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如图是一副眼镜的镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线，两条抛物线关于y轴对称. AB//x轴，AB=4 cm，最低点C在x轴上，高CH=1 cm，BD=2 cm，则右轮廓线DFE对应的函数解析式为 ()
A.$y=\frac{1}{4}(x+3)^2$
B.$y=-\frac{1}{4}(x+3)^2$
C.$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$
D.$y=\frac{1}{4}(x-4)^2$
A.$y=\frac{1}{4}(x+3)^2$
B.$y=-\frac{1}{4}(x+3)^2$
C.$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$
D.$y=\frac{1}{4}(x-4)^2$
答案
C
解析
【分析】
本题要求右轮廓抛物线的解析式，已知抛物线顶点在x轴上，适合用顶点式$y=a(x-h)^2$求解。第一步先利用图形对称性和给定的长度条件，确定右抛物线的顶点坐标；第二步找到右抛物线上已知点的坐标，代入顶点式求出参数$a$，即可得到解析式。
【解析】
1. 确定点$D$的坐标：由$CH=1\ \mathrm{cm}$，$AB// x$轴，可知$D$点纵坐标为$1$；$BD=2\ \mathrm{cm}$且$B$、$D$关于$y$轴对称，因此$D$点坐标为$(1,1)$。
2. 求左抛物线顶点$C$的坐标：$AB=4\ \mathrm{cm}$，左边抛物线的对称轴为直线$CH$，故$HB=AB÷2=2\ \mathrm{cm}$，结合$B$点横坐标为$-1$，可得$H$点横坐标为$-1-2=-3$，即左抛物线顶点$C$的坐标为$(-3,0)$。
3. 求右抛物线顶点$F$的坐标：两条抛物线关于$y$轴对称，因此右抛物线顶点$F$是$C$的对称点，坐标为$(3,0)$。
4. 求解析式：设右轮廓线$DFE$对应的函数解析式为$y=a(x-3)^2$，将$D(1,1)$代入得：
$\begin{aligned}1&=a(1-3)^2\\1&=4a\\a&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
因此函数解析式为$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数的对称性
【点评】
本题结合生活实例考查二次函数的应用，解题关键是利用图形的对称性确定抛物线的顶点和经过的点的坐标，再代入顶点式求解参数即可，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
本题要求右轮廓抛物线的解析式，已知抛物线顶点在x轴上，适合用顶点式$y=a(x-h)^2$求解。第一步先利用图形对称性和给定的长度条件，确定右抛物线的顶点坐标；第二步找到右抛物线上已知点的坐标，代入顶点式求出参数$a$，即可得到解析式。
【解析】
1. 确定点$D$的坐标：由$CH=1\ \mathrm{cm}$，$AB// x$轴，可知$D$点纵坐标为$1$；$BD=2\ \mathrm{cm}$且$B$、$D$关于$y$轴对称，因此$D$点坐标为$(1,1)$。
2. 求左抛物线顶点$C$的坐标：$AB=4\ \mathrm{cm}$，左边抛物线的对称轴为直线$CH$，故$HB=AB÷2=2\ \mathrm{cm}$，结合$B$点横坐标为$-1$，可得$H$点横坐标为$-1-2=-3$，即左抛物线顶点$C$的坐标为$(-3,0)$。
3. 求右抛物线顶点$F$的坐标：两条抛物线关于$y$轴对称，因此右抛物线顶点$F$是$C$的对称点，坐标为$(3,0)$。
4. 求解析式：设右轮廓线$DFE$对应的函数解析式为$y=a(x-3)^2$，将$D(1,1)$代入得：
$\begin{aligned}1&=a(1-3)^2\\1&=4a\\a&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
因此函数解析式为$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数的对称性
【点评】
本题结合生活实例考查二次函数的应用，解题关键是利用图形的对称性确定抛物线的顶点和经过的点的坐标，再代入顶点式求解参数即可，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
知识点1）二次函数$y=a(x-h)^2$的图象和性质
一般地,抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴是
(1)当$a＞0$时,抛物线的开口向
当$x＜h$时,$y$随$x$的增大而
当$x=h$时,$y$有最
(2)当$a＜0$时,抛物线的开口向
当$x＜h$时,$y$随$x$的增大而
当$x=h$时,$y$有最
一般地,抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴是
直线x=h
,顶点是(h,0)
.(1)当$a＞0$时,抛物线的开口向
上
,顶点是抛物线的最低
点.当$x＜h$时,$y$随$x$的增大而
减小
;当$x＞h$时,$y$随$x$的增大而增大
.当$x=h$时,$y$有最
小
值0
.(2)当$a＜0$时,抛物线的开口向
下
,顶点是抛物线的最高
点.当$x＜h$时,$y$随$x$的增大而
增大
;当$x＞h$时,$y$随$x$的增大而减小
.当$x=h$时,$y$有最
大
值0
.答案
直线x=h (h,0)
(1)上 低 减小 增大 小 0
(2)下 高 增大 减小 大 0
(1)上 低 减小 增大 小 0
(2)下 高 增大 减小 大 0
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基础性质，解题时可结合图象平移规律辅助记忆：$y=a(x-h)^2$是由$y=ax^2$沿x轴平移得到的，平移不改变开口方向和形状，仅改变位置。首先根据平移规律确定对称轴和顶点坐标，再根据$a$的正负判断开口方向，由开口方向确定顶点是最高点还是最低点，对应得到最值类型，最后结合对称轴判断左右两侧的增减性即可。
【解析】
抛物线$y=a(x-h)^2$是$y=ax^2$沿x轴平移$|h|$个单位得到的（$h＞0$向右平移，$h＜0$向左平移），因此：
