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1. 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2$的开口向
下
，顶点坐标是(3,0)
，对称轴是直线$x=3$
。答案
1. 下 (3,0) $x=3$
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题思路如下：首先明确顶点式中各参数的意义：$a$的符号决定开口方向，$h$的取值决定顶点横坐标、对称轴的位置；再对应题干解析式找到$a$和$h$的具体取值；最后结合性质逐一推导开口方向、顶点坐标、对称轴即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2$，属于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的形式：
1. 开口方向：式中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，此处$h=3$，因此顶点坐标为$(3,0)$；
3. 对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此对称轴是直线$x=3$。
【答案】下；$(3,0)$；$x=3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；开口方向判断；顶点与对称轴求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，熟记相关结论即可快速得分，是二次函数章节的必拿分基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，解题思路如下：首先明确顶点式中各参数的意义：$a$的符号决定开口方向，$h$的取值决定顶点横坐标、对称轴的位置；再对应题干解析式找到$a$和$h$的具体取值；最后结合性质逐一推导开口方向、顶点坐标、对称轴即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2$，属于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的形式：
1. 开口方向：式中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，此处$h=3$，因此顶点坐标为$(3,0)$；
3. 对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，因此对称轴是直线$x=3$。
【答案】下；$(3,0)$；$x=3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；开口方向判断；顶点与对称轴求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，熟记相关结论即可快速得分，是二次函数章节的必拿分基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 点$A(-1,-2)$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$上，点$A,B$关于该抛物线的对称轴对称，则点$B$的坐标为
$(3,-2)$
。答案
2. $(3,-2)$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：其对称轴为直线$x=h$，先确定本题抛物线的对称轴。再根据两点关于直线对称的特征：对称点的纵坐标相等，两点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标，由此计算点B的坐标即可。
【解析】
1. 求抛物线的对称轴：
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2$（其中$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$），因此它的对称轴为直线$x=1$。
2. 计算点B的坐标：
已知点$A(-1,-2)$与点B关于直线$x=1$对称，根据轴对称的性质，两点纵坐标相等，即点B的纵坐标为$-2$；
设点B的横坐标为$x$，则两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\dfrac{x + (-1)}{2}=1$
解得：$x - 1 = 2$，$x=3$
因此点B的坐标为$(3,-2)$。
【答案】
$(3,-2)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 轴对称点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式中对称轴的判断方法，结合轴对称的坐标规律即可快速求解，是二次函数性质的常规考查题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：其对称轴为直线$x=h$，先确定本题抛物线的对称轴。再根据两点关于直线对称的特征：对称点的纵坐标相等，两点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标，由此计算点B的坐标即可。
【解析】
1. 求抛物线的对称轴：
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2$（其中$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$），因此它的对称轴为直线$x=1$。
2. 计算点B的坐标：
已知点$A(-1,-2)$与点B关于直线$x=1$对称，根据轴对称的性质，两点纵坐标相等，即点B的纵坐标为$-2$；
设点B的横坐标为$x$，则两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\dfrac{x + (-1)}{2}=1$
解得：$x - 1 = 2$，$x=3$
因此点B的坐标为$(3,-2)$。
【答案】
$(3,-2)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 轴对称点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式中对称轴的判断方法，结合轴对称的坐标规律即可快速求解，是二次函数性质的常规考查题。
【难度系数】
0.9
3. 已知$A(-4,y_1),B(-3,y_2),C(3,y_3)$三点都在二次函数$y=-2(x+2)^2$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_3＜y_1＜y_2$
。答案
3. $y_3＜y_1＜y_2$
解析
【分析】
解题思路可从二次函数顶点式的性质入手：首先明确二次函数$y=a(x-h)^2$的开口方向由$a$的符号决定，对称轴为直线$x=h$；当$a＜0$时，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越小。我们可以先求出给定函数的开口方向和对称轴，再计算三个点的横坐标到对称轴的距离，通过距离大小判断$y_1,y_2,y_3$的大小，也可以直接将三点横坐标代入解析式计算出函数值后比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
对于二次函数$y=-2(x+2)^2$：
$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$；
计算各点到对称轴的距离：
点$A(-4,y_1)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -4 - (-2)\vert=2$；
点$B(-3,y_2)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -3 - (-2)\vert=1$；
点$C(3,y_3)$到直线$x=-2$的距离：$\vert 3 - (-2)\vert=5$；
