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1. 在下列函数中，是二次函数的有（
①$y=3(x-1)^2+1$；②$y=x+\frac{1}{x}$；
③$y=(x+3)^2+x^2$；④$y=3x^3+2x^2$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$y=3(x-1)^2+1$；②$y=x+\frac{1}{x}$；
③$y=(x+3)^2+x^2$；④$y=3x^3+2x^2$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断给定函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：1.函数是整式；2.化简后自变量的最高次数为2；3.二次项系数不为0。解题时先对可化简的函数解析式展开化简，再对照判定标准逐个验证即可。
【解析】
我们逐个分析4个函数：
①对$y=3(x-1)^2+1$展开化简：
$y=3(x^2-2x+1)+1=3x^2-6x+4$，符合二次函数定义，是二次函数；
②$y=x+\frac{1}{x}$中含分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，因此不是二次函数；
③对$y=(x+3)^2+x^2$展开化简：
$y=x^2+6x+9+x^2=2x^2+6x+9$，符合二次函数定义，是二次函数；
④$y=3x^3+2x^2$中自变量的最高次数是3，属于三次函数，不是二次函数。
综上，是二次函数的有①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题时需注意要先将函数解析式化简后再判断最高次数，同时要注意二次函数必须是整式函数，避免被表面形式误导。
【难度系数】
0.8
要判断给定函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：1.函数是整式；2.化简后自变量的最高次数为2；3.二次项系数不为0。解题时先对可化简的函数解析式展开化简，再对照判定标准逐个验证即可。
【解析】
我们逐个分析4个函数：
①对$y=3(x-1)^2+1$展开化简：
$y=3(x^2-2x+1)+1=3x^2-6x+4$，符合二次函数定义，是二次函数；
②$y=x+\frac{1}{x}$中含分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，因此不是二次函数；
③对$y=(x+3)^2+x^2$展开化简：
$y=x^2+6x+9+x^2=2x^2+6x+9$，符合二次函数定义，是二次函数；
④$y=3x^3+2x^2$中自变量的最高次数是3，属于三次函数，不是二次函数。
综上，是二次函数的有①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题时需注意要先将函数解析式化简后再判断最高次数，同时要注意二次函数必须是整式函数，避免被表面形式误导。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3$ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
A.$\frac{1}{2}, -2, -3$
B.$\frac{1}{2}, -2, -1$
C.$\frac{1}{2}, 4, -3$
D.$\frac{1}{2}, -4, 1$
B
）A.$\frac{1}{2}, -2, -3$
B.$\frac{1}{2}, -2, -1$
C.$\frac{1}{2}, 4, -3$
D.$\frac{1}{2}, -4, 1$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。题目给出的是二次函数的顶点式，因此解题的核心是先将顶点式展开化简为一般式，再对应匹配各项系数即可。
【解析】
首先将给定的二次函数展开为一般式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3\\&=\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) - 3\\&=\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 - 3\\&=\frac{1}{2}x^2 - 2x -1\end{aligned}$
对比二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得：
二次项系数为$\frac{1}{2}$，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的系数 2. 完全平方公式 3. 整式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式到一般式的转化，易错点在于展开完全平方时符号计算错误、或者未合并常数项直接取顶点式的常数项，解题时需注意展开后仔细合并同类项再对应识别各项系数。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。题目给出的是二次函数的顶点式，因此解题的核心是先将顶点式展开化简为一般式，再对应匹配各项系数即可。
【解析】
首先将给定的二次函数展开为一般式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3\\&=\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) - 3\\&=\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 - 3\\&=\frac{1}{2}x^2 - 2x -1\end{aligned}$
对比二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得：
二次项系数为$\frac{1}{2}$，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的系数 2. 完全平方公式 3. 整式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式到一般式的转化，易错点在于展开完全平方时符号计算错误、或者未合并常数项直接取顶点式的常数项，解题时需注意展开后仔细合并同类项再对应识别各项系数。
【难度系数】
0.7
3. 若关于 $ x $ 的函数 $ y=(m-2) · x^{m^2 - 2} + x + 4 $ 是二次函数，则 $ m $ 的值为（
A.$-2$
B.$\pm 2$
C.$2$
D.无法确定
A
）A.$-2$
B.$\pm 2$
C.$2$
D.无法确定
答案
3. A
解析
【分析】
要判断给定函数是二次函数，需结合二次函数的定义推导：二次函数需要满足两个核心条件，一是最高次项的次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，二次项就会消失，函数就不是二次函数了）。我们先根据次数为2列方程求出m的所有可能值，再排除掉让二次项系数为0的m值，就能得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列两个条件：
