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|变式训练1| 如图，$□ ABCD$ 的周长为 60 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，$△ AOB$ 的周长比 $△ BOC$ 的周长多 8 cm，求平行四边形各边的长度。
答案
解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC。
∵△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm，
∴(OA+OB+AB)-(OB+OC+BC)=8 cm，
即AB-BC=8 cm。①
∵平行四边形ABCD的周长为60 cm，
∴2(AB+BC)=60 cm。②
∴由①②得到:AB=19 cm,BC=11 cm，
∴CD=AB=19 cm,AD=BC=11 cm。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC。
∵△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm，
∴(OA+OB+AB)-(OB+OC+BC)=8 cm，
即AB-BC=8 cm。①
∵平行四边形ABCD的周长为60 cm，
∴2(AB+BC)=60 cm。②
∴由①②得到:AB=19 cm,BC=11 cm，
∴CD=AB=19 cm,AD=BC=11 cm。
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分。首先分析两个三角形的周长差：△AOB的周长为OA+OB+AB，△BOC的周长为OB+OC+BC，因为OA=OC、OB是公共边，所以两个三角形的周长差实际就是AB与BC的差，可得AB-BC=8cm；再结合平行四边形周长为60cm，可得邻边和AB+BC=30cm，联立两个关系式即可求出AB、BC的长度，最后根据平行四边形对边相等得到其余两边的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC。
∵△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm，
∴(OA+OB+AB)-(OB+OC+BC)=8 cm，
即AB-BC=8 cm。①
∵平行四边形ABCD的周长为60 cm，
∴2(AB+BC)=60 cm，即AB+BC=30 cm。②
联立①②，解得AB=19 cm，BC=11 cm，
∴CD=AB=19 cm，AD=BC=11 cm。
【答案】
AB=CD=19 cm，BC=AD=11 cm
【知识点】
平行四边形的性质；二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题，解题核心是利用对角线互相平分的性质简化周长差，得到邻边的数量关系，再结合周长条件建立方程求解，重点考查对平行四边形性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分。首先分析两个三角形的周长差：△AOB的周长为OA+OB+AB，△BOC的周长为OB+OC+BC，因为OA=OC、OB是公共边，所以两个三角形的周长差实际就是AB与BC的差，可得AB-BC=8cm；再结合平行四边形周长为60cm，可得邻边和AB+BC=30cm，联立两个关系式即可求出AB、BC的长度，最后根据平行四边形对边相等得到其余两边的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC。
∵△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm，
∴(OA+OB+AB)-(OB+OC+BC)=8 cm，
即AB-BC=8 cm。①
∵平行四边形ABCD的周长为60 cm，
∴2(AB+BC)=60 cm，即AB+BC=30 cm。②
联立①②，解得AB=19 cm，BC=11 cm，
∴CD=AB=19 cm，AD=BC=11 cm。
【答案】
AB=CD=19 cm，BC=AD=11 cm
【知识点】
平行四边形的性质；二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题，解题核心是利用对角线互相平分的性质简化周长差，得到邻边的数量关系，再结合周长条件建立方程求解，重点考查对平行四边形性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7
例2 如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD交于点O，已知E，F分别为OB，OD中点，连接AE，CF。求证：$∠ OAE=∠ OCF$。
[点拨] 由平行四边形的性质可得平行四边形对角线互相平分，E，F分别为OB，OD中点，进而推出$△ AOE ≌ △ COF$（SAS），可得$∠ OAE=∠ OCF$。
[证明] $\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore OA=OC, OB=OD$，
$\because E,F$分别为OB，OD中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB, OF=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore OE=OF$，
$\because ∠ AOE=∠ COF$，
$\therefore △ AOE ≌ △ COF$（SAS），
$\therefore ∠ OAE=∠ OCF$。
[点拨] 由平行四边形的性质可得平行四边形对角线互相平分，E，F分别为OB，OD中点，进而推出$△ AOE ≌ △ COF$（SAS），可得$∠ OAE=∠ OCF$。
[证明] $\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore OA=OC, OB=OD$，
$\because E,F$分别为OB，OD中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB, OF=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore OE=OF$，
$\because ∠ AOE=∠ COF$，
$\therefore △ AOE ≌ △ COF$（SAS），
$\therefore ∠ OAE=∠ OCF$。
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ E，F分别为OB，OD中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$，
∴ OE=OF，
又∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（SAS），
∴ ∠OAE=∠OCF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ E，F分别为OB，OD中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$，