$\because$开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越大，函数值越小，且$5＞2＞1$，
$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
方法二：代入计算比较
将三点横坐标分别代入函数解析式：
当$x=-4$时，$y_1=-2×(-4+2)^2=-2×4=-8$；
当$x=-3$时，$y_2=-2×(-3+2)^2=-2×1=-2$；
当$x=3$时，$y_3=-2×(3+2)^2=-2×25=-50$；
$\because -50＜-8＜-2$，$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数值的大小比较
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用，两种解题方法中，利用抛物线开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小的方法更为简便，熟练掌握顶点式中参数$a$、$h$的几何意义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路可从二次函数顶点式的性质入手：首先明确二次函数$y=a(x-h)^2$的开口方向由$a$的符号决定，对称轴为直线$x=h$；当$a＜0$时，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越小。我们可以先求出给定函数的开口方向和对称轴，再计算三个点的横坐标到对称轴的距离，通过距离大小判断$y_1,y_2,y_3$的大小，也可以直接将三点横坐标代入解析式计算出函数值后比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
对于二次函数$y=-2(x+2)^2$：
$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$；
计算各点到对称轴的距离：
点$A(-4,y_1)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -4 - (-2)\vert=2$；
点$B(-3,y_2)$到直线$x=-2$的距离：$\vert -3 - (-2)\vert=1$；
点$C(3,y_3)$到直线$x=-2$的距离：$\vert 3 - (-2)\vert=5$；
$\because$开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越大，函数值越小，且$5＞2＞1$，
$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
方法二：代入计算比较
将三点横坐标分别代入函数解析式：
当$x=-4$时，$y_1=-2×(-4+2)^2=-2×4=-8$；
当$x=-3$时，$y_2=-2×(-3+2)^2=-2×1=-2$；
当$x=3$时，$y_3=-2×(3+2)^2=-2×25=-50$；
$\because -50＜-8＜-2$，$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数值的大小比较
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用，两种解题方法中，利用抛物线开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小的方法更为简便，熟练掌握顶点式中参数$a$、$h$的几何意义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 已知抛物线$y=a(x-h)^2$，对称轴为直线$x=2$，此抛物线过点$(1,-3)$。
(1)求抛物线对应的函数解析式，并指出当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小。
(2)求该抛物线关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式。
(1)求抛物线对应的函数解析式，并指出当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小。
(2)求该抛物线关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式。
答案
4. (1)
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=2$,
∴ $h=2$,即抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2$.
∵ 抛物线过点$(1,-3)$,
∴ $-3=a(1-2)^2$. 解得$a=-3$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x-2)^2$.
∴ 抛物线的开口向下.
∵ 对称轴为直线$x=2$,
∴ 当$x＞2$时,$y$随$x$的增大而减小.
(2)由(1)可知,该抛物线为$y=-3(x-2)^2$,顶点坐标为$(2,0)$,
∴ 该抛物线关于$y$轴对称的抛物线的顶点坐标为$(-2,0)$.
∴ 该抛物线关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x+2)^2$.
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=2$,
∴ $h=2$,即抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2$.
∵ 抛物线过点$(1,-3)$,
∴ $-3=a(1-2)^2$. 解得$a=-3$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x-2)^2$.
∴ 抛物线的开口向下.
∵ 对称轴为直线$x=2$,
∴ 当$x＞2$时,$y$随$x$的增大而减小.
(2)由(1)可知,该抛物线为$y=-3(x-2)^2$,顶点坐标为$(2,0)$,
∴ 该抛物线关于$y$轴对称的抛物线的顶点坐标为$(-2,0)$.
∴ 该抛物线关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x+2)^2$.
解析
【分析】
（1）对于顶点式二次函数$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此先根据已知对称轴求出$h$的值，得到仅含参数$a$的解析式，再将已知点坐标代入求出$a$的值，即可确定最终的函数解析式；接下来根据$a$的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴就能得出$y$随$x$增大而减小的$x$的取值范围。
（2）抛物线关于$y$轴对称时，开口方向、开口大小均不变，即$a$值不变，仅顶点坐标关于$y$轴对称，因此先求出原抛物线的顶点坐标，再得到对称后的顶点坐标，代入顶点式即可求出对称后的抛物线解析式。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=2$,
∴ $h=2$,即抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2$.
∵ 抛物线过点$(1,-3)$,
∴ $-3=a(1-2)^2$，解得$a=-3$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x-2)^2$.
∵ $a=-3＜0$，抛物线开口向下，
又
∵ 对称轴为直线$x=2$,
∴ 当$x＞2$时,$y$随$x$的增大而减小.
(2)由(1)可知,该抛物线为$y=-3(x-2)^2$,顶点坐标为$(2,0)$,
∵ 关于$y$轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴ 该抛物线关于$y$轴对称的抛物线的顶点坐标为$(-2,0)$，且$a$值不变，
∴ 该抛物线关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x+2)^2$.
