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11.如图，$□ ABCD$的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，AB=CF，连接DE，DF。
(1)求证:EF⊥DF；
(2)若G为DE的中点，连接CG，求CG的长度。
(1)求证:EF⊥DF；
(2)若G为DE的中点，连接CG，求CG的长度。
答案
11.(1)证明:$\because △ BEF$ 为等边三角形，
$\therefore BF=EF=BE,∠ BFE=∠ FBE=60°$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD=BC,AB=DC,AB// CD$，
$\therefore ∠ DCB=∠ FBE=60°$。
$\because AB=CF$，
$\therefore DC=CF$，
$\therefore ∠ CDF=∠ CFD=\frac{1}{2}∠ DCB=30°$，
$\therefore ∠ DFE=∠ CFD+∠ BFE=90°$，
$\therefore EF⊥ DF$。
(2)解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD=BC,CD=AB,DC// AB$，
$\because AD=3,AB=CF=2$，
$\therefore CD=2,BC=3$，
$\therefore BF=BC+CF=5$。
$\because △ BEF$ 是等边三角形,$G$ 为 $DE$ 的中点，
$\therefore BF=BE=5,DG=EG$。
延长 $CG$ 交 $BE$ 于点 $H$，
$\because DC// AB$，
$\therefore ∠ CDG=∠ HEG$。
在$△ DCG$ 和$△ EHG$ 中，
$\begin{cases} ∠ CDG=∠ HEG,\\ DG=EG,\\ ∠ DGC=∠ EGH, \end{cases}$
$\therefore △ DCG≌△ EHG(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DC=EH,CG=HG$。
$\because CD=2,BE=5$，
$\therefore HE=2,BH=3$。
$\because ∠ CBH=60°,BC=BH=3$，
$\therefore △ CBH$ 是等边三角形，
$\therefore CH=BC=3$，
$\therefore CG=\frac{1}{2}CH=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明EF⊥DF，只需证明∠DFE=90°即可。已知△BEF是等边三角形，可得∠BFE=60°，因此只需推导∠CFD=30°：利用平行四边形对边相等、对边平行的性质，结合AB=CF可证得DC=CF，再由平行线同位角相等得∠DCB=∠FBE=60°，即可求出等腰△DCF的底角∠CFD=30°，两角相加即可得到∠DFE=90°，完成垂直的证明。
(2) 求CG的长度时，已知G为DE中点，结合DC//AB的平行关系，可采用延长CG构造全等三角形的方法：延长CG交BE于点H，利用ASA证明△DCG≌△EHG，得到CG=HG、DC=EH，再结合已知边长计算可推出△CBH为等边三角形，得到CH的长度后，即可求出CG为CH的一半。
【解析】
(1) 证明：
∵ △BEF为等边三角形，
∴ BF=EF=BE，∠BFE=∠FBE=60°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AB=DC，AB//CD，
∴ ∠DCB=∠FBE=60°。
∵ AB=CF，
∴ DC=CF，
∴ ∠CDF=∠CFD=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
∴ ∠DFE=∠CFD+∠BFE=30°+60°=90°，
∴ EF⊥DF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，CD=AB，DC//AB，
已知AD=3，AB=CF=2，
∴ CD=2，BC=3，
∴ BF=BC+CF=3+2=5。
∵ △BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴ BF=BE=5，DG=EG。
延长CG交BE于点H，
∵ DC//AB，
∴ ∠CDG=∠HEG。
在△DCG和△EHG中，
$\begin{cases} ∠CDG=∠HEG,\\ DG=EG,\\ ∠DGC=∠EGH, \end{cases}$
∴ △DCG≌△EHG(ASA)，
∴ DC=EH，CG=HG。
∵ CD=2，BE=5，
∴ HE=2，BH=BE-HE=5-2=3。
∵ ∠CBH=60°，BC=BH=3，
∴ △CBH是等边三角形，
∴ CH=BC=3，
