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“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？”用现在的几何语言表达：如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$，垂足为$E$，$CE=1$寸，$AB=10$寸，则直径$CD$的长是
26
寸。答案
26
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的几何问题，首先可运用垂径定理得到弦被垂足平分，先求出半弦的长度。要求直径长度，可先设圆的半径为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形的各条边长，再结合勾股定理列方程求出半径，最终就能得到直径的长度。
【解析】
连接$OA$，
∵ $CD$是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，垂足为$E$，
∴ 根据垂径定理，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$（寸）。
设$\odot O$的半径为$r$寸，则$OA=OC=r$寸，
$OE=OC-CE=(r-1)$寸。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数据得：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开整理：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，
解得$r=13$，
∴ 直径$CD=2r=2×13=26$（寸）。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合古代数学背景考查垂径定理的实际应用，解题过程中用方程思想将几何计算转化为代数求解，是垂径定理相关的典型题型，能很好地考查学生对定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的几何问题，首先可运用垂径定理得到弦被垂足平分，先求出半弦的长度。要求直径长度，可先设圆的半径为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形的各条边长，再结合勾股定理列方程求出半径，最终就能得到直径的长度。
【解析】
连接$OA$，
∵ $CD$是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，垂足为$E$，
∴ 根据垂径定理，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$（寸）。
设$\odot O$的半径为$r$寸，则$OA=OC=r$寸，
$OE=OC-CE=(r-1)$寸。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数据得：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开整理：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，
解得$r=13$，
∴ 直径$CD=2r=2×13=26$（寸）。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合古代数学背景考查垂径定理的实际应用，解题过程中用方程思想将几何计算转化为代数求解，是垂径定理相关的典型题型，能很好地考查学生对定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，已知$OE = 6$，$DO = 10$，则$CD$的长为（
A.8
B.12
C.16
D.20
C
）A.8
B.12
C.16
D.20
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可以将求弦CD的长度转化为求2倍半弦DE的长度。观察图形可知△ODE是直角三角形，已知斜边OD和直角边OE的长度，用勾股定理即可求出DE的长度，进而得到CD的总长度。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E
∴根据垂径定理可得：$DE=CE$，即$CD=2DE$
在$Rt△ ODE$中，$∠ OED=90°$，$OD=10$，$OE=6$
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
∴$CD=2×8=16$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础常见题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是利用垂径定理把求整弦长转化为求半弦长，降低计算难度，只要熟练掌握两个定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可以将求弦CD的长度转化为求2倍半弦DE的长度。观察图形可知△ODE是直角三角形，已知斜边OD和直角边OE的长度，用勾股定理即可求出DE的长度，进而得到CD的总长度。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E
∴根据垂径定理可得：$DE=CE$，即$CD=2DE$
在$Rt△ ODE$中，$∠ OED=90°$，$OD=10$，$OE=6$
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
∴$CD=2×8=16$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础常见题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是利用垂径定理把求整弦长转化为求半弦长，降低计算难度，只要熟练掌握两个定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点$E$，若$AB=8$，$AE=1$，则弦$CD$的长是（
A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$6$
D.$8$
B
）A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$6$
D.$8$
答案
2.B
解析
【分析】
本题可结合垂径定理与勾股定理求解：首先连接半径OC构造直角三角形，先根据直径长度求出圆的半径，再结合AE的长度算出OE的长度，之后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长CE，最后根据垂径定理可知CD=2CE，即可求出弦CD的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=4$，
∵$AE=1$，
∴$OE=OA - AE=4 - 1=3$，
∵$CD⊥AB$，根据垂径定理可得：$CE=DE$，且$△ OEC$为直角三角形，
在$Rt△ OEC$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$，
∴$CD=2CE=2\sqrt{7}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，是圆相关计算的常考典型题。
【难度系数】
0.7
本题可结合垂径定理与勾股定理求解：首先连接半径OC构造直角三角形，先根据直径长度求出圆的半径，再结合AE的长度算出OE的长度，之后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长CE，最后根据垂径定理可知CD=2CE，即可求出弦CD的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=4$，
∵$AE=1$，
∴$OE=OA - AE=4 - 1=3$，
∵$CD⊥AB$，根据垂径定理可得：$CE=DE$，且$△ OEC$为直角三角形，
在$Rt△ OEC$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$，
