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6. 下列配方法解方程$\frac{1}{2}x^2 -x -2=0$的四个步骤中，出现错误的是（
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
6.D
解析
【分析】要判断配方法解方程的步骤是否正确，需按配方法解一元二次方程的标准步骤逐一核对：先将二次项系数化为1，再移项，接着在方程两边加一次项系数一半的平方把左边配成完全平方式，最后开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，不能漏解。
【解析】逐个分析四个步骤：
1. 步骤①：原方程$\frac{1}{2}x^2 -x -2=0$，两边同乘2得$x^2-2x-4=0$，移项后得到$x^2-2x=4$，该步骤正确。
2. 步骤②：一次项系数为$-2$，它的一半的平方是$(-1)^2=1$，方程两边同时加1，得$x^2-2x+1=5$，该步骤正确。
3. 步骤③：左边利用完全平方公式整理得$(x-1)^2=5$，该步骤正确。
4. 步骤④：对$(x-1)^2=5$开平方，可得$x-1=\pm\sqrt{5}$，因此解为$x=1\pm\sqrt{5}$，题中仅写出了正根，漏掉了$x=1-\sqrt{5}$，该步骤错误。
综上，出现错误的是步骤④。
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程，平方根的定义
【点评】本题考查配方法解方程的易错点，核心是要牢记开平方时正数有两个平方根，不能漏解，同时要掌握配方的操作规则：方程两边同时加一次项系数一半的平方。
【难度系数】0.7
【解析】逐个分析四个步骤：
1. 步骤①：原方程$\frac{1}{2}x^2 -x -2=0$，两边同乘2得$x^2-2x-4=0$，移项后得到$x^2-2x=4$，该步骤正确。
2. 步骤②：一次项系数为$-2$，它的一半的平方是$(-1)^2=1$，方程两边同时加1，得$x^2-2x+1=5$，该步骤正确。
3. 步骤③：左边利用完全平方公式整理得$(x-1)^2=5$，该步骤正确。
4. 步骤④：对$(x-1)^2=5$开平方，可得$x-1=\pm\sqrt{5}$，因此解为$x=1\pm\sqrt{5}$，题中仅写出了正根，漏掉了$x=1-\sqrt{5}$，该步骤错误。
综上，出现错误的是步骤④。
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程，平方根的定义
【点评】本题考查配方法解方程的易错点，核心是要牢记开平方时正数有两个平方根，不能漏解，同时要掌握配方的操作规则：方程两边同时加一次项系数一半的平方。
【难度系数】0.7
7. 解方程：
(1) $4x^2 - 8x = -3$;
(2) $2x^2 + 6x - 3 = 0$;
(3) $3x^2 - 4x + 5 = 0$.
(1) $4x^2 - 8x = -3$;
(2) $2x^2 + 6x - 3 = 0$;
(3) $3x^2 - 4x + 5 = 0$.