1. 最高次项次数为2：$ m^2 - 2 = 2 $
解方程得：$ m^2 = 4 $，即 $ m = 2 $ 或 $ m = -2 $
2. 二次项系数不为0：$ m - 2 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 2 $
同时满足两个条件的m值只有$ m = -2 $。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，误选B选项，解题时牢记定义的两个限制条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
要判断给定函数是二次函数，需结合二次函数的定义推导：二次函数需要满足两个核心条件，一是最高次项的次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，二次项就会消失，函数就不是二次函数了）。我们先根据次数为2列方程求出m的所有可能值，再排除掉让二次项系数为0的m值，就能得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列两个条件：
1. 最高次项次数为2：$ m^2 - 2 = 2 $
解方程得：$ m^2 = 4 $，即 $ m = 2 $ 或 $ m = -2 $
2. 二次项系数不为0：$ m - 2 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 2 $
同时满足两个条件的m值只有$ m = -2 $。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，误选B选项，解题时牢记定义的两个限制条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
4. 一切运动的物体都具有动能$E_k$（单位：J），其大小由物体的质量$m$（单位：kg）和运动速度$v$（单位：m/s）决定，计算公式为$E_k = \frac{1}{2}mv^2$。若某长跑运动员匀速跑步，她的质量是60 kg，她某时的动能是1 350 J，则该运动员此时的跑步速度为
$3\sqrt{5}$
m/s（结果保留根号）。答案
4. $3\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题是结合物理公式的代数计算题，解题思路如下：首先明确已知量：动能$E_k=1350\ \mathrm{J}$、质量$m=60\ \mathrm{kg}$，以及给出的动能计算公式$E_k=\frac{1}{2}mv^2$，目标是求速度$v$。首先将已知数值代入公式，得到关于$v$的方程，再结合速度为正数的实际意义，求解方程并化简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：将$E_k=1350$，$m=60$代入动能公式$E_k=\frac{1}{2}mv^2$，可得：
$\displaystyle 1350=\frac{1}{2}×60× v^2$
计算等号右侧的系数：$\frac{1}{2}×60=30$，方程化简为：
$30v^2=1350$
两边同时除以30，得：
$v^2=45$
因为跑步速度为正数，所以对$v^2=45$开算术平方根，得：
$v=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
代数式代入求值、二次根式化简、算术平方根应用
【点评】
本题结合物理场景考查基础代数运算，解题时需要注意结合实际意义取正的平方根，再正确化简二次根式即可得出结果。
【难度系数】
0.8
本题是结合物理公式的代数计算题，解题思路如下：首先明确已知量：动能$E_k=1350\ \mathrm{J}$、质量$m=60\ \mathrm{kg}$，以及给出的动能计算公式$E_k=\frac{1}{2}mv^2$，目标是求速度$v$。首先将已知数值代入公式，得到关于$v$的方程，再结合速度为正数的实际意义，求解方程并化简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：将$E_k=1350$，$m=60$代入动能公式$E_k=\frac{1}{2}mv^2$，可得：
$\displaystyle 1350=\frac{1}{2}×60× v^2$
计算等号右侧的系数：$\frac{1}{2}×60=30$，方程化简为：
$30v^2=1350$
两边同时除以30，得：
$v^2=45$
因为跑步速度为正数，所以对$v^2=45$开算术平方根，得：
$v=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
代数式代入求值、二次根式化简、算术平方根应用
【点评】
本题结合物理场景考查基础代数运算，解题时需要注意结合实际意义取正的平方根，再正确化简二次根式即可得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 给出下列函数：① $y=\sqrt{2x^2 -1}$；② $y=x^2 +x(1+x)$；③ $y=x^2 +\frac{1}{x}$；④ $y=x(1-x)$。其中是二次函数的有________（填序号）。
答案
5. ②④
解析
【分析】
要判断所给函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定条件：1.函数表达式是整式；2.化简后自变量的最高次数为2；3.二次项系数不为0。解题时我们先对每个函数表达式进行化简，再对照上述条件逐一判断即可得出结果。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足是整式、最高次为2、二次项系数不为0三个条件。
对四个函数逐一分析：
①$y=\sqrt{2x^2 -1}$：表达式右侧是二次根式，不属于整式，不符合二次函数定义，不是二次函数；
②先化简表达式：$y=x^2 +x(1+x)=x^2+x+x^2=2x^2+x$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=2≠0$，是整式且最高次为2，属于二次函数；
③$y=x^2 +\frac{1}{x}$：表达式右侧含分式$\frac{1}{x}$，不属于整式，不符合二次函数定义，不是二次函数；
④先化简表达式：$y=x(1-x)=x-x^2=-x^2+x$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=-1≠0$，是整式且最高次为2，属于二次函数。
综上，是二次函数的为②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题属于二次函数概念的基础考查题，解题核心是牢记二次函数的判定要求，注意需先将函数表达式化简后再判断，同时要注意二次函数的表达式必须是整式，避免未化简就直接判断或忽略整式要求导致出错。
【难度系数】
0.8