∴$CD=2CE=2\sqrt{7}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，是圆相关计算的常考典型题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$经过点$O(0,0)$,交$y$轴于点$A$,若$P(-10,-8)$,则弦$OA$的长为 (
A.8
B.10
C.16
D.20
C
)A.8
B.10
C.16
D.20
答案
3.C
解析
【分析】
要求弦OA的长度，可利用垂径定理求解：过圆心作弦的垂线，垂线会平分这条弦，因此只需先求出OA一半的长度，再乘2即可得到OA的全长。由于OA在y轴上，过圆心P作OA的垂线，结合P点的坐标可直接得到半弦长，进而计算出OA的长度。
【解析】
过点P作$PB ⊥ OA$于点B，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此B为OA的中点，即$OA=2OB$。
已知点P的坐标为$(-10,-8)$，且$PB ⊥ y$轴（OA在y轴上），因此点B的坐标为$(0,-8)$，则$OB = |-8| = 8$。
代入得$OA = 2 × 8 = 16$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是垂径定理在平面直角坐标系中的基础应用，解题的关键是根据弦的位置作出合适的辅助线，结合坐标特征快速求出半弦长，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
要求弦OA的长度，可利用垂径定理求解：过圆心作弦的垂线，垂线会平分这条弦，因此只需先求出OA一半的长度，再乘2即可得到OA的全长。由于OA在y轴上，过圆心P作OA的垂线，结合P点的坐标可直接得到半弦长，进而计算出OA的长度。
【解析】
过点P作$PB ⊥ OA$于点B，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此B为OA的中点，即$OA=2OB$。
已知点P的坐标为$(-10,-8)$，且$PB ⊥ y$轴（OA在y轴上），因此点B的坐标为$(0,-8)$，则$OB = |-8| = 8$。
代入得$OA = 2 × 8 = 16$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是垂径定理在平面直角坐标系中的基础应用，解题的关键是根据弦的位置作出合适的辅助线，结合坐标特征快速求出半弦长，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$\odot O$的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，$∠ A=15°$，半径为2，则弦CD的长为（
A.2
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.4
第4题图 第5题图
A
）A.2
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.4
第4题图 第5题图
答案
4.A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 看到直径AB垂直弦CD，首先联想到垂径定理，可得CD=2CE，只需要求出CE的长度就能得到CD的长；2. 已知∠A=15°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠COB的度数；3. 在Rt△OCE中，已知半径OC的长度和∠COB的度数，利用直角三角形中30°角的性质求出CE，再乘2即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为E
∴根据垂径定理，得CE=DE，即CD=2CE
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角
∴∠COB=2∠A=2×15°=30°
已知⊙O半径OC=2，在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COE=30°
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$CE=\frac{1}{2}OC=1$
∴CD=2CE=2×1=2
故选A
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，结合了圆的基本性质和直角三角形的性质计算，解题关键是利用垂径定理将求弦长转化为求半弦长，再结合圆周角定理得到直角三角形内的角度即可求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 看到直径AB垂直弦CD，首先联想到垂径定理，可得CD=2CE，只需要求出CE的长度就能得到CD的长；2. 已知∠A=15°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠COB的度数；3. 在Rt△OCE中，已知半径OC的长度和∠COB的度数，利用直角三角形中30°角的性质求出CE，再乘2即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为E
∴根据垂径定理，得CE=DE，即CD=2CE
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角
∴∠COB=2∠A=2×15°=30°
已知⊙O半径OC=2，在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COE=30°
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$CE=\frac{1}{2}OC=1$
∴CD=2CE=2×1=2
故选A
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，结合了圆的基本性质和直角三角形的性质计算，解题关键是利用垂径定理将求弦长转化为求半弦长，再结合圆周角定理得到直角三角形内的角度即可求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是（
A.点P
B.点Q
C.点R
D.点M
B
）A.点P
B.点Q
C.点R
D.点M
答案
5.B
解析
【分析】要确定圆弧所在圆的圆心，需结合圆心的性质和垂径定理推论思考：圆心到圆上任意点的距离相等，且弦的垂直平分线必然经过圆心，因此只需作出圆弧上两条弦的垂直平分线，两条线的交点即为所求圆心。首先观察网格中A、B、C三点位置，选取AB、BC两条弦，分别找它们的垂直平分线，再确定交点即可。
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心。
1. 作弦AB的垂直平分线：AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直直线，观察网格可知该直线经过点Q、M；
2. 作弦BC的垂直平分线：计算可得BC的垂直平分线经过点P、Q；
3. 两条垂直平分线的交点为Q，验证可知Q到A、B、C三点的距离相等，均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，符合圆心的性质。
因此这条圆弧所在圆的圆心是点Q。
【答案】B
【知识点】垂径定理推论、圆心的性质
【点评】本题解题核心是利用“弦的垂直平分线过圆心”的性质，通过找两条弦垂直平分线的交点确定圆心，结合网格特点可快速判断，是对圆的基本性质的基础考查。
【难度系数】0.8
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心。
1. 作弦AB的垂直平分线：AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直直线，观察网格可知该直线经过点Q、M；
2. 作弦BC的垂直平分线：计算可得BC的垂直平分线经过点P、Q；
3. 两条垂直平分线的交点为Q，验证可知Q到A、B、C三点的距离相等，均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，符合圆心的性质。
因此这条圆弧所在圆的圆心是点Q。
【答案】B
【知识点】垂径定理推论、圆心的性质
【点评】本题解题核心是利用“弦的垂直平分线过圆心”的性质，通过找两条弦垂直平分线的交点确定圆心，结合网格特点可快速判断，是对圆的基本性质的基础考查。
【难度系数】0.8
