登录
1. (★)分式$\frac{4}{a^2 - 1}, \frac{2}{a^2 + a}$的最简公分母是。
答案
解：
对两个分式的分母分别因式分解：
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
$a^2 + a = a(a+1)$
取各分母所有不同因式的最高次幂相乘，得到最简公分母为$a(a+1)(a-1)$（或$a^3 - a$）。
对两个分式的分母分别因式分解：
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
$a^2 + a = a(a+1)$
取各分母所有不同因式的最高次幂相乘，得到最简公分母为$a(a+1)(a-1)$（或$a^3 - a$）。
2. (★)在解方程$\frac{4x-2}{3}+\frac{5x+2}{4}=3$时，可以去分母，可以把方程两边同时乘________，依据是________。
答案
解：
12
等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
12
等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
3. (★)下列各式是分式方程的是【 】
A.$\frac{16x}{25}=\frac{1}{π}$
B.$\frac{2}{x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{x+y}{4}-\frac{1}{9}=0$
D.$\frac{2}{x}+\frac{2x}{3}$
A.$\frac{16x}{25}=\frac{1}{π}$
B.$\frac{2}{x}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{x+y}{4}-\frac{1}{9}=0$
D.$\frac{2}{x}+\frac{2x}{3}$
答案
B
解析
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的等式叫做分式方程，逐一判断选项：
1. 选项A：分母为25和π，π是常数，分母不含未知数，是整式方程，不符合要求；
2. 选项B：分母含有未知数x，且是等式，符合分式方程的定义；
3. 选项C：分母为4和9，均为常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
4. 选项D：不是等式，不属于方程，不符合要求。
综上，只有B是分式方程。
1. 选项A：分母为25和π，π是常数，分母不含未知数，是整式方程，不符合要求；
2. 选项B：分母含有未知数x，且是等式，符合分式方程的定义；
3. 选项C：分母为4和9，均为常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求；
4. 选项D：不是等式，不属于方程，不符合要求。
综上，只有B是分式方程。
4. (★)解分式方程的关键是将分式方程化为方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘. 这也是解分式方程的一般方法.
一般地,解分式方程时,去分母后所得方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将方程的解代入,如果的值不为0,则方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,即原分式方程无解.
一般地,解分式方程时,去分母后所得方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将方程的解代入,如果的值不为0,则方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,即原分式方程无解.
答案
解：
依次填入横线的内容为：
整式；最简公分母；整式；整式；最简公分母；最简公分母；整式
依次填入横线的内容为：
整式；最简公分母；整式；整式；最简公分母；最简公分母；整式
5. (★)解分式方程 $1+\dfrac{x-3}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}$，方程两边乘$(x-2)$，得
【 】
A.$1+x+3=1$
B.$x+2+x-3=1$
C.$x-2+x-3=1$
D.$x-2-x+3=1$
【 】
A.$1+x+3=1$
B.$x+2+x-3=1$
C.$x-2+x-3=1$
D.$x-2-x+3=1$
答案
C
解析
根据等式的性质，给分式方程$1+\dfrac{x-3}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}$的每一项都乘以$(x-2)$：第一项$1×(x-2)=x-2$，第二项$\dfrac{x-3}{x-2}×(x-2)=x-3$，右边$\dfrac{1}{x-2}×(x-2)=1$，因此去分母后得到$x-2+x-3=1$。
6. (★)$x=3$是下列哪个分式方程的解
【】
A.$\frac{1}{x-3}=\frac{4}{x+3}$
B.$x-\frac{1}{x}=\frac{8}{3}$
C.$\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2+3x}$
D.$\frac{x+3}{x^2-9}=\frac{4}{3}$
【】
A.$\frac{1}{x-3}=\frac{4}{x+3}$
B.$x-\frac{1}{x}=\frac{8}{3}$
C.$\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x}=\frac{1}{x^2+3x}$
D.$\frac{x+3}{x^2-9}=\frac{4}{3}$
答案
B
解析
逐个将x=3代入各选项验证：
1. 选项A：x=3时分母x-3=0，分式无意义，排除；
2. 选项B：代入x=3，左边=3 - 1/3 = 8/3，与右边相等，且分母x=3≠0，等式成立；
3. 选项C：代入x=3，左边=1/(3+3)+1/3=1/2，右边=1/(3²+3×3)=1/18，左边≠右边，排除；
4. 选项D：x=3时分母x²-9=0，分式无意义，排除。
因此x=3是选项B的分式方程的解。
1. 选项A：x=3时分母x-3=0，分式无意义，排除；
2. 选项B：代入x=3，左边=3 - 1/3 = 8/3，与右边相等，且分母x=3≠0，等式成立；
3. 选项C：代入x=3，左边=1/(3+3)+1/3=1/2，右边=1/(3²+3×3)=1/18，左边≠右边，排除；
4. 选项D：x=3时分母x²-9=0，分式无意义，排除。
因此x=3是选项B的分式方程的解。
7. (★)定义：$a*b=\frac{a}{b}$. 方程$2*(x+3)=1*(x+2)$的解为.