【答案】
(1) 抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x-2)^2$，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；
(2) 关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x+2)^2$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数轴对称变换
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题核心是掌握顶点式中各参数的几何意义，以及轴对称变换对函数特征的影响，理清参数和函数性质的对应关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）对于顶点式二次函数$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此先根据已知对称轴求出$h$的值，得到仅含参数$a$的解析式，再将已知点坐标代入求出$a$的值，即可确定最终的函数解析式；接下来根据$a$的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴就能得出$y$随$x$增大而减小的$x$的取值范围。
（2）抛物线关于$y$轴对称时，开口方向、开口大小均不变，即$a$值不变，仅顶点坐标关于$y$轴对称，因此先求出原抛物线的顶点坐标，再得到对称后的顶点坐标，代入顶点式即可求出对称后的抛物线解析式。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=2$,
∴ $h=2$,即抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2$.
∵ 抛物线过点$(1,-3)$,
∴ $-3=a(1-2)^2$，解得$a=-3$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x-2)^2$.
∵ $a=-3＜0$，抛物线开口向下，
又
∵ 对称轴为直线$x=2$,
∴ 当$x＞2$时,$y$随$x$的增大而减小.
(2)由(1)可知,该抛物线为$y=-3(x-2)^2$,顶点坐标为$(2,0)$,
∵ 关于$y$轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴ 该抛物线关于$y$轴对称的抛物线的顶点坐标为$(-2,0)$，且$a$值不变，
∴ 该抛物线关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x+2)^2$.
【答案】
(1) 抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x-2)^2$，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；
(2) 关于$y$轴对称的抛物线对应的函数解析式为$y=-3(x+2)^2$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数轴对称变换
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题核心是掌握顶点式中各参数的几何意义，以及轴对称变换对函数特征的影响，理清参数和函数性质的对应关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 若抛物线 $ y=2(x-m)^{m^2 -4m -3} $ 的顶点在x轴的正半轴上，则m的值为（
A.5
B.-1
C.5或-1
D.-5
A
）A.5
B.-1
C.5或-1
D.-5
答案
5. A
解析
【分析】
要解决这道题，需要同时满足两个条件：①该函数是抛物线，因此属于二次函数，需符合二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0；②抛物线顶点在x轴正半轴上，结合二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，可得顶点横坐标大于0。解题时先根据二次函数定义求出m的可能取值，再结合顶点位置的限制筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
解：
∵函数$y=2(x-m)^{m^2 -4m -3}$是抛物线
∴该函数为二次函数，满足：
1. 二次项系数$2≠0$，恒成立；
2. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$m^2 -4m -3 = 2$
整理得$m^2 -4m -5 = 0$
因式分解得$(m-5)(m+1)=0$
解得$m=5$或$m=-1$
又
∵抛物线顶点在x轴的正半轴上
二次函数$y=2(x-m)^2$的顶点坐标为$(m,0)$
∴顶点横坐标$m＞0$
$m=-1$不符合$m＞0$的要求，舍去；$m=5$符合条件。
综上，m的值为5，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；二次函数顶点式；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，易错点是求解后忽略顶点在x轴正半轴的限制条件，误选两个解，解题时要注意结合题目所有限制条件对所求结果进行验证，避免多解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需要同时满足两个条件：①该函数是抛物线，因此属于二次函数，需符合二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0；②抛物线顶点在x轴正半轴上，结合二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，可得顶点横坐标大于0。解题时先根据二次函数定义求出m的可能取值，再结合顶点位置的限制筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
解：
∵函数$y=2(x-m)^{m^2 -4m -3}$是抛物线
∴该函数为二次函数，满足：
1. 二次项系数$2≠0$，恒成立；
2. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$m^2 -4m -3 = 2$
整理得$m^2 -4m -5 = 0$
因式分解得$(m-5)(m+1)=0$
解得$m=5$或$m=-1$
又
∵抛物线顶点在x轴的正半轴上
二次函数$y=2(x-m)^2$的顶点坐标为$(m,0)$
∴顶点横坐标$m＞0$
$m=-1$不符合$m＞0$的要求，舍去；$m=5$符合条件。