要判断所给函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定条件：1.函数表达式是整式；2.化简后自变量的最高次数为2；3.二次项系数不为0。解题时我们先对每个函数表达式进行化简，再对照上述条件逐一判断即可得出结果。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足是整式、最高次为2、二次项系数不为0三个条件。
对四个函数逐一分析：
①$y=\sqrt{2x^2 -1}$：表达式右侧是二次根式，不属于整式，不符合二次函数定义，不是二次函数；
②先化简表达式：$y=x^2 +x(1+x)=x^2+x+x^2=2x^2+x$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=2≠0$，是整式且最高次为2，属于二次函数；
③$y=x^2 +\frac{1}{x}$：表达式右侧含分式$\frac{1}{x}$，不属于整式，不符合二次函数定义，不是二次函数；
④先化简表达式：$y=x(1-x)=x-x^2=-x^2+x$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=-1≠0$，是整式且最高次为2，属于二次函数。
综上，是二次函数的为②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题属于二次函数概念的基础考查题，解题核心是牢记二次函数的判定要求，注意需先将函数表达式化简后再判断，同时要注意二次函数的表达式必须是整式，避免未化简就直接判断或忽略整式要求导致出错。
【难度系数】
0.8
6. 已知函数$y=(m+3)x^{m^2 -7}$。
（1）当$m$为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当$m$为何值时，此函数是二次函数？
（1）当$m$为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当$m$为何值时，此函数是二次函数？
答案
6. 解 （1）因为函数 $y=(m+3)x^{m^2 -7}$ 是正比例函数，所以 $m^2 -7=1$ 且 $m+3≠0$。
解得 $m_1=-2\sqrt{2}$，$m_2=2\sqrt{2}$。
所以当 $m=\pm2\sqrt{2}$ 时，此函数是正比例函数。
（2）因为函数 $y=(m+3)x^{m^2 -7}$ 是二次函数，所以 $m^2 -7=2$ 且 $m+3≠0$，解得 $m=3$。所以当 $m=3$ 时，此函数是二次函数。
解得 $m_1=-2\sqrt{2}$，$m_2=2\sqrt{2}$。
所以当 $m=\pm2\sqrt{2}$ 时，此函数是正比例函数。
（2）因为函数 $y=(m+3)x^{m^2 -7}$ 是二次函数，所以 $m^2 -7=2$ 且 $m+3≠0$，解得 $m=3$。所以当 $m=3$ 时，此函数是二次函数。
解析
【分析】
解决这类根据函数类型求参数的问题，核心是紧扣对应函数的定义，抓住两个关键限制条件：一是自变量的次数要符合对应函数的要求，二是自变量的系数不能为0（否则函数退化为常函数，不符合对应函数的定义）。
第（1）问求正比例函数对应的m值：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$），因此需要满足x的指数为1，且x的系数$m+3≠0$，据此列方程和不等式求解即可。
第（2）问求二次函数对应的m值：二次函数的形式为$y=ax²+bx+c$（$a,b,c$为常数且$a≠0$），本题中函数仅含x的幂次项，因此需要满足x的指数为2，且x的系数$m+3≠0$，求解后排除不符合系数限制的解即可。
【解析】
（1）若函数$y=(m+3)x^{m^2 -7}$是正比例函数，根据定义列条件：
$\begin{cases}m^2 -7 = 1 \\m + 3 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 -7=1$得$m^2=8$，即$m=\pm2\sqrt{2}$，代入验证可知$m=\pm2\sqrt{2}$均满足$m+3≠0$，符合要求。
（2）若函数$y=(m+3)x^{m^2 -7}$是二次函数，根据定义列条件：
$\begin{cases}m^2 -7 = 2 \\m + 3 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 -7=2$得$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$，结合$m+3≠0$的限制，舍去$m=-3$，仅$m=3$符合要求。
【答案】
（1）当$m=\pm2\sqrt{2}$时，此函数是正比例函数；
（2）当$m=3$时，此函数是二次函数。
【知识点】
1.正比例函数的定义
2.二次函数的定义
3.解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对函数定义的理解，解题时要特别注意“系数不为0”是容易被忽略的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
解决这类根据函数类型求参数的问题，核心是紧扣对应函数的定义，抓住两个关键限制条件：一是自变量的次数要符合对应函数的要求，二是自变量的系数不能为0（否则函数退化为常函数，不符合对应函数的定义）。
第（1）问求正比例函数对应的m值：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$），因此需要满足x的指数为1，且x的系数$m+3≠0$，据此列方程和不等式求解即可。
第（2）问求二次函数对应的m值：二次函数的形式为$y=ax²+bx+c$（$a,b,c$为常数且$a≠0$），本题中函数仅含x的幂次项，因此需要满足x的指数为2，且x的系数$m+3≠0$，求解后排除不符合系数限制的解即可。
【解析】
（1）若函数$y=(m+3)x^{m^2 -7}$是正比例函数，根据定义列条件：
$\begin{cases}m^2 -7 = 1 \\m + 3 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 -7=1$得$m^2=8$，即$m=\pm2\sqrt{2}$，代入验证可知$m=\pm2\sqrt{2}$均满足$m+3≠0$，符合要求。
（2）若函数$y=(m+3)x^{m^2 -7}$是二次函数，根据定义列条件：
$\begin{cases}m^2 -7 = 2 \\m + 3 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 -7=2$得$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$，结合$m+3≠0$的限制，舍去$m=-3$，仅$m=3$符合要求。
【答案】
（1）当$m=\pm2\sqrt{2}$时，此函数是正比例函数；
（2）当$m=3$时，此函数是二次函数。
【知识点】
1.正比例函数的定义
2.二次函数的定义
3.解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对函数定义的理解，解题时要特别注意“系数不为0”是容易被忽略的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