∴ CG=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) EF⊥DF，证明成立；
(2) CG的长度为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了平行四边形、等边三角形、全等三角形的核心知识点，第一问侧重角度的推导计算，第二问的解题关键是结合中点和平行线的条件构造全等三角形转化线段关系，能有效考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明EF⊥DF，只需证明∠DFE=90°即可。已知△BEF是等边三角形，可得∠BFE=60°，因此只需推导∠CFD=30°：利用平行四边形对边相等、对边平行的性质，结合AB=CF可证得DC=CF，再由平行线同位角相等得∠DCB=∠FBE=60°，即可求出等腰△DCF的底角∠CFD=30°，两角相加即可得到∠DFE=90°，完成垂直的证明。
(2) 求CG的长度时，已知G为DE中点，结合DC//AB的平行关系，可采用延长CG构造全等三角形的方法：延长CG交BE于点H，利用ASA证明△DCG≌△EHG，得到CG=HG、DC=EH，再结合已知边长计算可推出△CBH为等边三角形，得到CH的长度后，即可求出CG为CH的一半。
【解析】
(1) 证明：
∵ △BEF为等边三角形，
∴ BF=EF=BE，∠BFE=∠FBE=60°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AB=DC，AB//CD，
∴ ∠DCB=∠FBE=60°。
∵ AB=CF，
∴ DC=CF，
∴ ∠CDF=∠CFD=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
∴ ∠DFE=∠CFD+∠BFE=30°+60°=90°，
∴ EF⊥DF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，CD=AB，DC//AB，
已知AD=3，AB=CF=2，
∴ CD=2，BC=3，
∴ BF=BC+CF=3+2=5。
∵ △BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴ BF=BE=5，DG=EG。
延长CG交BE于点H，
∵ DC//AB，
∴ ∠CDG=∠HEG。
在△DCG和△EHG中，
$\begin{cases} ∠CDG=∠HEG,\\ DG=EG,\\ ∠DGC=∠EGH, \end{cases}$
∴ △DCG≌△EHG(ASA)，
∴ DC=EH，CG=HG。
∵ CD=2，BE=5，
∴ HE=2，BH=BE-HE=5-2=3。
∵ ∠CBH=60°，BC=BH=3，
∴ △CBH是等边三角形，
∴ CH=BC=3，
∴ CG=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) EF⊥DF，证明成立；
(2) CG的长度为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了平行四边形、等边三角形、全等三角形的核心知识点，第一问侧重角度的推导计算，第二问的解题关键是结合中点和平行线的条件构造全等三角形转化线段关系，能有效考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
1.定理:平行四边形的对角线
相等
。答案
1.相等
2.方法归纳:平行四边形的性质可以用来说明线段相等、角相等,进而可以得到多组全等三角形,同时解决三角形之间相关面积问题。如下图中的$□ ABCD$,对角线AC,BD相交于点O,找出图中全等的三角形:
$△ ADO≌△ CBO,△ ADC≌△ CBA,△ ABO≌△ CDO,△ ADB≌△ CBD$
,图中面积相等的三角形:$△ ADO,△ CBO,△ ABO$与$△ CDO$;$△ ADC,△ CBA,△ ADB$与$△ CBD$
。答案
2. 全等的三角形:$△ ADO≌△ CBO,△ ADC≌△ CBA,△ ABO≌△ CDO,△ ADB≌△ CBD$
面积相等的三角形:$△ ADO,△ CBO,△ ABO$与$△ CDO$;$△ ADC,△ CBA,△ ADB$与$△ CBD$
面积相等的三角形:$△ ADO,△ CBO,△ ABO$与$△ CDO$;$△ ADC,△ CBA,△ ADB$与$△ CBD$
解析
【分析】
解决本题首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。第一步找全等三角形时，利用上述性质得到对应边、对应角相等，再结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS等）验证即可；第二步找面积相等的三角形时，先明确全等的三角形面积一定相等，再结合“等底同高的三角形面积相等”的规律，以及平行四边形对角线平分的特点，判断其余面积相等的三角形。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：
