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12. 如图，x轴上依次有A,B,C,D,E,F六个点，且$AB=BC=CD=DE=EF=2$，从点A处向右上方沿抛物线$y=-x^2+16$发出一个带光的点P.
(1)求抛物线的顶点坐标，并在图中补画出y轴.
(2)已知抛物线上点$P(m,n)$，若$-2＜m＜4$，则n的取值范围为
(1)求抛物线的顶点坐标，并在图中补画出y轴.
(2)已知抛物线上点$P(m,n)$，若$-2＜m＜4$，则n的取值范围为
$0＜n≤16$
.答案
12. (1)$\because \quad$ 抛物线为 $y=-x^2+16$,
$\therefore \quad$ 抛物线的对称轴是 $y$ 轴,顶点为 $(0,16)$.
令 $y=0$,$\therefore \quad -x^2+16=0$.
$\therefore \quad x=-4$ 或 $x=4$.
$\therefore \quad$ 以 $C$ 为坐标原点,作图略.
(2)$0＜n≤16$
$\therefore \quad$ 抛物线的对称轴是 $y$ 轴,顶点为 $(0,16)$.
令 $y=0$,$\therefore \quad -x^2+16=0$.
$\therefore \quad x=-4$ 或 $x=4$.
$\therefore \quad$ 以 $C$ 为坐标原点,作图略.
(2)$0＜n≤16$
解析
【分析】
(1) 对于$y=ax^2+k$形式的二次函数，其顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为y轴，可直接得出顶点坐标；要确定y轴位置，先求抛物线与x轴的交点坐标，结合A是左交点、各相邻点间隔为2的条件，就能找到坐标原点的位置，进而画出y轴。
(2) 先明确抛物线开口向下，顶点为图象最高点，函数值最大为顶点纵坐标；再计算给定区间端点对应的函数值，结合m的取值范围，即可推导出n的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线解析式为$y=-x^2+16$，属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(0,16)$。
令$y=0$，代入解析式得$-x^2+16=0$，解得$x=-4$或$x=4$，即抛物线与x轴的左交点A的坐标为$(-4,0)$。
已知$AB=BC=CD=DE=EF=2$，从A点向右移动2个单位到B（坐标为-2），再移动2个单位到C，对应坐标为0，因此C点为坐标原点，y轴为过点C且与x轴垂直的直线，补图略。
(2) 抛物线$y=-x^2+16$开口向下，对称轴为y轴，顶点$(0,16)$是图象最高点，即函数最大值为16。
当$m=-2$时，$n=-(-2)^2+16=12$；当$m=4$时，$n=-4^2+16=0$。
由于$-2＜m＜4$，且$m=0$在该区间内，因此n的最大值为16，又因为$m＜4$，所以$n＞0$，即n的取值范围为$0＜n\le16$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$\boldsymbol{(0,16)}$，y轴为过点C且垂直于x轴的直线，补图略；
(2) $\boldsymbol{0＜n≤16}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数顶点坐标求解
3. 二次函数取值范围计算
【点评】
本题围绕$y=ax^2+k$类二次函数的基础性质设题，解题核心是熟练掌握该类二次函数的对称轴、顶点、开口方向等特征，同时结合数轴点的间隔确定坐标系原点，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 对于$y=ax^2+k$形式的二次函数，其顶点坐标为$(0,k)$，对称轴为y轴，可直接得出顶点坐标；要确定y轴位置，先求抛物线与x轴的交点坐标，结合A是左交点、各相邻点间隔为2的条件，就能找到坐标原点的位置，进而画出y轴。
(2) 先明确抛物线开口向下，顶点为图象最高点，函数值最大为顶点纵坐标；再计算给定区间端点对应的函数值，结合m的取值范围，即可推导出n的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线解析式为$y=-x^2+16$，属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(0,16)$。
令$y=0$，代入解析式得$-x^2+16=0$，解得$x=-4$或$x=4$，即抛物线与x轴的左交点A的坐标为$(-4,0)$。
已知$AB=BC=CD=DE=EF=2$，从A点向右移动2个单位到B（坐标为-2），再移动2个单位到C，对应坐标为0，因此C点为坐标原点，y轴为过点C且与x轴垂直的直线，补图略。
(2) 抛物线$y=-x^2+16$开口向下，对称轴为y轴，顶点$(0,16)$是图象最高点，即函数最大值为16。
当$m=-2$时，$n=-(-2)^2+16=12$；当$m=4$时，$n=-4^2+16=0$。