答案
7.(1)$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(3)方程无实数根
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(3)方程无实数根
解析
【分析】
这三道题都是一元二次方程，可按照配方法的标准步骤求解：①先将二次项系数化为1；②把常数项移到等号右侧；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式；④根据完全平方式的非负性判断方程是否有实根，有实根的再开方计算根即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 - 8x = -3$：
第一步，二次项系数化为1，两边同除以4得：$x^2 - 2x = -\frac{3}{4}$
第二步，配方，两边加一次项系数-2一半的平方$(-1)^2=1$：
$x^2 - 2x + 1 = -\frac{3}{4} + 1$，即$(x-1)^2 = \frac{1}{4}$
第三步，开方得：$x-1 = \pm\frac{1}{2}$
解得：$x_1 = 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$x_2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
(2) 解方程$2x^2 + 6x - 3 = 0$：
第一步，移项得：$2x^2 +6x = 3$
第二步，二次项系数化为1，两边同除以2得：$x^2 +3x = \frac{3}{2}$
第三步，配方，两边加一次项系数3一半的平方$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$：
$x^2 +3x +\frac{9}{4} = \frac{3}{2} +\frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^2 = \frac{15}{4}$
第四步，开方得：$x+\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{15}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{-3+\sqrt{15}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(3) 解方程$3x^2 - 4x +5 =0$：
第一步，移项得：$3x^2 -4x = -5$
第二步，二次项系数化为1，两边同除以3得：$x^2 - \frac{4}{3}x = -\frac{5}{3}$
第三步，配方，两边加一次项系数$-\frac{4}{3}$一半的平方$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$：
$x^2 - \frac{4}{3}x +\frac{4}{9} = -\frac{5}{3} +\frac{4}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2 = -\frac{11}{9}$
∵ 完全平方式的值恒为非负数，$-\frac{11}{9}＜0$
∴ 该方程无实数根
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(3)方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、根的判别、完全平方公式
【点评】
本题核心考查配方法解一元二次方程的规范步骤，解题时要注意配方时需给等式两边同时加相同的数，保证等式成立，同时要结合平方的非负性判断方程根的情况，计算时要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.75
这三道题都是一元二次方程，可按照配方法的标准步骤求解：①先将二次项系数化为1；②把常数项移到等号右侧；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式；④根据完全平方式的非负性判断方程是否有实根，有实根的再开方计算根即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 - 8x = -3$：
第一步，二次项系数化为1，两边同除以4得：$x^2 - 2x = -\frac{3}{4}$
第二步，配方，两边加一次项系数-2一半的平方$(-1)^2=1$：
$x^2 - 2x + 1 = -\frac{3}{4} + 1$，即$(x-1)^2 = \frac{1}{4}$
第三步，开方得：$x-1 = \pm\frac{1}{2}$
解得：$x_1 = 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$x_2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
(2) 解方程$2x^2 + 6x - 3 = 0$：
第一步，移项得：$2x^2 +6x = 3$
第二步，二次项系数化为1，两边同除以2得：$x^2 +3x = \frac{3}{2}$
第三步，配方，两边加一次项系数3一半的平方$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$：
$x^2 +3x +\frac{9}{4} = \frac{3}{2} +\frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^2 = \frac{15}{4}$