综上，m的值为5，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；二次函数顶点式；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，易错点是求解后忽略顶点在x轴正半轴的限制条件，误选两个解，解题时要注意结合题目所有限制条件对所求结果进行验证，避免多解。
【难度系数】
0.7
6. 已知抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点是$(-3,0)$，它是由抛物线$y=-4x^2$平移得到的，则$a=$
-4
，$h=$-3
。答案
6. -4 -3
解析
【分析】
解题可分两步推导：第一步，根据抛物线平移的性质，平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a与原抛物线的系数完全相同，可直接得出a的值；第二步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标，对应即可求出h的值。
【解析】
1. 求$a$的值：
抛物线平移过程中形状、开口方向均不发生变化，因此二次项系数$a$与原抛物线$y=-4x^2$的二次项系数相等，即$a=-4$。
2. 求$h$的值：
二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，已知该抛物线顶点为$(-3,0)$，对应可得$h=-3$。
【答案】
$-4$；$-3$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数平移的核心特征和顶点式参数的对应关系，掌握平移不改变二次项系数、牢记顶点式对应的顶点坐标即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题可分两步推导：第一步，根据抛物线平移的性质，平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a与原抛物线的系数完全相同，可直接得出a的值；第二步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标，对应即可求出h的值。
【解析】
1. 求$a$的值：
抛物线平移过程中形状、开口方向均不发生变化，因此二次项系数$a$与原抛物线$y=-4x^2$的二次项系数相等，即$a=-4$。
2. 求$h$的值：
二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，已知该抛物线顶点为$(-3,0)$，对应可得$h=-3$。
【答案】
$-4$；$-3$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数平移的核心特征和顶点式参数的对应关系，掌握平移不改变二次项系数、牢记顶点式对应的顶点坐标即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7. 将抛物线$y=2x^2$进行如下变换:先沿$x$轴翻折,再向右平移3个单位长度.变换后的抛物线对应的函数解析式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
7. $y=-2(x-3)^2$
解析
【分析】
解决二次函数图象变换类问题，需按照给定的变换顺序逐步调整解析式：①先掌握沿x轴翻折的规律：翻折后图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，对应解析式的整体符号改变；②再掌握左右平移的规律：沿x轴平移遵循“左加右减”原则，即向右平移n个单位，要把当前解析式里的自变量x替换为(x-n)，注意变换顺序不能颠倒，每一步仅调整当前的解析式即可。
【解析】
第一步：对$y=2x^2$进行沿x轴翻折的变换
沿x轴翻折后，原图象上任意点$(x,y)$变为$(x,-y)$，代入原解析式得$-y=2x^2$，整理后翻折的解析式为$y=-2x^2$。
第二步：对翻折后的解析式进行向右平移3个单位的变换
根据“左加右减”的平移规则，向右平移3个单位，需将解析式中的$x$替换为$x-3$，代入$y=-2x^2$得$y=-2(x-3)^2$。
【答案】
$y=-2(x-3)^2$
【知识点】
二次函数翻折变换；二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题，核心是牢记翻折、平移的变换规则，同时要注意变换的先后顺序，避免混淆平移方向对应的符号，或是错误调整常数项而非自变量。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图象变换类问题，需按照给定的变换顺序逐步调整解析式：①先掌握沿x轴翻折的规律：翻折后图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，对应解析式的整体符号改变；②再掌握左右平移的规律：沿x轴平移遵循“左加右减”原则，即向右平移n个单位，要把当前解析式里的自变量x替换为(x-n)，注意变换顺序不能颠倒，每一步仅调整当前的解析式即可。
【解析】
第一步：对$y=2x^2$进行沿x轴翻折的变换
沿x轴翻折后，原图象上任意点$(x,y)$变为$(x,-y)$，代入原解析式得$-y=2x^2$，整理后翻折的解析式为$y=-2x^2$。
第二步：对翻折后的解析式进行向右平移3个单位的变换
根据“左加右减”的平移规则，向右平移3个单位，需将解析式中的$x$替换为$x-3$，代入$y=-2x^2$得$y=-2(x-3)^2$。
【答案】
$y=-2(x-3)^2$
【知识点】
二次函数翻折变换；二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题，核心是牢记翻折、平移的变换规则，同时要注意变换的先后顺序，避免混淆平移方向对应的符号，或是错误调整常数项而非自变量。
【难度系数】
0.8
8. 已知二次函数$y=-2(x+b)^2$，当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，则当$x=1$时，$y$的值为（
A.$-12$
B.$12$
C.$32$
D.$-32$
D
）A.$-12$
B.$12$
C.$32$
D.$-32$
答案
8. D
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，增减性发生变化的位置就是抛物线的对称轴。本题给出函数增减性的变化分界点为$x=-3$，说明该函数的对称轴就是$x=-3$，我们先根据顶点式的对称轴公式求出参数$b$的值，再将$x=1$代入解析式即可求出对应的$y$值。
【解析】
解：对于二次函数$y=-2(x+b)^2$，
∵ $a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，其对称轴为直线$x=-b$，
由题意可知，函数在$x=-3$处增减性发生变化，即对称轴为直线$x=-3$，
∴ $-b=-3$，解得$b=3$，
