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13. 如图,在 $Rt△ OAB$ 中, $∠ OAB=90°$, $O$ 为坐标原点,边 $OA$ 在 $x$ 轴上, $OA=AB=1$ 个单位长度,把 $Rt△ OAB$ 沿 $x$ 轴正方向平移1个单位长度后得到 $△ AA_1B_1$.
(1)求以 $A$ 为顶点,且经过点 $B_1$ 的抛物线对应的函数解析式;
(2)若(1)中的抛物线与 $OB$ 交于点 $C$,与 $y$ 轴交于点 $D$,求点 $D,C$ 的坐标.
(1)求以 $A$ 为顶点,且经过点 $B_1$ 的抛物线对应的函数解析式;
(2)若(1)中的抛物线与 $OB$ 交于点 $C$,与 $y$ 轴交于点 $D$,求点 $D,C$ 的坐标.
答案
13. (1)由题意可知$A(1,0)$,$A_1(2,0)$,$B_1(2,1)$.
设以$A$为顶点的抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2$.
∵ 此抛物线过点$B_1(2,1)$,
∴ $1=a(2-1)^2$.
∴ $a=1$.
∴ 此抛物线对应的函数解析式为$y=(x-1)^2$.
(2)
∵ 当$x=0$时,$y=(0-1)^2=1$,
∴ 点$D$的坐标为$(0,1)$.
由题意得$OB$在第一象限的角平分线上,故可设$C(m,m)$,
代入$y=(x-1)^2$,得$m=(m-1)^2$.
解得$m_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}＜1$,$m_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$(舍去).
∴ 点$C$的坐标为$(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})$.
设以$A$为顶点的抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2$.
∵ 此抛物线过点$B_1(2,1)$,
∴ $1=a(2-1)^2$.
∴ $a=1$.
∴ 此抛物线对应的函数解析式为$y=(x-1)^2$.
(2)
∵ 当$x=0$时,$y=(0-1)^2=1$,
∴ 点$D$的坐标为$(0,1)$.
由题意得$OB$在第一象限的角平分线上,故可设$C(m,m)$,
代入$y=(x-1)^2$,得$m=(m-1)^2$.
解得$m_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}＜1$,$m_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$(舍去).
∴ 点$C$的坐标为$(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})$.
解析
【分析】
(1) 先根据平移性质和已知条件确定各点坐标：OA=1，所以A(1,0)，Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位后，B点平移得到B₁(2,1)。已知抛物线顶点为A，选择二次函数顶点式设解析式，将B₁坐标代入求出参数a，即可得到抛物线解析式。
(2) 求D点坐标：D是抛物线与y轴交点，令解析式中x=0，计算对应的y值即可得到D点坐标；求C点坐标：由△OAB是等腰直角三角形可得OB所在直线解析式为y=x，C是OB与抛物线的交点，联立两个函数解析式解方程，结合C点在线段OB上的位置特征舍去不符合题意的根，即可得到C点坐标。
【解析】
(1) 由题意和平移性质可得：A(1,0)，B₁(2,1)。
设以A为顶点的抛物线解析式为$y=a(x-1)^2$，
将$B_1(2,1)$代入解析式得：$1=a(2-1)^2$，
解得$a=1$，
所以抛物线对应的函数解析式为$y=(x-1)^2$。
(2) 求D点坐标：
令$x=0$，代入$y=(x-1)^2$得$y=(0-1)^2=1$，故D点坐标为$(0,1)$。
由$∠OAB=90°$，$OA=AB=1$可知OB是第一象限角平分线，即OB所在直线解析式为$y=x$，设C点坐标为$(m,m)$，
将$(m,m)$代入$y=(x-1)^2$得：$m=(m-1)^2$，
整理得$m^2-3m+1=0$，解得$m_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$m_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
因为点C在线段OB上，横坐标小于1，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$，故舍去，
所以C点坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2$
(2) $D(0,1)$，$C(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
二次函数顶点式，函数交点求解，平移的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了图形平移、二次函数、一次函数的相关知识，重点考察学生对二次函数顶点式的应用能力，以及联立方程求函数交点的方法，解题时要注意结合点的位置舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据平移性质和已知条件确定各点坐标：OA=1，所以A(1,0)，Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位后，B点平移得到B₁(2,1)。已知抛物线顶点为A，选择二次函数顶点式设解析式，将B₁坐标代入求出参数a，即可得到抛物线解析式。
(2) 求D点坐标：D是抛物线与y轴交点，令解析式中x=0，计算对应的y值即可得到D点坐标；求C点坐标：由△OAB是等腰直角三角形可得OB所在直线解析式为y=x，C是OB与抛物线的交点，联立两个函数解析式解方程，结合C点在线段OB上的位置特征舍去不符合题意的根，即可得到C点坐标。
【解析】
(1) 由题意和平移性质可得：A(1,0)，B₁(2,1)。
设以A为顶点的抛物线解析式为$y=a(x-1)^2$，
将$B_1(2,1)$代入解析式得：$1=a(2-1)^2$，
解得$a=1$，
所以抛物线对应的函数解析式为$y=(x-1)^2$。
(2) 求D点坐标：
令$x=0$，代入$y=(x-1)^2$得$y=(0-1)^2=1$，故D点坐标为$(0,1)$。
由$∠OAB=90°$，$OA=AB=1$可知OB是第一象限角平分线，即OB所在直线解析式为$y=x$，设C点坐标为$(m,m)$，
将$(m,m)$代入$y=(x-1)^2$得：$m=(m-1)^2$，
整理得$m^2-3m+1=0$，解得$m_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$m_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
因为点C在线段OB上，横坐标小于1，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}＞1$，故舍去，
所以C点坐标为$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2$
(2) $D(0,1)$，$C(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})$
【知识点】
二次函数顶点式，函数交点求解，平移的性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了图形平移、二次函数、一次函数的相关知识，重点考察学生对二次函数顶点式的应用能力，以及联立方程求函数交点的方法，解题时要注意结合点的位置舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