第四步，开方得：$x+\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{15}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{-3+\sqrt{15}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(3) 解方程$3x^2 - 4x +5 =0$：
第一步，移项得：$3x^2 -4x = -5$
第二步，二次项系数化为1，两边同除以3得：$x^2 - \frac{4}{3}x = -\frac{5}{3}$
第三步，配方，两边加一次项系数$-\frac{4}{3}$一半的平方$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$：
$x^2 - \frac{4}{3}x +\frac{4}{9} = -\frac{5}{3} +\frac{4}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2 = -\frac{11}{9}$
∵ 完全平方式的值恒为非负数，$-\frac{11}{9}＜0$
∴ 该方程无实数根
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=\frac{-3+\sqrt{15}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$
(3)方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、根的判别、完全平方公式
【点评】
本题核心考查配方法解一元二次方程的规范步骤，解题时要注意配方时需给等式两边同时加相同的数，保证等式成立，同时要结合平方的非负性判断方程根的情况，计算时要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.75
8. 已知点A,B,C在数轴上的位置如图所示，O为原点，且O为AB的中点，B为AC的中点。若点B表示的数为x，点C表示的数为$x^2 + 2x -2$，则x的值是
2
。答案
8. 2
解析
【分析】
解题时先根据中点性质确定点A表示的数，再利用B是AC中点的条件列一元二次方程，最后结合数轴上点的位置取舍方程的解即可。首先，O是AB中点且为原点，可知A、B表示的数互为相反数，由此得到点A对应的数；再根据数轴上两点的中点等于两点对应数的平均数，代入A、B、C对应的数列出方程，用配方法解方程后，结合B在原点右侧（x＞0）舍去负解，得到x的值。
【解析】
1. 求点A表示的数：
∵ O是AB的中点，O为原点，点B表示的数为x，
∴ 点A与点B表示的数互为相反数，即点A表示的数为$-x$。
2. 利用B是AC中点列方程：
∵ B是AC的中点，根据数轴中点公式：中点对应的数 = $\frac{两点对应数之和}{2}$，
∴ $\frac{点A表示的数 + 点C表示的数}{2} = 点B表示的数$，
代入已知得：$\frac{-x + x^2 + 2x -2}{2} = x$。
3. 解方程并取舍：
化简方程：
左边合并同类项得$\frac{x^2 + x -2}{2}=x$，
两边同乘2得：$x^2 +x -2 = 2x$，
移项整理得：$x^2 -x -2=0$，
用配方法求解：
移项得$x^2 -x =2$，
配方，两边加$\frac{1}{4}$得：$x^2 -x +\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$，
即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}$，
开方得：$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
∵ 点B在原点右侧，
∴ $x＞0$，舍去$x=-1$，故$x=2$。
【答案】
2
【知识点】
数轴性质，中点公式，配方法解方程
【点评】
本题综合考查数轴的性质、中点公式和一元二次方程的解法，解题时需注意结合数轴上点的位置判断解的合理性，是基础类的综合题，注重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先根据中点性质确定点A表示的数，再利用B是AC中点的条件列一元二次方程，最后结合数轴上点的位置取舍方程的解即可。首先，O是AB中点且为原点，可知A、B表示的数互为相反数，由此得到点A对应的数；再根据数轴上两点的中点等于两点对应数的平均数，代入A、B、C对应的数列出方程，用配方法解方程后，结合B在原点右侧（x＞0）舍去负解，得到x的值。
【解析】
1. 求点A表示的数：
∵ O是AB的中点，O为原点，点B表示的数为x，
∴ 点A与点B表示的数互为相反数，即点A表示的数为$-x$。
2. 利用B是AC中点列方程：
∵ B是AC的中点，根据数轴中点公式：中点对应的数 = $\frac{两点对应数之和}{2}$，
∴ $\frac{点A表示的数 + 点C表示的数}{2} = 点B表示的数$，
代入已知得：$\frac{-x + x^2 + 2x -2}{2} = x$。
3. 解方程并取舍：
化简方程：
左边合并同类项得$\frac{x^2 + x -2}{2}=x$，
两边同乘2得：$x^2 +x -2 = 2x$，
移项整理得：$x^2 -x -2=0$，
用配方法求解：
移项得$x^2 -x =2$，
配方，两边加$\frac{1}{4}$得：$x^2 -x +\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$，
即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}$，