∴ OE=OF，
又∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（SAS），
∴ ∠OAE=∠OCF。
解析
【分析】
要证明∠OAE=∠OCF，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OA=OC、OB=OD；再结合E、F是OB、OD中点的条件，可推出OE=OF；同时∠AOE和∠COF是对顶角，二者相等，刚好满足SAS的全等判定条件，证明△AOE≌△COF后，根据全等三角形对应角相等即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ E，F分别为OB，OD中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$，
∴ OE=OF，
又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（SAS），
∴ ∠OAE=∠OCF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ E，F分别为OB，OD中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$，
∴ OE=OF，
又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（SAS），
∴ ∠OAE=∠OCF。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点定义、对顶角相等的性质构造全等三角形，即可快速推导得到结论，是平行四边形与全等三角形结合的典型常规题型。
【难度系数】
0.8
要证明∠OAE=∠OCF，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OA=OC、OB=OD；再结合E、F是OB、OD中点的条件，可推出OE=OF；同时∠AOE和∠COF是对顶角，二者相等，刚好满足SAS的全等判定条件，证明△AOE≌△COF后，根据全等三角形对应角相等即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ E，F分别为OB，OD中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$，
∴ OE=OF，
又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（SAS），
∴ ∠OAE=∠OCF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ E，F分别为OB，OD中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}OB$，$OF=\frac{1}{2}OD$，
∴ OE=OF，
又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE≌△COF（SAS），
∴ ∠OAE=∠OCF。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点定义、对顶角相等的性质构造全等三角形，即可快速推导得到结论，是平行四边形与全等三角形结合的典型常规题型。
【难度系数】
0.8
变式训练2 | 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F。
(1)求证:EO=FO;
(2)若AE=EF=6,求AC的长。
(1)求证:EO=FO;
(2)若AE=EF=6,求AC的长。
答案
(1)证明:在△AOE和△COF中，
$\begin{cases}∠ AEO=∠ CFO=90°(垂直定义),\\∠ AOE=∠ COF(对顶角相等),\\OA=OC(平行四边形性质),\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(AAS)。
∴EO=FO。
(2)解:由(1)知EO=FO,且E,F在BD上,O是EF的中点。
∴$EO=FO=\frac{1}{2}EF$，
∵EF=6，
∴$EO=\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△AEO中,$∠ AEO=90°,AE=6,EO=3$。
根据勾股定理:$AO=\sqrt{AE^2+EO^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
∵O是AC的中点(平行四边形性质)，
∴AC=2AO。
∴$AC=2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$。
$\begin{cases}∠ AEO=∠ CFO=90°(垂直定义),\\∠ AOE=∠ COF(对顶角相等),\\OA=OC(平行四边形性质),\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(AAS)。
∴EO=FO。
(2)解:由(1)知EO=FO,且E,F在BD上,O是EF的中点。
∴$EO=FO=\frac{1}{2}EF$，
∵EF=6，
∴$EO=\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△AEO中,$∠ AEO=90°,AE=6,EO=3$。
根据勾股定理:$AO=\sqrt{AE^2+EO^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
∵O是AC的中点(平行四边形性质)，
∴AC=2AO。
∴$AC=2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$EO=FO$，可通过证明两条线段所在的$△ AOE$和$△ COF$全等推导。首先根据平行四边形对角线互相平分的性质可得$OA=OC$，再结合$AE⊥ BD$、$CF⊥ BD$得到一组直角相等，加上对顶角相等，即可用AAS判定两个三角形全等，进而得到$EO=FO$。
(2) 由(1)的结论可知$O$是$EF$的中点，结合$EF$的长度可求出$EO$的长；在$Rt△ AEO$中，已知$AE$和$EO$的长度，用勾股定理即可求出$AO$的长度，最后根据平行四边形对角线互相平分的性质，$AC=2AO$，代入计算即可得到$AC$的长。
【解析】
(1)证明:在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}∠ AEO=∠ CFO=90°(垂直定义),\\∠ AOE=∠ COF(对顶角相等),\\OA=OC(平行四边形性质),\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ COF(\mathrm{AAS})$。
∴$EO=FO$。
(2)解:由(1)知$EO=FO$,且$E,F$在$BD$上,$O$是$EF$的中点。
∴$EO=FO=\frac{1}{2}EF$，
∵$EF=6$，
∴$EO=\frac{1}{2}×6=3$，
在$Rt△ AEO$中,$∠ AEO=90°,AE=6,EO=3$。