∴ 二次函数解析式为$y=-2(x+3)^2$，
当$x=1$时，代入得：
$y=-2×(1+3)^2=-2×16=-32$
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.二次函数增减性 3.二次函数对称轴
【点评】
本题核心考查二次函数顶点式的增减性与对称轴的对应关系，解题的突破口是根据函数增减性的分界点确定对称轴位置，进而求出未知参数，再代入计算函数值，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，增减性发生变化的位置就是抛物线的对称轴。本题给出函数增减性的变化分界点为$x=-3$，说明该函数的对称轴就是$x=-3$，我们先根据顶点式的对称轴公式求出参数$b$的值，再将$x=1$代入解析式即可求出对应的$y$值。
【解析】
解：对于二次函数$y=-2(x+b)^2$，
∵ $a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，其对称轴为直线$x=-b$，
由题意可知，函数在$x=-3$处增减性发生变化，即对称轴为直线$x=-3$，
∴ $-b=-3$，解得$b=3$，
∴ 二次函数解析式为$y=-2(x+3)^2$，
当$x=1$时，代入得：
$y=-2×(1+3)^2=-2×16=-32$
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.二次函数增减性 3.二次函数对称轴
【点评】
本题核心考查二次函数顶点式的增减性与对称轴的对应关系，解题的突破口是根据函数增减性的分界点确定对称轴位置，进而求出未知参数，再代入计算函数值，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 关于二次函数$y=3x^2+1$和$y=3(x-1)^2$,有以下说法:①它们图象的开口方向、大小相同；②它们图象的对称轴都是$y$轴,顶点坐标都是点$(0,1)$；③当$x＞0$时,它们的函数值$y$都随着$x$的增大而增大；④它们的图象与坐标轴都有一个交点. 其中正确的说法为
①
.(填序号)答案
9. ①
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质逐一判断：参数$a$决定图象的开口方向和开口大小，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性以对称轴为分界，与坐标轴的交点可分别令$x=0$、$y=0$求解。我们先分别梳理两个二次函数的各项性质，再验证4个说法的正误即可。
【解析】
先分别明确两个二次函数的性质：
1. 对于$y=3x^2+1$：$a=3＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=0$（即y轴）；顶点坐标为$(0,1)$；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；令$y=0$时方程无实根，与x轴无交点，令$x=0$得$y=1$，仅与y轴有1个交点。
2. 对于$y=3(x-1)^2$：$a=3＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=1$；顶点坐标为$(1,0)$；当$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，当$x＜1$时$y$随$x$增大而减小；令$y=0$得$x=1$，与x轴有1个交点，令$x=0$得$y=3$，与y轴有1个交点，共2个与坐标轴的交点。
逐一判断说法：
① 两个函数的$a$都为3，开口均向上，且$|a|$相同所以开口大小相同，该说法正确；
② $y=3(x-1)^2$的对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,0)$，该说法错误；
③ 对于$y=3(x-1)^2$，当$0＜x＜1$时$y$随$x$增大而减小，因此“当$x＞0$时函数值都随$x$增大而增大”不成立，该说法错误；
④ $y=3(x-1)^2$与坐标轴共有2个交点，该说法错误。
【答案】
①
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数性质的基础辨析题，核心是熟练掌握顶点式中各参数对应的函数性质，判断增减性时必须结合对称轴的范围，判断交点时要分别计算与x轴、y轴的交点再计数，避免误判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质逐一判断：参数$a$决定图象的开口方向和开口大小，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性以对称轴为分界，与坐标轴的交点可分别令$x=0$、$y=0$求解。我们先分别梳理两个二次函数的各项性质，再验证4个说法的正误即可。
【解析】
先分别明确两个二次函数的性质：
1. 对于$y=3x^2+1$：$a=3＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=0$（即y轴）；顶点坐标为$(0,1)$；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；令$y=0$时方程无实根，与x轴无交点，令$x=0$得$y=1$，仅与y轴有1个交点。
2. 对于$y=3(x-1)^2$：$a=3＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=1$；顶点坐标为$(1,0)$；当$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，当$x＜1$时$y$随$x$增大而减小；令$y=0$得$x=1$，与x轴有1个交点，令$x=0$得$y=3$，与y轴有1个交点，共2个与坐标轴的交点。
逐一判断说法：
① 两个函数的$a$都为3，开口均向上，且$|a|$相同所以开口大小相同，该说法正确；
② $y=3(x-1)^2$的对称轴是直线$x=1$，顶点坐标是$(1,0)$，该说法错误；
③ 对于$y=3(x-1)^2$，当$0＜x＜1$时$y$随$x$增大而减小，因此“当$x＞0$时函数值都随$x$增大而增大”不成立，该说法错误；
④ $y=3(x-1)^2$与坐标轴共有2个交点，该说法错误。
【答案】
①
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数性质的基础辨析题，核心是熟练掌握顶点式中各参数对应的函数性质，判断增减性时必须结合对称轴的范围，判断交点时要分别计算与x轴、y轴的交点再计数，避免误判。
【难度系数】
0.7
10. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲:与$x$轴只有一个交点；
乙:对称轴是直线$x=4$；
丙:与$y$轴的交点到原点的距离为3.