开方得：$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
∵ 点B在原点右侧，
∴ $x＞0$，舍去$x=-1$，故$x=2$。
【答案】
2
【知识点】
数轴性质，中点公式，配方法解方程
【点评】
本题综合考查数轴的性质、中点公式和一元二次方程的解法，解题时需注意结合数轴上点的位置判断解的合理性，是基础类的综合题，注重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9. 对于两个实数a,b,用max(a,b)表示其中较大的数,则方程x·max(x,-x)=2x+1的解是
$x_1=-1,x_2=1+\sqrt{2}$
.答案
9.$x_1=-1,x_2=1+\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先要理解新定义$\mathrm{max}(a,b)$的含义，即取两个数中较大的数。要求解含$\mathrm{max}(x,-x)$的方程，需根据$x$的取值范围确定$\mathrm{max}(x,-x)$的化简结果：当$x≥0$时，$x≥ -x$，所以$\mathrm{max}(x,-x)=x$；当$x＜0$时，$-x＞x$，所以$\mathrm{max}(x,-x)=-x$。分两种情况将原方程转化为普通一元二次方程求解，最后检验所得的解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x≥ 0$时，$\mathrm{max}(x,-x)=x$，原方程可化为：
$x· x=2x+1$
整理得：$x^2-2x-1=0$
用配方法解方程：
$x^2-2x+1=1+1$
$(x-1)^2=2$
开方得：$x-1=\pm\sqrt{2}$
解得：$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$
∵ $x≥0$，$1-\sqrt{2}＜0$，不符合取值范围，舍去，故此时解为$x=1+\sqrt{2}$。
2. 当$x＜0$时，$\mathrm{max}(x,-x)=-x$，原方程可化为：
$x· (-x)=2x+1$
整理得：$x^2+2x+1=0$
配方得：$(x+1)^2=0$
解得：$x=-1$，符合$x＜0$的取值范围。
综上，方程的解为$x_1=-1$，$x_2=1+\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=1+\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，配方法解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题需要先理解新定义的运算规则，通过分类讨论将特殊方程转化为常规的一元二次方程求解，解题时要注意检验解是否符合分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
首先要理解新定义$\mathrm{max}(a,b)$的含义，即取两个数中较大的数。要求解含$\mathrm{max}(x,-x)$的方程，需根据$x$的取值范围确定$\mathrm{max}(x,-x)$的化简结果：当$x≥0$时，$x≥ -x$，所以$\mathrm{max}(x,-x)=x$；当$x＜0$时，$-x＞x$，所以$\mathrm{max}(x,-x)=-x$。分两种情况将原方程转化为普通一元二次方程求解，最后检验所得的解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x≥ 0$时，$\mathrm{max}(x,-x)=x$，原方程可化为：
$x· x=2x+1$
整理得：$x^2-2x-1=0$
用配方法解方程：
$x^2-2x+1=1+1$
$(x-1)^2=2$
开方得：$x-1=\pm\sqrt{2}$
解得：$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$
∵ $x≥0$，$1-\sqrt{2}＜0$，不符合取值范围，舍去，故此时解为$x=1+\sqrt{2}$。
2. 当$x＜0$时，$\mathrm{max}(x,-x)=-x$，原方程可化为：
$x· (-x)=2x+1$
整理得：$x^2+2x+1=0$
配方得：$(x+1)^2=0$
解得：$x=-1$，符合$x＜0$的取值范围。
综上，方程的解为$x_1=-1$，$x_2=1+\sqrt{2}$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=1+\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，配方法解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题需要先理解新定义的运算规则，通过分类讨论将特殊方程转化为常规的一元二次方程求解，解题时要注意检验解是否符合分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
10. 阅读并回答问题:
小亮是一名学习刻苦的学生.一天他在解方程$x^2=-1$时,突发奇想:$x^2=-1$在实数范围内无解,如果存在一个数i,使$i^2=-1$,那么当$x^2=-1$时,有$x=\pm i$,从而$x=\pm i$是方程$x^2=-1$的两个根.据此可知:
(1)i可以运算,例如:$i^3=i^2· i=-1· i=-i$,则$i^4=$
(2)方程$x^2-6x+10=0$的两根为