对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(1) 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而增大；当$x=h$时，代入解析式得$y=a(h-h)^2=0$，此时$y$有最小值0。
(2) 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而减小；当$x=h$时，代入解析式得$y=a(h-h)^2=0$，此时$y$有最大值0。
【答案】
直线x=h (h,0)
(1)上 低 减小 增大 小 0
(2)下 高 增大 减小 大 0
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，所考内容是二次函数顶点式的核心基础性质，也是后续学习更复杂二次函数的重要基础，建议结合函数图象理解记忆性质，避免混淆增减性规律。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基础性质，解题时可结合图象平移规律辅助记忆：$y=a(x-h)^2$是由$y=ax^2$沿x轴平移得到的，平移不改变开口方向和形状，仅改变位置。首先根据平移规律确定对称轴和顶点坐标，再根据$a$的正负判断开口方向，由开口方向确定顶点是最高点还是最低点，对应得到最值类型，最后结合对称轴判断左右两侧的增减性即可。
【解析】
抛物线$y=a(x-h)^2$是$y=ax^2$沿x轴平移$|h|$个单位得到的（$h＞0$向右平移，$h＜0$向左平移），因此：
对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(1) 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而增大；当$x=h$时，代入解析式得$y=a(h-h)^2=0$，此时$y$有最小值0。
(2) 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而减小；当$x=h$时，代入解析式得$y=a(h-h)^2=0$，此时$y$有最大值0。
【答案】
直线x=h (h,0)
(1)上 低 减小 增大 小 0
(2)下 高 增大 减小 大 0
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，所考内容是二次函数顶点式的核心基础性质，也是后续学习更复杂二次函数的重要基础，建议结合函数图象理解记忆性质，避免混淆增减性规律。
【难度系数】
0.9
知识点2）二次函数$y=a(x-h)^2$与$y=ax^2$的图象之间的关系
抛物线$y=a(x-h)^2$是把抛物线$y=ax^2$
重点提示
抛物线$y=ax^2$平移为抛物线$y=a(x-h)^2$需变换$h$，平移口诀为“左加右减”.
抛物线$y=a(x-h)^2$是把抛物线$y=ax^2$
向右
（$h＞0$）或向左
（$h＜0$）平移$|h|$
个单位长度得到的.重点提示
抛物线$y=ax^2$平移为抛物线$y=a(x-h)^2$需变换$h$，平移口诀为“左加右减”.
答案
向右 向左 $|h|$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象水平平移的核心规律“左加右减”，该规律针对自变量x的变换生效。我们可以通过两种思路推导：①对比两个抛物线的顶点坐标：$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$，顶点的平移方向就是抛物线的平移方向，平移距离为两点横坐标差的绝对值；②直接套用平移口诀，判断x的变换形式对应平移方向，再结合平移距离为非负数的特点，确定距离为$|h|$。
【解析】
二次函数图象水平平移遵循“左加右减”的规律，即自变量x加上正数时图象向左平移，自变量x减去正数时图象向右平移。
1. 平移方向判断：
$y=ax^2$可改写为$y=a(x-0)^2$，与$y=a(x-h)^2$对比：
当$h＞0$时，自变量由x变为$x-h$，符合“右减”的特征，因此是将$y=ax^2$向右平移；
当$h＜0$时，令$h=-k$（$k＞0$），则表达式变为$y=a(x+k)^2$，自变量由x变为$x+k$，符合“左加”的特征，因此是将$y=ax^2$向左平移。
2. 平移距离判断：
平移的单位长度是水平方向的非负距离，因此不管h的符号，平移距离均为$|h|$个单位长度。
【答案】
向右；向左；$|h|$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的特征
【点评】
本题考查二次函数水平平移的基础知识点，核心是理解“左加右减”口诀的适用场景，明确平移方向与h符号的对应关系，注意平移距离为非负数，需取h的绝对值。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数图象水平平移的核心规律“左加右减”，该规律针对自变量x的变换生效。我们可以通过两种思路推导：①对比两个抛物线的顶点坐标：$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$，顶点的平移方向就是抛物线的平移方向，平移距离为两点横坐标差的绝对值；②直接套用平移口诀，判断x的变换形式对应平移方向，再结合平移距离为非负数的特点，确定距离为$|h|$。
【解析】
二次函数图象水平平移遵循“左加右减”的规律，即自变量x加上正数时图象向左平移，自变量x减去正数时图象向右平移。
1. 平移方向判断：
$y=ax^2$可改写为$y=a(x-0)^2$，与$y=a(x-h)^2$对比：
当$h＞0$时，自变量由x变为$x-h$，符合“右减”的特征，因此是将$y=ax^2$向右平移；
当$h＜0$时，令$h=-k$（$k＞0$），则表达式变为$y=a(x+k)^2$，自变量由x变为$x+k$，符合“左加”的特征，因此是将$y=ax^2$向左平移。
2. 平移距离判断：
平移的单位长度是水平方向的非负距离，因此不管h的符号，平移距离均为$|h|$个单位长度。
【答案】
向右；向左；$|h|$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的特征
【点评】
本题考查二次函数水平平移的基础知识点，核心是理解“左加右减”口诀的适用场景，明确平移方向与h符号的对应关系，注意平移距离为非负数，需取h的绝对值。
【难度系数】
0.9