答案
$\boldsymbol{x=-1}$
解析
解：根据定义$a*b=\frac{a}{b}$，原方程可化为：
$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x+2}$
方程两边同乘最简公分母$(x+3)(x+2)$，得：
$2(x+2)=x+3$
去括号，得：
$2x+4=x+3$
移项、合并同类项，得：
$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$(x+3)(x+2)=2×1=2≠0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x+2}$
方程两边同乘最简公分母$(x+3)(x+2)$，得：
$2(x+2)=x+3$
去括号，得：
$2x+4=x+3$
移项、合并同类项，得：
$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$(x+3)(x+2)=2×1=2≠0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
8. (★★)已知关于x的方程$\frac{2x+m}{x-2}=3$的解是正数，那么m的取值范围为【 】
A.$m＞-6$
B.$m＜6$
C.$m＞-6$且$m≠-4$
D.$m＜6$且$m≠2$
A.$m＞-6$
B.$m＜6$
C.$m＞-6$且$m≠-4$
D.$m＜6$且$m≠2$
答案
C
解析
解分式方程$\frac{2x+m}{x-2}=3$，两边同乘最简公分母$x-2$去分母，得$2x+m=3(x-2)$，展开并整理得$x=m+6$。
1. 由方程的解是正数，得$x＞0$，即$m+6＞0$，解得$m＞-6$；
2. 分式方程分母不能为0，即$x-2≠0$，也就是$x≠2$，因此$m+6≠2$，解得$m≠-4$。
综上，$m$的取值范围是$m＞-6$且$m≠-4$。
1. 由方程的解是正数，得$x＞0$，即$m+6＞0$，解得$m＞-6$；
2. 分式方程分母不能为0，即$x-2≠0$，也就是$x≠2$，因此$m+6≠2$，解得$m≠-4$。
综上，$m$的取值范围是$m＞-6$且$m≠-4$。
9. (★★)解下列方程：
(1)$\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x+1}$；
(2)$\frac{2x}{x^2 -4}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$
(1)$\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x+1}$；
(2)$\frac{2x}{x^2 -4}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$
答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+1)$，得：
$x+1 = 2(x-3)$
去括号，得：
$x+1 = 2x -6$
移项、合并同类项，得：
$-x = -7$
系数化为1，得：
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-3)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=7$。
(2) 原方程可化为$\frac{2x}{(x+2)(x-2)}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$，
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2x + 2(x-2) = x+2$
去括号，得：
$2x + 2x -4 = x +2$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
系数化为1，得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=2$是原分式方程的增根，
因此原分式方程无解。
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+1)$，得：
$x+1 = 2(x-3)$
去括号，得：
$x+1 = 2x -6$
移项、合并同类项，得：
$-x = -7$
系数化为1，得：
$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-3)(x+1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=7$。
(2) 原方程可化为$\frac{2x}{(x+2)(x-2)}+\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x-2}$，
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2x + 2(x-2) = x+2$
去括号，得：
$2x + 2x -4 = x +2$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
系数化为1，得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=2$是原分式方程的增根，
因此原分式方程无解。
