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12. 李老师提出问题:求代数式$x^2+4x+5$的最小值. 要求同学们运用所学知识进行解答.同学们经过探索、交流和讨论,最后总结出如下解答方法:
解:$x^2+4x+5=x^2+4x+2^2-2^2+5=(x+2)^2+1$.
$\because \quad (x+2)^2 ≥ 0$,
$\therefore \quad (x+2)^2+1 ≥ 1$.
$\therefore \quad $当$(x+2)^2=0$时,$(x+2)^2+1$的值最小,最小值是1,即$x^2+4x+5$的最小值是1.
请你根据上述方法,解答下列问题.
(1)$(x-1)^2+3$的最小值为
(2)求代数式$x^2+10x+32$的最小值.
(3)你认为代数式$-\dfrac{1}{3}x^2+2x+5$有最大值还是有最小值? 求出该最大值或最小值.
(4)若$7x-x^2+y-11=0$,求$x+y$的最小值.
解:$x^2+4x+5=x^2+4x+2^2-2^2+5=(x+2)^2+1$.
$\because \quad (x+2)^2 ≥ 0$,
$\therefore \quad (x+2)^2+1 ≥ 1$.
$\therefore \quad $当$(x+2)^2=0$时,$(x+2)^2+1$的值最小,最小值是1,即$x^2+4x+5$的最小值是1.
请你根据上述方法,解答下列问题.
(1)$(x-1)^2+3$的最小值为
3
.(2)求代数式$x^2+10x+32$的最小值.
(3)你认为代数式$-\dfrac{1}{3}x^2+2x+5$有最大值还是有最小值? 求出该最大值或最小值.
(4)若$7x-x^2+y-11=0$,求$x+y$的最小值.
答案
12.(1)3
(2)$x^2+10x+32=x^2+10x+5^2-5^2+32=(x+5)^2+7$.
∵ (x+5)²≥0,
∴ (x+5)²+7≥7.
∴ 当(x+5)²=0 时,(x+5)²+7 的值最小,最小值为 7,即 x²+10x+32 的最小值为 7.
(3)有最大值.
$-\frac{1}{3}x^2+2x+5=-\frac{1}{3}(x^2-6x+9)+8=-\frac{1}{3}(x-3)^2+8$.
∵ $-\frac{1}{3}(x-3)^2≤0$,
∴ $-\frac{1}{3}(x-3)^2+8≤8$.
∴ 当$-\frac{1}{3}(x-3)^2=0$时,代数式$-\frac{1}{3}x^2+2x+5$有最大值,最大值为 8.
(4)
∵ 7x-x²+y-11=0,
∴ y=x²-7x+11.
∴ x+y=x+x²-7x+11=x²-6x+11=(x-3)²+2.
∵ (x-3)²≥0,
∴ (x-3)²+2≥2.
∴ 当(x-3)²=0 时,(x-3)²+2 的最小值为 2,即 x+y 的最小值为 2.
(2)$x^2+10x+32=x^2+10x+5^2-5^2+32=(x+5)^2+7$.
∵ (x+5)²≥0,
∴ (x+5)²+7≥7.
∴ 当(x+5)²=0 时,(x+5)²+7 的值最小,最小值为 7,即 x²+10x+32 的最小值为 7.
(3)有最大值.
$-\frac{1}{3}x^2+2x+5=-\frac{1}{3}(x^2-6x+9)+8=-\frac{1}{3}(x-3)^2+8$.
∵ $-\frac{1}{3}(x-3)^2≤0$,
∴ $-\frac{1}{3}(x-3)^2+8≤8$.
∴ 当$-\frac{1}{3}(x-3)^2=0$时,代数式$-\frac{1}{3}x^2+2x+5$有最大值,最大值为 8.
(4)
∵ 7x-x²+y-11=0,
∴ y=x²-7x+11.
∴ x+y=x+x²-7x+11=x²-6x+11=(x-3)²+2.
∵ (x-3)²≥0,
∴ (x-3)²+2≥2.
∴ 当(x-3)²=0 时,(x-3)²+2 的最小值为 2,即 x+y 的最小值为 2.
