9.若三角形的三边$a,b,c$满足$(a-b)(b-c)(c-a)=0$,则$△ ABC$的形状是（）

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.锐角三角形

9. A

【分析】
解题时首先观察题干给出的等式特征，左边是三个含边长差的因式相乘、结果为0，首先回忆乘积为0的运算性质：多个因数相乘，若积为0，则至少有一个因数为0。据此可推出三角形三边至少有两条边相等，再结合各类三角形的定义逐一判断选项即可。需要注意区分“至少两边相等”和“三边都相等”的差异，避免误选等边三角形。
【解析】
解：
∵ 几个代数式相乘的积为0时，至少有一个代数式的值为0，
∴ 由$(a-b)(b-c)(c-a)=0$可得：
$a-b=0$或$b-c=0$或$c-a=0$，
即$a=b$或$b=c$或$c=a$，说明$△ ABC$至少有两条边相等。
根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，可知$△ ABC$是等腰三角形。
补充说明：等边三角形需要满足$a=b=c$（即三个因式同时为0），题干条件无法保证三个因式同时为0，故不能判定为等边三角形；直角三角形、锐角三角形的判定和角的大小有关，和题干给出的边的差的条件无关，故排除B、D选项。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
乘积为0的性质，等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查乘积为0的运算性质和三角形分类的相关概念，易错点是忽略“乘积为0只需至少一个因式为0”的结论，误判为三边都相等而错选C，解题时要明确等腰三角形和等边三角形的包含关系，仔细辨析条件对应的结论。
【难度系数】
0.7

10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点。已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）


A.6个
B.7个
C.8个
D.9个

10. C

【分析】
要解决这道题，我们需要依据等腰三角形“两边相等”的性质，采用分类讨论的思路求解：首先分两类情况讨论，一是AB作为等腰三角形的腰，二是AB作为等腰三角形的底边；可以通过画圆找腰的端点、作垂直平分线找底边对应的顶点的方式，找出所有符合条件的格点C，排除无法构成三角形的共线情况后计数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得AB的长度：$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，分两类讨论：
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
（1）以A为圆心、AB长为半径画圆，除B点外，和网格格点的交点中能构成等腰三角形的点共3个；
（2）以B为圆心、AB长为半径画圆，除A点外，和网格格点的交点中能构成等腰三角形的点共3个；
2. 当AB为等腰三角形的底边时：
作AB的垂直平分线，垂直平分线上的格点满足$AC=BC$，符合要求的点共2个。
综上，符合条件的点C总共有$3+3+2=8$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定，分类讨论思想，勾股定理
【点评】
本题的核心是掌握分类讨论的标准，分AB为腰、AB为底边两种情况逐一排查符合条件的格点，解题时注意避免漏记或重复计数，是等腰三角形板块的典型计数题型。
【难度系数】
0.7

11.一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12 cm和9 cm两部分,则它的底边长是多少？

11. 5 cm或9 cm

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形腰上的中线会将腰分为长度相等的两部分，且题目未说明周长分成的两部分哪部分对应含腰的部分、哪部分对应含底的部分，因此需要分两种情况讨论。解题时先设未知数表示腰长和底边长，分别根据两种周长情况列方程求解，最后一定要用三角形三边关系验证解得的边长是否能构成三角形，舍去不符合条件的解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$2x\ \mathrm{cm}$，底边长为$y\ \mathrm{cm}$，腰上的中线将腰分为长度均为$x\ \mathrm{cm}$的两段，分两种情况讨论：
情况1：含腰的部分周长为$12\ \mathrm{cm}$，列方程：
$2x + x = 12$
解得$x=4$
此时含底边的部分周长为$9\ \mathrm{cm}$，列方程：
$x + y = 9$
代入$x=4$，得$4+y=9$，解得$y=5$
此时三角形三边长为$8\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$、$5\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，成立。
情况2：含腰的部分周长为$9\ \mathrm{cm}$，列方程：
$2x + x = 9$
解得$x=3$
此时含底边的部分周长为$12\ \mathrm{cm}$，列方程：
$x + y = 12$
代入$x=3$，得$3+y=12$，解得$y=9$
此时三角形三边长为$6\ \mathrm{cm}$、$6\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，成立。
【答案】
5 cm或9 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题易错点有两处，一是忽略分类讨论，只考虑一种周长分配情况导致漏解；二是求解后未验证三边是否能构成三角形。做题时注意分类讨论的完整性，养成求解边长后验证三边关系的习惯，即可准确答题。
【难度系数】
0.6

12. 一个等腰三角形的两边$a$，$b$满足$|a - b + 2| + (2a + 3b - 11)^2 = 0$，求此等腰三角形的周长。

12. 7

【分析】
首先，根据绝对值和偶次幂的非负性，两个非负数相加为0时，每个非负数都为0，据此可列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值。接下来结合等腰三角形两边相等的性质，分两种情况讨论腰长：一是以a为腰，二是以b为腰，最后根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：
∵ |a - b + 2| ≥ 0，(2a + 3b - 11)² ≥ 0，且二者的和为0
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}a - b + 2 = 0 \\2a + 3b - 11 = 0\end{cases}$
由第一个方程得：$a = b - 2$，将其代入第二个方程：
$2(b - 2) + 3b - 11 = 0$
展开得：$2b - 4 + 3b - 11 = 0$
合并同类项得：$5b = 15$，解得$b = 3$
将$b = 3$代入$a = b - 2$，得$a = 1$
已知三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 若腰长为1，底边长为3，则三边长为1、1、3
∵ $1 + 1 = 2 ＜ 3$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况
② 若腰长为3，底边长为1，则三边长为3、3、1
∵ $1 + 3 ＞ 3$，满足三角形三边关系，此时周长为$3 + 3 + 1 = 7$
综上，此等腰三角形的周长为7。
【答案】
7
【知识点】
非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于综合型基础题，既考查了非负性的应用与二元一次方程组的求解，也结合了等腰三角形的分类讨论思想，解题时需要注意对所得的边长组合验证三边关系，避免忽略构成三角形的条件导致错解。
【难度系数】
0.6

13.如图,已知AC平分∠BAD,CD⊥AD于点D,CB⊥AB于点B。请找出图中的等腰三角形,并说明理由。

13. $\because AC$平分$∠ BAD,CD⊥ AD,CB⊥ AB,\therefore CD=CB,\therefore △ CDB$是等腰三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\begin{cases}CD=CB,\\AC=AC,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL}),\therefore AD=AB$,
$\therefore △ ABD$是等腰三角形

【分析】
要找出图中的等腰三角形，需依据“有两边相等的三角形是等腰三角形”的判定规则推导：首先结合已知的角平分线、双垂直条件，利用角平分线的性质得到一组等线段，判断第一个等腰三角形；再通过证明直角三角形全等得到另一组等线段，判断第二个等腰三角形。
【解析】
解：图中的等腰三角形为$△ CDB$和$△ ABD$，理由如下：
1. 判定$△ CDB$为等腰三角形：
$\because AC$平分$∠ BAD$，$CD⊥ AD$，$CB⊥ AB$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CD=CB$，
$\therefore △ CDB$是等腰三角形。
2. 判定$△ ABD$为等腰三角形：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\begin{cases}CD=CB\\AC=AC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL})$，
$\therefore AD=AB$，
$\therefore △ ABD$是等腰三角形。
【答案】
$△ CDB$和$△ ABD$是等腰三角形，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何应用题，解题核心是熟练运用基础几何定理推导等线段，既考查了学生对基础定理的掌握程度，也锻炼了学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7