由于$-2＜m＜4$，且$m=0$在该区间内，因此n的最大值为16，又因为$m＜4$，所以$n＞0$，即n的取值范围为$0＜n\le16$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$\boldsymbol{(0,16)}$，y轴为过点C且垂直于x轴的直线，补图略；
(2) $\boldsymbol{0＜n≤16}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数顶点坐标求解
3. 二次函数取值范围计算
【点评】
本题围绕$y=ax^2+k$类二次函数的基础性质设题，解题核心是熟练掌握该类二次函数的对称轴、顶点、开口方向等特征，同时结合数轴点的间隔确定坐标系原点，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
13. 某文化园搭建一座抛物线形拱桥. 如图①,桥在路面的跨度AB的宽为20 m,桥拱最高处距离路面的距离为8 m. 搭建时在桥拱下方安置两个桥墩(关于桥拱对称轴对称)进行支撑,如图②,桥墩CD=EF=4 m.
(1)如图①,以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,求抛物线形拱桥对应的函数解析式.
(2)求两个桥墩之间的距离(不考虑桥墩的宽度).
(1)如图①,以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,求抛物线形拱桥对应的函数解析式.
(2)求两个桥墩之间的距离(不考虑桥墩的宽度).
答案
13. (1)如图,以 $AB$ 的中点 $O$ 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则桥拱最高点 $M$ 的坐标为 $(0,8)$.
$\because \quad AB=20$,
$\therefore \quad OB=10$.
$\therefore \quad B(10,0)$.
设抛物线形拱桥对应的函数解析式为 $y=ax^2+c$,
则$\begin{cases}c=8,\\100a+c=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.08,\\c=8.\end{cases}$
$\therefore \quad$ 抛物线形拱桥对应的函数解析式为 $y=-0.08x^2+8(-10≤x≤10)$.
(2)令 $y=4$,则 $-0.08x^2+8=4$.
解得 $x_1=-5\sqrt{2}$ ,$x_2=5\sqrt{2}$.
$\therefore \quad$ 两个桥墩之间的距离是 $10\sqrt{2}$ m.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式首先观察坐标系特征：本题抛物线顶点在y轴上，对称轴为y轴，符合$y=ax^2+k$的形式，因此可设解析式为$y=ax^2+c$简化计算。先根据已知条件确定抛物线上的两个点坐标：桥拱最高点M为顶点，坐标为$(0,8)$；AB跨度20m，O是AB中点，因此B点坐标为$(10,0)$，将两点代入解析式求解系数，最后结合实际写出x的取值范围即可。
(2) 桥墩高度为4m，对应抛物线上点的纵坐标$y=4$，将$y=4$代入已求出的解析式，解出对应的两个x值，由于两个桥墩关于y轴对称，两个x值的差即为桥墩之间的距离。
【解析】
(1) 以AB中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，桥拱最高点M为抛物线顶点，坐标为$(0,8)$。
已知$AB=20\ \mathrm{m}$，O为AB中点，因此$OB=10\ \mathrm{m}$，即B点坐标为$(10,0)$。
由于抛物线对称轴为y轴，设抛物线解析式为$y=ax^2+c$。
将$M(0,8)$、$B(10,0)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}c=8\\100a+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.08\\c=8\end{cases}$
结合桥拱的实际范围，x的取值范围为$-10≤ x≤10$，因此抛物线解析式为$y=-0.08x^2+8(-10≤ x≤10)$。
(2) 已知桥墩高度为4m，即对应抛物线上点的纵坐标$y=4$，将其代入解析式得：
$-0.08x^2+8=4$
整理得$x^2=50$，解得$x_1=-5\sqrt{2}$，$x_2=5\sqrt{2}$。
两个桥墩关于y轴对称，因此桥墩间距为$x_2-x_1=5\sqrt{2}-(-5\sqrt{2})=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)如图,以 $AB$ 的中点 $O$ 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则桥拱最高点 $M$ 的坐标为 $(0,8)$.