小亮是一名学习刻苦的学生.一天他在解方程$x^2=-1$时,突发奇想:$x^2=-1$在实数范围内无解,如果存在一个数i,使$i^2=-1$,那么当$x^2=-1$时,有$x=\pm i$,从而$x=\pm i$是方程$x^2=-1$的两个根.据此可知:
(1)i可以运算,例如:$i^3=i^2· i=-1· i=-i$,则$i^4=$
1
.(2)方程$x^2-6x+10=0$的两根为
$x_1=3+i,x_2=3-i$
.(根用i表示)答案
10.(1)1
(2)$x_1=3+i,x_2=3-i$
(2)$x_1=3+i,x_2=3-i$
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题思路如下：
(1) 第一问考查新定义下i的幂次运算，我们可以将$i^4$变形为$(i^2)^2$的形式，再代入已知条件$i^2=-1$即可计算出结果；
(2) 第二问考查配方法解一元二次方程，先对$x^2-6x+10=0$进行配方，将方程转化为完全平方式等于常数的形式，再结合题目给出的$i^2=-1$的性质，开平方即可求出方程的两根。
【解析】
(1) 计算$i^4$：
根据幂的乘方运算法则可得：$i^4=(i^2)^2$，
已知$i^2=-1$，代入得：$i^4=(-1)^2=1$。
(2) 解方程$x^2-6x+10=0$：
步骤1：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2-6x=-10$；
步骤2：配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{-6}{2})^2=9$，得：
$x^2-6x+9=-10+9$，
整理得$(x-3)^2=-1$；
步骤3：根据题意可知$i^2=-1$，因此$(x-3)^2=i^2$，
开平方得$x-3=\pm i$，
解得$x_1=3+i$，$x_2=3-i$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{x_1=3+i,x_2=3-i}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 配方法解一元二次方程
3. 平方根的性质
【点评】
本题属于信息迁移题，通过给出虚数单位i的性质，结合已掌握的配方法解一元二次方程的知识出题，既考查了对新信息的理解运用能力，也考查了对配方法的掌握程度，只要读懂题干给出的新定义，结合已有知识即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题思路如下：
(1) 第一问考查新定义下i的幂次运算，我们可以将$i^4$变形为$(i^2)^2$的形式，再代入已知条件$i^2=-1$即可计算出结果；
(2) 第二问考查配方法解一元二次方程，先对$x^2-6x+10=0$进行配方，将方程转化为完全平方式等于常数的形式，再结合题目给出的$i^2=-1$的性质，开平方即可求出方程的两根。
【解析】
(1) 计算$i^4$：
根据幂的乘方运算法则可得：$i^4=(i^2)^2$，
已知$i^2=-1$，代入得：$i^4=(-1)^2=1$。
(2) 解方程$x^2-6x+10=0$：
步骤1：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2-6x=-10$；
步骤2：配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{-6}{2})^2=9$，得：
$x^2-6x+9=-10+9$，
整理得$(x-3)^2=-1$；
步骤3：根据题意可知$i^2=-1$，因此$(x-3)^2=i^2$，
开平方得$x-3=\pm i$，
解得$x_1=3+i$，$x_2=3-i$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{x_1=3+i,x_2=3-i}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 配方法解一元二次方程
3. 平方根的性质
【点评】
本题属于信息迁移题，通过给出虚数单位i的性质，结合已掌握的配方法解一元二次方程的知识出题，既考查了对新信息的理解运用能力，也考查了对配方法的掌握程度，只要读懂题干给出的新定义，结合已有知识即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于$x$的一元二次方程$(a-3)x^2 -8x + a^2 -1=0$.
(1)若方程有一个根为0,则实数$a$的值为
(2)当$a=4$时,等腰三角形$ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x + a^2 -1=0$的两个根,请求出$△ ABC$的周长.
(1)若方程有一个根为0,则实数$a$的值为
±1
.(2)当$a=4$时,等腰三角形$ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x + a^2 -1=0$的两个根,请求出$△ ABC$的周长.
答案
11.(1)±1
(2)当 a=4 时,方程为 x²-8x+4²-1=0.
整理,得 x²-8x+15=0.
配方,得(x-4)²=-15+16,即(x-4)²=1.
直接开平方,得 x-4=-1 或 x-4=1.
解得 x₁=3,x₂=5.
∵ 当等腰三角形 ABC 的底边长为 3 时,该三角形三边长分别为 3,5,5,
∴ △ABC 的周长为 13.
∵ 当等腰三角形 ABC 的底边长为 5 时,该三角形三边长分别为 3,3,5,
∴ △ABC 的周长为 11.
综上所述,△ABC 的周长为 13 或 11.
(2)当 a=4 时,方程为 x²-8x+4²-1=0.
