠后$l_2$的顶点为$l_1$顶点关于y=1.8的对称点，坐标为(10,-3.2)，设$l_2$的解析式为$y=a'(x-10)^2-3.2$，将B(0,1.8)代入得：
$1.8=a'(0-10)^2-3.2$，解得$a'=0.05$
∴$l_2$的解析式为$y=0.05(x-10)^2-3.2=0.05x^2-x+1.8$。
令$y=0$，得$0.05x^2-x+1.8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=18$。
∵D在E左侧，
∴D(2,0)，E(18,0)，
∴$DE=18-2=16(\mathrm{m})$。
② 竖直杆高度为1.9m，即同一x对应的$l_1$、$l_2$的函数值差为1.9，列方程：
$(-0.05x^2+x+1.8)-(0.05x^2-x+1.8)=1.9$
化简得$x^2-20x+19=0$，解得$x_1=1$，$x_2=19$。
将x=1、x=19分别代入$l_2$解析式，均得$y=0.85$，结合MN在GH左侧，得N(1,0.85)，H(19,0.85)。
【答案】
(1) $y=-0.05x^2+x+1.8(0≤x≤20)$（或$y=-0.05(x-10)^2+6.8(0≤x≤20)$）
(2) ① $\boldsymbol{16\,\mathrm{m}}$；② $\boldsymbol{N(1,0.85)}$，$\boldsymbol{H(19,0.85)}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的对称变换；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合建筑设计的生活场景考查二次函数的综合应用，解题时需要准确理解折叠的几何性质，将实际的高度差转化为函数值的差，侧重对数形结合思想、方程思想的考查，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线$l_1$的表达式时，先根据题意确定各关键点坐标：B(0,1.8)、C(20,1.8)，最高点A是$l_1$的顶点，坐标为(10,6.8)，因此设顶点式求解即可。
(2) ① 抛物线沿BC折叠时，顶点关于直线BC（y=1.8）对称，开口方向相反、开口大小不变，先求出$l_2$的顶点坐标，再代入已知点求$l_2$的解析式，令y=0解一元二次方程得到D、E的横坐标，差值即为DE的长度。
② 竖直装饰杆高度为1.9m，说明同一横坐标下，$l_1$的函数值减去$l_2$的函数值等于1.9，据此列方程求解横坐标，再代入$l_2$解析式得到对应纵坐标，结合位置条件即可确定N、H的坐标。
【解析】
(1) 由题意得$l_1$的顶点A坐标为(10,6.8)，设$l_1$的解析式为$y=a(x-10)^2+6.8$，将B(0,1.8)代入得：
$1.8=a(0-10)^2+6.8$，解得$a=-0.05$
∴$l_1$的函数表达式为$y=-0.05(x-10)^2+6.8$，整理得$y=-0.05x^2+x+1.8(0≤x≤20)$。
(2) ① 折叠后$l_2$的顶点为$l_1$顶点关于y=1.8的对称点，坐标为(10,-3.2)，设$l_2$的解析式为$y=a'(x-10)^2-3.2$，将B(0,1.8)代入得：
$1.8=a'(0-10)^2-3.2$，解得$a'=0.05$
∴$l_2$的解析式为$y=0.05(x-10)^2-3.2=0.05x^2-x+1.8$。
令$y=0$，得$0.05x^2-x+1.8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=18$。
∵D在E左侧，
∴D(2,0)，E(18,0)，
∴$DE=18-2=16(\mathrm{m})$。
② 竖直杆高度为1.9m，即同一x对应的$l_1$、$l_2$的函数值差为1.9，列方程：
$(-0.05x^2+x+1.8)-(0.05x^2-x+1.8)=1.9$
化简得$x^2-20x+19=0$，解得$x_1=1$，$x_2=19$。
将x=1、x=19分别代入$l_2$解析式，均得$y=0.85$，结合MN在GH左侧，得N(1,0.85)，H(19,0.85)。
【答案】
(1) $y=-0.05x^2+x+1.8(0≤x≤20)$（或$y=-0.05(x-10)^2+6.8(0≤x≤20)$）
(2) ① $\boldsymbol{16\,\mathrm{m}}$；② $\boldsymbol{N(1,0.85)}$，$\boldsymbol{H(19,0.85)}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的对称变换；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合建筑设计的生活场景考查二次函数的综合应用，解题时需要准确理解折叠的几何性质，将实际的高度差转化为函数值的差，侧重对数形结合思想、方程思想的考查，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
