例 如图,抛物线$y=2(x-2)^2$与平行于$x$轴的直线交于点$A,B$,抛物线的顶点为$C$,$△ ABC$为等边三角形,求$△ ABC$的面积.

解:如图,过点$B$作$BP ⊥ x$轴于点$P$.

由抛物线$y=2(x-2)^2$,得$C(2,0)$,
$\therefore$ 对称轴为直线$x=2$.
设$B(m,n)$,
$\therefore CP=m-2$.
$\because AB // x$轴,
$\therefore AB=2m-4$.
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore BC=AB=2m-4$,$∠ BCP=∠ ABC=60°$.
$\therefore BP=\sqrt{3}CP=\sqrt{3}(m-2)$.
$\because BP=n=2(m-2)^2$,
$\therefore \sqrt{3}(m-2)=2(m-2)^2$.
解得$m_1=\frac{4+\sqrt{3}}{2}$,$m_2=2$(不符合题意,舍去).
$\therefore AB=\sqrt{3}$,$BP=\frac{3}{2}$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
方法点拨 本题考查二次函数的性质及等边三角形的性质.

解：如图，过点$B$作$BP ⊥ x$轴于点$P$。
由抛物线$y=2(x-2)^2$，得$C(2,0)$，
$\therefore$ 对称轴为直线$x=2$。
设$B(m,n)$，
$\therefore CP=m-2$。
$\because AB// x$轴，抛物线关于直线$x=2$对称，
$\therefore AB=2m-4$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=AB=2m-4$，$∠ BCP=60°$。
$\therefore BP=\sqrt{3}CP=\sqrt{3}(m-2)$。
$\because$ 点$B$在抛物线上，$BP=n=2(m-2)^2$，
$\therefore \sqrt{3}(m-2)=2(m-2)^2$。
解得$m_1=\frac{4+\sqrt{3}}{2}$，$m_2=2$（不符合题意，舍去）。
$\therefore AB=\sqrt{3}$，$BP=\frac{3}{2}$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

【分析】
解决本题需结合二次函数性质与等边三角形性质逐步推导：首先根据抛物线$y=2(x-2)^2$的解析式确定顶点坐标和对称轴，利用抛物线的对称性，结合AB平行于x轴的条件，用点B的横坐标表示出AB的长度；再根据等边三角形的边角关系，得到等边三角形的高（即点B的纵坐标）与AB边长的数量关系；最后结合点B在抛物线上，其纵坐标满足抛物线解析式，列方程求解得到相关线段长度，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：如图，过点$B$作$BP ⊥ x$轴于点$P$。
由抛物线$y=2(x-2)^2$，得$C(2,0)$，
$\therefore$ 对称轴为直线$x=2$。
设$B(m,n)$，
$\therefore CP=m-2$。
$\because AB// x$轴，抛物线关于直线$x=2$对称，
$\therefore AB=2m-4$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=AB=2m-4$，$∠ BCP=60°$。
$\therefore BP=\sqrt{3}CP=\sqrt{3}(m-2)$。
$\because$ 点$B$在抛物线上，$BP=n=2(m-2)^2$，
$\therefore \sqrt{3}(m-2)=2(m-2)^2$。
解得$m_1=\frac{4+\sqrt{3}}{2}$，$m_2=2$（不符合题意，舍去）。
$\therefore AB=\sqrt{3}$，$BP=\frac{3}{2}$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
二次函数y=a(x-h)²的性质；等边三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数与几何图形的综合题，解题关键是灵活运用抛物线的对称性、等边三角形的边角关系，结合点在函数图象上的坐标特征列方程求解，渗透了数形结合的数学思想，能有效考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

已知直线$y=x+1$与$x$轴交于点$A$，抛物线$y=-2x^2$的顶点平移后与点$A$重合.
(1)求平移后的抛物线$C$对应的函数解析式.
(2)若$B(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$两点在抛物线$C$上，且$-\dfrac{1}{2}＜x_1＜x_2$，试比较$y_1,y_2$的大小.

(1)
∵ 直线$y=x+1$,
∴ 令$y=0$,得$x=-1$.
∴ $A(-1,0)$,即抛物线$C$的顶点坐标为$(-1,0)$.
又 抛物线$C$是由抛物线$y=-2x^2$平移得到的,
∴ 抛物线$C$对应的函数解析式为$y=-2(x+1)^2$.
(2)由(1)知,抛物线$C$的对称轴为直线$x=-1$.
∵ $a=-2＜0$,
∴ 当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小.
又 $-1＜-\dfrac{1}{2}＜x_1＜x_2$,
∴ $y_1＞y_2$.

【分析】
解题思路如下：(1)首先求直线与x轴交点A的坐标：x轴上的点纵坐标为0，因此令直线解析式中y=0，解出x的值即可得到A点坐标，也就是平移后抛物线的顶点坐标；抛物线平移时形状、开口方向不变，即二次项系数a不变，结合顶点式即可写出平移后的抛物线解析式。(2)先确定抛物线C的对称轴和开口方向，再判断x₁、x₂的取值范围在对称轴的右侧，根据开口向下的抛物线在对称轴右侧y随x的增大而减小的性质，即可比较y₁和y₂的大小。
【解析】
(1)对于直线$y=x+1$，令$y=0$，解得$x=-1$，因此点A的坐标为$(-1,0)$，即平移后抛物线C的顶点坐标为$(-1,0)$。
由于抛物线C是由$y=-2x^2$平移得到的，二次项系数不变仍为$-2$，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），代入$a=-2$，$h=-1$，$k=0$，可得抛物线C的解析式为$y=-2(x+1)^2$。
(2)由(1)可知抛物线C的解析式为$y=-2(x+1)^2$，其对称轴为直线$x=-1$，且$a=-2＜0$，抛物线开口向下，因此当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$-\dfrac{1}{2}＜x_1＜x_2$，可得$-1＜-\dfrac{1}{2}＜x_1＜x_2$，即$x_1$、$x_2$都在对称轴右侧，因此$x$越大对应的$y$值越小，故$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $y=-2(x+1)^2$
(2) $y_1＞y_2$
【知识点】
一次函数交点求解，二次函数平移，二次函数增减性
【点评】
本题基础考察了一次函数与坐标轴交点的求解方法、二次函数平移的性质以及二次函数增减性的应用，难度较低，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8