满足上述全部特点的二次函数的解析式为
甲:与$x$轴只有一个交点；
乙:对称轴是直线$x=4$；
丙:与$y$轴的交点到原点的距离为3.
满足上述全部特点的二次函数的解析式为
$y=\dfrac{3}{16}(x-4)^2$ 或 $y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$
.答案
10. $y=\dfrac{3}{16}(x-4)^2$ 或 $y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，二次函数与x轴只有一个交点，说明这个交点就是函数的顶点，顶点的纵坐标为0；再结合对称轴是直线x=4，可直接确定顶点坐标为(4,0)，因此选择设二次函数的顶点式来求解更简便。接下来处理丙给出的条件：与y轴交点到原点的距离为3，说明交点的横坐标为0，纵坐标的绝对值为3，即交点坐标有(0,3)和(0,-3)两种情况，分别代入顶点式即可求出参数a的值，注意不要漏解。
【解析】
1. 确定顶点坐标：
∵ 二次函数对称轴为直线$x=4$，且与$x$轴只有一个交点，
∴ 该二次函数的顶点坐标为$(4,0)$。
2. 设函数解析式：
设二次函数的解析式为顶点式$y=a(x-4)^2$（$a≠0$）。
3. 求与y轴的交点坐标：
∵ 二次函数与$y$轴的交点到原点的距离为3，
∴ 当$x=0$时，$y=\pm3$，即交点坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
4. 代入求参数$a$：
将$(0,3)$代入$y=a(x-4)^2$得：$3=a(0-4)^2$，即$16a=3$，解得$a=\frac{3}{16}$，此时解析式为$y=\frac{3}{16}(x-4)^2$；
将$(0,-3)$代入$y=a(x-4)^2$得：$-3=a(0-4)^2$，即$16a=-3$，解得$a=-\frac{3}{16}$，此时解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{16}(x-4)^2$ 或 $y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、点到坐标轴的距离
【点评】
本题重点考查二次函数解析式的求解，核心是结合已知条件选择合适的解析式形式简化计算，同时要注意距离类条件对应的坐标存在正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先，二次函数与x轴只有一个交点，说明这个交点就是函数的顶点，顶点的纵坐标为0；再结合对称轴是直线x=4，可直接确定顶点坐标为(4,0)，因此选择设二次函数的顶点式来求解更简便。接下来处理丙给出的条件：与y轴交点到原点的距离为3，说明交点的横坐标为0，纵坐标的绝对值为3，即交点坐标有(0,3)和(0,-3)两种情况，分别代入顶点式即可求出参数a的值，注意不要漏解。
【解析】
1. 确定顶点坐标：
∵ 二次函数对称轴为直线$x=4$，且与$x$轴只有一个交点，
∴ 该二次函数的顶点坐标为$(4,0)$。
2. 设函数解析式：
设二次函数的解析式为顶点式$y=a(x-4)^2$（$a≠0$）。
3. 求与y轴的交点坐标：
∵ 二次函数与$y$轴的交点到原点的距离为3，
∴ 当$x=0$时，$y=\pm3$，即交点坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
4. 代入求参数$a$：
将$(0,3)$代入$y=a(x-4)^2$得：$3=a(0-4)^2$，即$16a=3$，解得$a=\frac{3}{16}$，此时解析式为$y=\frac{3}{16}(x-4)^2$；
将$(0,-3)$代入$y=a(x-4)^2$得：$-3=a(0-4)^2$，即$16a=-3$，解得$a=-\frac{3}{16}$，此时解析式为$y=-\frac{3}{16}(x-4)^2$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{16}(x-4)^2$ 或 $y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、点到坐标轴的距离
【点评】
本题重点考查二次函数解析式的求解，核心是结合已知条件选择合适的解析式形式简化计算，同时要注意距离类条件对应的坐标存在正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11. 在平面直角坐标系内有线段PQ,已知P(3,1),Q(9,1),若抛物线$y=(x-a)^2$与线段PQ有交点,则a的取值范围是
$2≤ a≤ 10$
.答案
11. $2≤ a≤ 10$
解析
【分析】
首先观察线段PQ的两个端点坐标，发现两点纵坐标均为1，因此线段PQ是平行于x轴的线段，对应y=1且x的取值范围为3≤x≤9。抛物线$y=(x-a)^2$是开口向上、顶点在$(a,0)$的抛物线，可沿x轴左右平移。抛物线与线段PQ有交点，等价于当x在$[3,9]$范围内时，方程$(x-a)^2=1$有解。我们可以先计算抛物线刚好经过线段两个端点时a的临界值，再结合抛物线平移的规律确定a的取值范围。