$AD=BC$，$AB=CD$，$OA=OC$，$OB=OD$，$∠ ADC=∠ ABC$，$∠ BAD=∠ BCD$
1. 证明全等三角形：
①在$△ ADO$和$△ CBO$中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ OA=OC\\ OD=OB\end{array} $，故$△ ADO≌△ CBO$（SSS）；
②在$△ ABO$和$△ CDO$中，$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ OA=OC\\ OB=OD\end{array} $，故$△ ABO≌△ CDO$（SSS）；
③在$△ ADC$和$△ CBA$中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ CD=AB\\ AC=CA\end{array} $，故$△ ADC≌△ CBA$（SSS）；
④在$△ ADB$和$△ CBD$中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ AB=CD\\ BD=DB\end{array} $，故$△ ADB≌△ CBD$（SSS）。
2. 推导面积相等的三角形：
首先全等三角形面积相等，可得$S_{△ ADO}=S_{△ CBO}$，$S_{△ ABO}=S_{△ CDO}$；
又因为$OD=OB$，点A到BD的距离是$△ ADO$和$△ ABO$的公共高，根据等底同高的三角形面积相等，得$S_{△ ADO}=S_{△ ABO}$，因此$△ ADO$、$△ CBO$、$△ ABO$、$△ CDO$的面积都相等；
另外$△ ADC$、$△ CBA$、$△ ADB$、$△ CBD$的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半，因此这四个三角形面积也相等。
【答案】
全等的三角形：$△ ADO≌△ CBO$，$△ ADC≌△ CBA$，$△ ABO≌△ CDO$，$△ ADB≌△ CBD$；
面积相等的三角形：$△ ADO$、$△ CBO$、$△ ABO$与$△ CDO$；$△ ADC$、$△ CBA$、$△ ADB$与$△ CBD$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查平行四边形性质的应用，掌握平行四边形边、角、对角线的相关特征是解题的关键，通过本题可以理解全等与面积相等的关系，学会灵活运用等底同高的规律判断三角形面积相等。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。第一步找全等三角形时，利用上述性质得到对应边、对应角相等，再结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS等）验证即可；第二步找面积相等的三角形时，先明确全等的三角形面积一定相等，再结合“等底同高的三角形面积相等”的规律，以及平行四边形对角线平分的特点，判断其余面积相等的三角形。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：
$AD=BC$，$AB=CD$，$OA=OC$，$OB=OD$，$∠ ADC=∠ ABC$，$∠ BAD=∠ BCD$
1. 证明全等三角形：
①在$△ ADO$和$△ CBO$中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ OA=OC\\ OD=OB\end{array} $，故$△ ADO≌△ CBO$（SSS）；
②在$△ ABO$和$△ CDO$中，$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ OA=OC\\ OB=OD\end{array} $，故$△ ABO≌△ CDO$（SSS）；
③在$△ ADC$和$△ CBA$中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ CD=AB\\ AC=CA\end{array} $，故$△ ADC≌△ CBA$（SSS）；
④在$△ ADB$和$△ CBD$中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ AB=CD\\ BD=DB\end{array} $，故$△ ADB≌△ CBD$（SSS）。
2. 推导面积相等的三角形：
首先全等三角形面积相等，可得$S_{△ ADO}=S_{△ CBO}$，$S_{△ ABO}=S_{△ CDO}$；
又因为$OD=OB$，点A到BD的距离是$△ ADO$和$△ ABO$的公共高，根据等底同高的三角形面积相等，得$S_{△ ADO}=S_{△ ABO}$，因此$△ ADO$、$△ CBO$、$△ ABO$、$△ CDO$的面积都相等；
另外$△ ADC$、$△ CBA$、$△ ADB$、$△ CBD$的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半，因此这四个三角形面积也相等。