根据勾股定理:$AO=\sqrt{AE^2+EO^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
∵$O$是$AC$的中点(平行四边形性质)，
∴$AC=2AO$。
∴$AC=2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $EO=FO$得证；
(2) $AC$的长为$6\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是平行四边形相关的典型基础综合题，第一问利用全等三角形证明线段相等是几何中常用的解题思路，第二问结合勾股定理计算线段长度，侧重考察对基础性质和常规解题方法的掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$EO=FO$，可通过证明两条线段所在的$△ AOE$和$△ COF$全等推导。首先根据平行四边形对角线互相平分的性质可得$OA=OC$，再结合$AE⊥ BD$、$CF⊥ BD$得到一组直角相等，加上对顶角相等，即可用AAS判定两个三角形全等，进而得到$EO=FO$。
(2) 由(1)的结论可知$O$是$EF$的中点，结合$EF$的长度可求出$EO$的长；在$Rt△ AEO$中，已知$AE$和$EO$的长度，用勾股定理即可求出$AO$的长度，最后根据平行四边形对角线互相平分的性质，$AC=2AO$，代入计算即可得到$AC$的长。
【解析】
(1)证明:在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}∠ AEO=∠ CFO=90°(垂直定义),\\∠ AOE=∠ COF(对顶角相等),\\OA=OC(平行四边形性质),\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ COF(\mathrm{AAS})$。
∴$EO=FO$。
(2)解:由(1)知$EO=FO$,且$E,F$在$BD$上,$O$是$EF$的中点。
∴$EO=FO=\frac{1}{2}EF$，
∵$EF=6$，
∴$EO=\frac{1}{2}×6=3$，
在$Rt△ AEO$中,$∠ AEO=90°,AE=6,EO=3$。
根据勾股定理:$AO=\sqrt{AE^2+EO^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
∵$O$是$AC$的中点(平行四边形性质)，
∴$AC=2AO$。
∴$AC=2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $EO=FO$得证；
(2) $AC$的长为$6\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是平行四边形相关的典型基础综合题，第一问利用全等三角形证明线段相等是几何中常用的解题思路，第二问结合勾股定理计算线段长度，侧重考察对基础性质和常规解题方法的掌握。
【难度系数】
0.7
1.如图，在$□ ABCD$中，AC与BD相交于O，AD=12，OB=5，AC=26，则$△ AOB$的周长为（
A.25
B.$18+4\sqrt{13}$
C.$18+4\sqrt{61}$
D.$18+2\sqrt{61}$
D
）A.25
B.$18+4\sqrt{13}$
C.$18+4\sqrt{61}$
D.$18+2\sqrt{61}$
答案
1.D
解析
【分析】
要计算△AOB的周长，需要先求出它的三条边AO、OB、AB的长度。首先根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可直接求出AO的长度，OB题目已经给出。接下来求AB的长度：先由对角线平分得到OD的长度，结合已知的AD、AO的长度，可发现△ADO满足勾股定理逆定理，判断出∠ADB是直角，再在直角三角形ABD中用勾股定理求出AB的长度，最后把三条边相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴根据平行四边形对角线互相平分、对边相等的性质，可得：
$AO=\frac{1}{2}AC$，$OD=OB$，$AD=12$
已知$AC=26$，$OB=5$，
∴$AO=\frac{1}{2}×26=13$，$OD=5$，$BD=2OB=10$
在△ADO中，$AD=12$，$OD=5$，$AO=13$
∵$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，即$OD^2+AD^2=AO^2$
∴△ADO是直角三角形，$∠ ADO=90°$，即$∠ ADB=90°$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{12^2+10^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$
∴△AOB的周长为：$AO+OB+AB=13+5+2\sqrt{61}=18+2\sqrt{61}$
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理的综合应用题，解题的突破口是利用平行四边形对角线平分的性质得到线段长度后，通过勾股数判断出直角，进而求出未知边的长度，是几何部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要计算△AOB的周长，需要先求出它的三条边AO、OB、AB的长度。首先根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可直接求出AO的长度，OB题目已经给出。接下来求AB的长度：先由对角线平分得到OD的长度，结合已知的AD、AO的长度，可发现△ADO满足勾股定理逆定理，判断出∠ADB是直角，再在直角三角形ABD中用勾股定理求出AB的长度，最后把三条边相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴根据平行四边形对角线互相平分、对边相等的性质，可得：
$AO=\frac{1}{2}AC$，$OD=OB$，$AD=12$
已知$AC=26$，$OB=5$，
∴$AO=\frac{1}{2}×26=13$，$OD=5$，$BD=2OB=10$
在△ADO中，$AD=12$，$OD=5$，$AO=13$
∵$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，即$OD^2+AD^2=AO^2$
∴△ADO是直角三角形，$∠ ADO=90°$，即$∠ ADB=90°$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{12^2+10^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$
∴△AOB的周长为：$AO+OB+AB=13+5+2\sqrt{61}=18+2\sqrt{61}$
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质与勾股定理的综合应用题，解题的突破口是利用平行四边形对角线平分的性质得到线段长度后，通过勾股数判断出直角，进而求出未知边的长度，是几何部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