【解析】
1. 确定线段PQ的特征：
已知$P(3,1)$、$Q(9,1)$，两点纵坐标相同，因此线段PQ对应的函数为$y=1$，其中x的取值范围是$3≤x≤9$。
2. 联立方程求解交点条件：
将$y=1$代入抛物线解析式得：
$(x-a)^2=1$
开方得：$x-a=\pm1$，即$x=a+1$或$x=a-1$。
3. 求临界a值：
当抛物线经过点$P(3,1)$时，把$x=3,y=1$代入解析式得：
$1=(3-a)^2$
解得$a=3+1=4$或$a=3-1=2$。
当抛物线经过点$Q(9,1)$时，把$x=9,y=1$代入解析式得：
$1=(9-a)^2$
解得$a=9+1=10$或$a=9-1=8$。
4. 确定a的取值范围：
抛物线沿x轴平移时，当a在2到10之间，两个解$x=a+1$或$x=a-1$至少有一个落在$[3,9]$区间内，即抛物线与线段PQ有交点；当$a＜2$或$a＞10$时，两个解均不在$[3,9]$范围内，无交点。
因此a的取值范围是$2≤a≤10$。
【答案】
$2≤ a≤ 10$
【知识点】
二次函数的图象性质；函数交点问题；一元二次方程求解
【点评】
本题考查二次函数平移与线段交点的参数范围问题，解题核心是先明确线段的取值范围，再通过临界位置计算参数的边界值，结合数形结合思想可以更直观地判断参数的取值区间。
【难度系数】
0.6
首先观察线段PQ的两个端点坐标，发现两点纵坐标均为1，因此线段PQ是平行于x轴的线段，对应y=1且x的取值范围为3≤x≤9。抛物线$y=(x-a)^2$是开口向上、顶点在$(a,0)$的抛物线，可沿x轴左右平移。抛物线与线段PQ有交点，等价于当x在$[3,9]$范围内时，方程$(x-a)^2=1$有解。我们可以先计算抛物线刚好经过线段两个端点时a的临界值，再结合抛物线平移的规律确定a的取值范围。
【解析】
1. 确定线段PQ的特征：
已知$P(3,1)$、$Q(9,1)$，两点纵坐标相同，因此线段PQ对应的函数为$y=1$，其中x的取值范围是$3≤x≤9$。
2. 联立方程求解交点条件：
将$y=1$代入抛物线解析式得：
$(x-a)^2=1$
开方得：$x-a=\pm1$，即$x=a+1$或$x=a-1$。
3. 求临界a值：
当抛物线经过点$P(3,1)$时，把$x=3,y=1$代入解析式得：
$1=(3-a)^2$
解得$a=3+1=4$或$a=3-1=2$。
当抛物线经过点$Q(9,1)$时，把$x=9,y=1$代入解析式得：
$1=(9-a)^2$
解得$a=9+1=10$或$a=9-1=8$。
4. 确定a的取值范围：
抛物线沿x轴平移时，当a在2到10之间，两个解$x=a+1$或$x=a-1$至少有一个落在$[3,9]$区间内，即抛物线与线段PQ有交点；当$a＜2$或$a＞10$时，两个解均不在$[3,9]$范围内，无交点。
因此a的取值范围是$2≤a≤10$。
【答案】
$2≤ a≤ 10$
【知识点】
二次函数的图象性质；函数交点问题；一元二次方程求解
【点评】
本题考查二次函数平移与线段交点的参数范围问题，解题核心是先明确线段的取值范围，再通过临界位置计算参数的边界值，结合数形结合思想可以更直观地判断参数的取值区间。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$B(2,0)$,与y轴交于点A,过点A作$AC⊥y$轴,交该抛物线于点C,连接BC,以AC,BC为边作$□ ACBD$,点D在x轴的负半轴上.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)求点D的坐标及$□ ACBD$的面积.
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)求点D的坐标及$□ ACBD$的面积.
答案
12. (1)
∵ 抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$B(2,0)$,
∴ 将$B(2,0)$代入$y=(x-h)^2$,得
$0=(2-h)^2$,即$h=2$.
∴ 该抛物线对应的函数解析式为$y=(x-2)^2$.
(2)
∵ 该抛物线的对称轴为直线$x=2$,
∴ $AC=4$.
又 当$x=0$时,$y=4$,
∴ $OA=4$.
∵ 四边形$ACBD$是平行四边形,
∴ $BD=AC=4$.
∵ $OB=2$,
∴ $OD=2$.
∴ 点$D$的坐标为$(-2,0)$.
∴ $□ACBD$的面积为$4×4=16$.
∵ 抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$B(2,0)$,
∴ 将$B(2,0)$代入$y=(x-h)^2$,得
$0=(2-h)^2$,即$h=2$.
∴ 该抛物线对应的函数解析式为$y=(x-2)^2$.
(2)
∵ 该抛物线的对称轴为直线$x=2$,
∴ $AC=4$.