【答案】
全等的三角形：$△ ADO≌△ CBO$，$△ ADC≌△ CBA$，$△ ABO≌△ CDO$，$△ ADB≌△ CBD$；
面积相等的三角形：$△ ADO$、$△ CBO$、$△ ABO$与$△ CDO$；$△ ADC$、$△ CBA$、$△ ADB$与$△ CBD$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查平行四边形性质的应用，掌握平行四边形边、角、对角线的相关特征是解题的关键，通过本题可以理解全等与面积相等的关系，学会灵活运用等底同高的规律判断三角形面积相等。
【难度系数】
0.8
例1 如图，在$□ ABCD$中，$AD=10$，对角线AC与BD相交于点O，$AC+BD=22$，则$△ BOC$的周长为多少？
[点拨] 根据平行四边形对角线互相平分，求出$OC+OB$的长，即可解决问题。
[解] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD$，
$AD=BC=10$，
∵$AC+BD=22$，
∴$OC+BO=11$，
∴$△ BOC$的周长$=OC+OB+BC=11+10=21$。
[点拨] 根据平行四边形对角线互相平分，求出$OC+OB$的长，即可解决问题。
[解] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD$，
$AD=BC=10$，
∵$AC+BD=22$，
∴$OC+BO=11$，
∴$△ BOC$的周长$=OC+OB+BC=11+10=21$。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD$，$AD=BC=10$，
∵ $AC+BD=22$，
∴ $OC+BO=\frac{1}{2}(AC+BD)=11$，
∴ $△BOC$的周长$=OC+OB+BC=11+10=21$。
答：△BOC的周长为21。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD$，$AD=BC=10$，
∵ $AC+BD=22$，
∴ $OC+BO=\frac{1}{2}(AC+BD)=11$，
∴ $△BOC$的周长$=OC+OB+BC=11+10=21$。
答：△BOC的周长为21。
解析
【分析】
要求$△ BOC$的周长，首先明确其周长为$OB+OC+BC$，结合平行四边形的性质逐步推导：首先平行四边形对边相等，已知$AD=10$，可得$BC=AD=10$；其次平行四边形对角线互相平分，因此$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，结合已知$AC+BD=22$，可求出$OB+OC$的和，最后将$OB+OC$的和与$BC$相加即可得到$△ BOC$的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD$，$AD=BC=10$，
∵ $AC+BD=22$，
∴ $OC+BO=\frac{1}{2}(AC+BD)=11$，
∴ $△ BOC$的周长$=OC+OB+BC=11+10=21$。
【答案】
21
【知识点】
平行四边形对边相等；平行四边形对角线互相平分；三角形周长计算
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题型，解题核心是熟练运用平行四边形的性质，将已知的对角线总长、对边长转化为所求三角形的对应边长，解题逻辑清晰，是巩固基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
要求$△ BOC$的周长，首先明确其周长为$OB+OC+BC$，结合平行四边形的性质逐步推导：首先平行四边形对边相等，已知$AD=10$，可得$BC=AD=10$；其次平行四边形对角线互相平分，因此$OB=\frac{1}{2}BD$，$OC=\frac{1}{2}AC$，结合已知$AC+BD=22$，可求出$OB+OC$的和，最后将$OB+OC$的和与$BC$相加即可得到$△ BOC$的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$BO=OD=\frac{1}{2}BD$，$AD=BC=10$，
∵ $AC+BD=22$，
∴ $OC+BO=\frac{1}{2}(AC+BD)=11$，
∴ $△ BOC$的周长$=OC+OB+BC=11+10=21$。
【答案】
21
【知识点】
平行四边形对边相等；平行四边形对角线互相平分；三角形周长计算
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础应用题型，解题核心是熟练运用平行四边形的性质，将已知的对角线总长、对边长转化为所求三角形的对应边长，解题逻辑清晰，是巩固基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