$\because \quad AB=20$,
$\therefore \quad OB=10$.
$\therefore \quad B(10,0)$.
设抛物线形拱桥对应的函数解析式为 $y=ax^2+c$,
则$\begin{cases}c=8,\\100a+c=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.08,\\c=8.\end{cases}$
$\therefore \quad$ 抛物线形拱桥对应的函数解析式为 $y=-0.08x^2+8(-10≤x≤10)$.
(2)令 $y=4$,则 $-0.08x^2+8=4$.
解得 $x_1=-5\sqrt{2}$ ,$x_2=5\sqrt{2}$.
$\therefore \quad$ 两个桥墩之间的距离是 $10\sqrt{2}$ m.
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，二次函数图象性质
【点评】
本题以生活中的抛物线拱桥为背景，考查二次函数的实际应用，解题核心是建立合适的平面直角坐标系，利用已知点求出函数解析式，再通过代入函数值求解对应自变量，是二次函数应用的基础典型题，有助于培养数学建模思维。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式首先观察坐标系特征：本题抛物线顶点在y轴上，对称轴为y轴，符合$y=ax^2+k$的形式，因此可设解析式为$y=ax^2+c$简化计算。先根据已知条件确定抛物线上的两个点坐标：桥拱最高点M为顶点，坐标为$(0,8)$；AB跨度20m，O是AB中点，因此B点坐标为$(10,0)$，将两点代入解析式求解系数，最后结合实际写出x的取值范围即可。
(2) 桥墩高度为4m，对应抛物线上点的纵坐标$y=4$，将$y=4$代入已求出的解析式，解出对应的两个x值，由于两个桥墩关于y轴对称，两个x值的差即为桥墩之间的距离。
【解析】
(1) 以AB中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，桥拱最高点M为抛物线顶点，坐标为$(0,8)$。
已知$AB=20\ \mathrm{m}$，O为AB中点，因此$OB=10\ \mathrm{m}$，即B点坐标为$(10,0)$。
由于抛物线对称轴为y轴，设抛物线解析式为$y=ax^2+c$。
将$M(0,8)$、$B(10,0)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}c=8\\100a+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-0.08\\c=8\end{cases}$
结合桥拱的实际范围，x的取值范围为$-10≤ x≤10$，因此抛物线解析式为$y=-0.08x^2+8(-10≤ x≤10)$。
(2) 已知桥墩高度为4m，即对应抛物线上点的纵坐标$y=4$，将其代入解析式得：
$-0.08x^2+8=4$
整理得$x^2=50$，解得$x_1=-5\sqrt{2}$，$x_2=5\sqrt{2}$。
两个桥墩关于y轴对称，因此桥墩间距为$x_2-x_1=5\sqrt{2}-(-5\sqrt{2})=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)如图,以 $AB$ 的中点 $O$ 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则桥拱最高点 $M$ 的坐标为 $(0,8)$.
$\because \quad AB=20$,
$\therefore \quad OB=10$.
$\therefore \quad B(10,0)$.
设抛物线形拱桥对应的函数解析式为 $y=ax^2+c$,
则$\begin{cases}c=8,\\100a+c=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.08,\\c=8.\end{cases}$
$\therefore \quad$ 抛物线形拱桥对应的函数解析式为 $y=-0.08x^2+8(-10≤x≤10)$.
(2)令 $y=4$,则 $-0.08x^2+8=4$.
解得 $x_1=-5\sqrt{2}$ ,$x_2=5\sqrt{2}$.
$\therefore \quad$ 两个桥墩之间的距离是 $10\sqrt{2}$ m.
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，二次函数图象性质
【点评】
本题以生活中的抛物线拱桥为背景，考查二次函数的实际应用，解题核心是建立合适的平面直角坐标系，利用已知点求出函数解析式，再通过代入函数值求解对应自变量，是二次函数应用的基础典型题，有助于培养数学建模思维。
【难度系数】
0.7