又 当$x=0$时,$y=4$,
∴ $OA=4$.
∵ 四边形$ACBD$是平行四边形,
∴ $BD=AC=4$.
∵ $OB=2$,
∴ $OD=2$.
∴ 点$D$的坐标为$(-2,0)$.
∴ $□ACBD$的面积为$4×4=16$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线解析式为顶点式$y=(x-h)^2$，且给出了顶点$B$的坐标，顶点式中顶点的横坐标就是参数$h$的值，将顶点坐标代入解析式即可求出$h$，进而得到抛物线的函数解析式。
(2) 第一步先求点$A$的坐标：$A$是抛物线与$y$轴的交点，令$x=0$代入抛物线解析式就能求出$A$点纵坐标，得到$OA$的长度；第二步利用抛物线的对称性，抛物线对称轴为直线$x=2$，$AC$垂直$y$轴即$AC$平行于$x$轴，因此$A$、$C$关于对称轴对称，可求出$AC$的长度；第三步根据平行四边形对边相等的性质，得$BD=AC$，结合$B$点坐标就能求出$D$点坐标；最后平行四边形面积用底（$AC$的长度）乘高（$OA$的长度）计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$B(2,0)$，
$\therefore$ 将$B(2,0)$代入$y=(x-h)^2$，得$0=(2-h)^2$，解得$h=2$，
$\therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为$y=(x-2)^2$。
(2) 由抛物线解析式$y=(x-2)^2$可知，其对称轴为直线$x=2$，
$\because AC⊥ y$轴，即$AC// x$轴，$A$、$C$均在抛物线上，
$\therefore A$、$C$关于对称轴$x=2$对称，
当$x=0$时，$y=(0-2)^2=4$，即点$A$坐标为$(0,4)$，
$\therefore AC=2×2=4$，$OA=4$，
$\because$ 四边形$ACBD$是平行四边形，
$\therefore BD=AC=4$，
$\because$ 点$B$坐标为$(2,0)$，点$D$在$x$轴负半轴，
$\therefore OD=BD-OB=4-2=2$，即点$D$坐标为$(-2,0)$，
$\therefore □ ACBD$的面积 = 底$AC ×$ 高$OA = 4×4=16$。
【答案】
(1) $y=(x-2)^2$；
(2) 点$D$的坐标为$(-2,0)$，$□ ACBD$的面积为$16$。
【知识点】
二次函数顶点式的应用；平行四边形的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与几何图形的基础综合题，解题的核心是熟练运用二次函数的基本性质，结合平行四边形的性质求解，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线解析式为顶点式$y=(x-h)^2$，且给出了顶点$B$的坐标，顶点式中顶点的横坐标就是参数$h$的值，将顶点坐标代入解析式即可求出$h$，进而得到抛物线的函数解析式。
(2) 第一步先求点$A$的坐标：$A$是抛物线与$y$轴的交点，令$x=0$代入抛物线解析式就能求出$A$点纵坐标，得到$OA$的长度；第二步利用抛物线的对称性，抛物线对称轴为直线$x=2$，$AC$垂直$y$轴即$AC$平行于$x$轴，因此$A$、$C$关于对称轴对称，可求出$AC$的长度；第三步根据平行四边形对边相等的性质，得$BD=AC$，结合$B$点坐标就能求出$D$点坐标；最后平行四边形面积用底（$AC$的长度）乘高（$OA$的长度）计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$B(2,0)$，
$\therefore$ 将$B(2,0)$代入$y=(x-h)^2$，得$0=(2-h)^2$，解得$h=2$，
$\therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为$y=(x-2)^2$。
(2) 由抛物线解析式$y=(x-2)^2$可知，其对称轴为直线$x=2$，
$\because AC⊥ y$轴，即$AC// x$轴，$A$、$C$均在抛物线上，
$\therefore A$、$C$关于对称轴$x=2$对称，
当$x=0$时，$y=(0-2)^2=4$，即点$A$坐标为$(0,4)$，
$\therefore AC=2×2=4$，$OA=4$，
$\because$ 四边形$ACBD$是平行四边形，
$\therefore BD=AC=4$，
$\because$ 点$B$坐标为$(2,0)$，点$D$在$x$轴负半轴，
$\therefore OD=BD-OB=4-2=2$，即点$D$坐标为$(-2,0)$，
$\therefore □ ACBD$的面积 = 底$AC ×$ 高$OA = 4×4=16$。
【答案】
(1) $y=(x-2)^2$；
(2) 点$D$的坐标为$(-2,0)$，$□ ACBD$的面积为$16$。
【知识点】
二次函数顶点式的应用；平行四边形的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与几何图形的基础综合题，解题的核心是熟练运用二次函数的基本性质，结合平行四边形的性质求解，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