整理,得 x²-8x+15=0.
配方,得(x-4)²=-15+16,即(x-4)²=1.
直接开平方,得 x-4=-1 或 x-4=1.
解得 x₁=3,x₂=5.
∵ 当等腰三角形 ABC 的底边长为 3 时,该三角形三边长分别为 3,5,5,
∴ △ABC 的周长为 13.
∵ 当等腰三角形 ABC 的底边长为 5 时,该三角形三边长分别为 3,3,5,
∴ △ABC 的周长为 11.
综上所述,△ABC 的周长为 13 或 11.
解析
【分析】
(1) 第一小问可利用方程根的定义求解：将根x=0代入原方程，得到关于a的等式，求解后结合一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，排除不符合的取值即可得到a的值。
(2) 第二小问先将a=4代入原方程，得到关于x的一元二次方程，用配方法解方程得到两个根；再结合等腰三角形的性质分类讨论，分别以两个根作为底边长、另一个根作为腰长，验证两种情况是否满足三角形三边关系，最后计算对应周长即可。
【解析】
(1) 把$x=0$代入方程$(a-3)x^2 -8x + a^2 -1=0$，得：
$a^2 - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$
∵ 原方程是一元二次方程，二次项系数$a-3 ≠ 0$，即$a ≠ 3$
∴ 实数a的值为$\pm 1$。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2 -8x + 4^2 -1 = 0$
整理得$x^2 -8x +15 = 0$
配方得$x^2 -8x +16 = -15 +16$，即$(x-4)^2 = 1$
直接开平方得$x-4 = -1$或$x-4 = 1$
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
分两种情况讨论：
① 若等腰三角形ABC的底边长为3，腰长为5，三边长为3、5、5，满足$3+5＞5$，符合三角形三边关系，此时周长为$3+5+5=13$；
② 若等腰三角形ABC的底边长为5，腰长为3，三边长为3、3、5，满足$3+3＞5$，符合三角形三边关系，此时周长为$3+3+5=11$。
综上，△ABC的周长为11或13。
【答案】
(1) $\pm 1$；(2) 11或13
【知识点】
一元二次方程根的定义；配方法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，解题时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求，涉及等腰三角形边长的问题需分类讨论，同时要验证三边是否满足三角形构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问可利用方程根的定义求解：将根x=0代入原方程，得到关于a的等式，求解后结合一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，排除不符合的取值即可得到a的值。
(2) 第二小问先将a=4代入原方程，得到关于x的一元二次方程，用配方法解方程得到两个根；再结合等腰三角形的性质分类讨论，分别以两个根作为底边长、另一个根作为腰长，验证两种情况是否满足三角形三边关系，最后计算对应周长即可。
【解析】
(1) 把$x=0$代入方程$(a-3)x^2 -8x + a^2 -1=0$，得：
$a^2 - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$
∵ 原方程是一元二次方程，二次项系数$a-3 ≠ 0$，即$a ≠ 3$
∴ 实数a的值为$\pm 1$。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2 -8x + 4^2 -1 = 0$
整理得$x^2 -8x +15 = 0$
配方得$x^2 -8x +16 = -15 +16$，即$(x-4)^2 = 1$
直接开平方得$x-4 = -1$或$x-4 = 1$
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
分两种情况讨论：
① 若等腰三角形ABC的底边长为3，腰长为5，三边长为3、5、5，满足$3+5＞5$，符合三角形三边关系，此时周长为$3+5+5=13$；
② 若等腰三角形ABC的底边长为5，腰长为3，三边长为3、3、5，满足$3+3＞5$，符合三角形三边关系，此时周长为$3+3+5=11$。
综上，△ABC的周长为11或13。
【答案】
(1) $\pm 1$；(2) 11或13
【知识点】
一元二次方程根的定义；配方法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，解题时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求，涉及等腰三角形边长的问题需分类讨论，同时要验证三边是否满足三角形构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