解析
【分析】
本题所有问题均通过配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，再利用完全平方的非负性求解最值，解题思路如下：
(1) 直接利用$(x-1)^2≥0$的性质，即可得出代数式的最小值；
(2) 对二次三项式配方，将一次项系数10的一半的平方（即$5^2$）先加后减，凑成完全平方式，再结合完全平方的非负性求最小值；
(3) 先提取二次项系数$-\frac{1}{3}$，再对括号内的式子配方，由于完全平方式前为负号，因此代数式有最大值，结合非负性求解即可；
(4) 先通过已知等式用含x的代数式表示y，代入x+y得到关于x的二次式，再配方求最小值。
【解析】
(1) $\because (x-1)^2≥0$，
$\therefore (x-1)^2+3≥3$，当$(x-1)^2=0$时，代数式取得最小值。
(2) $x^2+10x+32=x^2+10x+5^2-5^2+32=(x+5)^2+7$。
$\because (x+5)^2≥0$，
$\therefore (x+5)^2+7≥7$。
$\therefore$ 当$(x+5)^2=0$时，$x^2+10x+32$的值最小，最小值为7。
(3) 该代数式有最大值，求解如下：
$-\frac{1}{3}x^2+2x+5=-\frac{1}{3}(x^2-6x+9)+8=-\frac{1}{3}(x-3)^2+8$。
$\because -\frac{1}{3}(x-3)^2≤0$，
$\therefore -\frac{1}{3}(x-3)^2+8≤8$。
$\therefore$ 当$-\frac{1}{3}(x-3)^2=0$时，代数式$-\frac{1}{3}x^2+2x+5$有最大值，最大值为8。
(4) $\because 7x-x^2+y-11=0$，
$\therefore y=x^2-7x+11$，
$\therefore x+y=x+x^2-7x+11=x^2-6x+11=(x-3)^2+2$。
$\because (x-3)^2≥0$，
$\therefore (x-3)^2+2≥2$。
$\therefore$ 当$(x-3)^2=0$时，$(x-3)^2+2$的值最小，即$x+y$的最小值为2。
【答案】
(1) 3
(2) 最小值为7
(3) 有最大值，最大值为8
(4) $x+y$的最小值为2
【知识点】
配方法，完全平方非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心是通过配方将代数式转化为含完全平方式的结构，借助平方的非负性确定最值，解题时需注意二次项系数为负时，代数式存在最大值而非最小值，熟练掌握配方技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题所有问题均通过配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，再利用完全平方的非负性求解最值，解题思路如下：
(1) 直接利用$(x-1)^2≥0$的性质，即可得出代数式的最小值；
(2) 对二次三项式配方，将一次项系数10的一半的平方（即$5^2$）先加后减，凑成完全平方式，再结合完全平方的非负性求最小值；
(3) 先提取二次项系数$-\frac{1}{3}$，再对括号内的式子配方，由于完全平方式前为负号，因此代数式有最大值，结合非负性求解即可；
(4) 先通过已知等式用含x的代数式表示y，代入x+y得到关于x的二次式，再配方求最小值。
【解析】
(1) $\because (x-1)^2≥0$，
$\therefore (x-1)^2+3≥3$，当$(x-1)^2=0$时，代数式取得最小值。
(2) $x^2+10x+32=x^2+10x+5^2-5^2+32=(x+5)^2+7$。
$\because (x+5)^2≥0$，
$\therefore (x+5)^2+7≥7$。
$\therefore$ 当$(x+5)^2=0$时，$x^2+10x+32$的值最小，最小值为7。
(3) 该代数式有最大值，求解如下：
$-\frac{1}{3}x^2+2x+5=-\frac{1}{3}(x^2-6x+9)+8=-\frac{1}{3}(x-3)^2+8$。
$\because -\frac{1}{3}(x-3)^2≤0$，
$\therefore -\frac{1}{3}(x-3)^2+8≤8$。
$\therefore$ 当$-\frac{1}{3}(x-3)^2=0$时，代数式$-\frac{1}{3}x^2+2x+5$有最大值，最大值为8。
(4) $\because 7x-x^2+y-11=0$，
$\therefore y=x^2-7x+11$，
$\therefore x+y=x+x^2-7x+11=x^2-6x+11=(x-3)^2+2$。
$\because (x-3)^2≥0$，
$\therefore (x-3)^2+2≥2$。
$\therefore$ 当$(x-3)^2=0$时，$(x-3)^2+2$的值最小，即$x+y$的最小值为2。
【答案】
(1) 3
(2) 最小值为7
(3) 有最大值，最大值为8
(4) $x+y$的最小值为2
【知识点】
配方法，完全平方非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，核心是通过配方将代数式转化为含完全平方式的结构，借助平方的非负性确定最值，解题时需注意二次项系数为负时，代数式存在最大值而非最小值，熟练掌握配方技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
