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7. 如图，在$□ ABCD$中，$DE ⊥ AB$，$BF ⊥ CD$，垂足分别为$E,F$。求证：$BE=DF$。
答案
7.证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore CD// AB$，
$\therefore ∠ CDE+∠ DEB=180°$。
$\because DE⊥ AB,BF⊥ CD$，
$\therefore ∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ DEB=∠ BFD=90°$，
则四边形 $BFDE$ 为矩形，
$\therefore BE=DF$。
$\therefore CD// AB$，
$\therefore ∠ CDE+∠ DEB=180°$。
$\because DE⊥ AB,BF⊥ CD$，
$\therefore ∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ DEB=∠ BFD=90°$，
则四边形 $BFDE$ 为矩形，
$\therefore BE=DF$。
解析
【分析】
要证明BE=DF，可先分析两条线段所在的四边形DEBF的特征。首先根据平行四边形对边平行的性质得到AB//CD，再结合已知的DE⊥AB、BF⊥CD的垂直条件，可推导出四边形DEBF的三个内角都是直角，由此判定四边形DEBF是矩形，最后根据矩形对边相等的性质即可得出BE=DF的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ CD//AB，
∴ ∠CDE+∠DEB=180°。
∵ DE⊥AB，BF⊥CD，
∴ ∠DEB=90°，∠BFD=90°，
∴ ∠CDE=180°-∠DEB=90°，
∴ ∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
则四边形BFDE为矩形，
∴ BE=DF。
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore CD// AB$，
$\therefore ∠ CDE+∠ DEB=180°$。
$\because DE⊥ AB,BF⊥ CD$，
$\therefore ∠ DEB=90°,∠BFD=90°$，
$\therefore ∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ DEB=∠ BFD=90°$，
则四边形 $BFDE$ 为矩形，
$\therefore BE=DF$。
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定、矩形的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心是结合平行四边形的性质与垂直条件判定出矩形，解题时需熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质，理清线段、角之间的逻辑关系即可顺利求证。
【难度系数】
0.8
要证明BE=DF，可先分析两条线段所在的四边形DEBF的特征。首先根据平行四边形对边平行的性质得到AB//CD，再结合已知的DE⊥AB、BF⊥CD的垂直条件，可推导出四边形DEBF的三个内角都是直角，由此判定四边形DEBF是矩形，最后根据矩形对边相等的性质即可得出BE=DF的结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ CD//AB，
∴ ∠CDE+∠DEB=180°。
∵ DE⊥AB，BF⊥CD，
∴ ∠DEB=90°，∠BFD=90°，
∴ ∠CDE=180°-∠DEB=90°，
∴ ∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
则四边形BFDE为矩形，
∴ BE=DF。
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore CD// AB$，
$\therefore ∠ CDE+∠ DEB=180°$。
$\because DE⊥ AB,BF⊥ CD$，
$\therefore ∠ DEB=90°,∠BFD=90°$，
$\therefore ∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ DEB=∠ BFD=90°$，
则四边形 $BFDE$ 为矩形，
$\therefore BE=DF$。
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定、矩形的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心是结合平行四边形的性质与垂直条件判定出矩形，解题时需熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质，理清线段、角之间的逻辑关系即可顺利求证。
【难度系数】
0.8
8.如图，平行四边形ABCD中，AP，BP分别平分∠DAB和∠CBA，交于DC边上点P，AD=5。
(1)求线段AB的长；
(2)若BP=6，求△ABP的周长。
(1)求线段AB的长；
(2)若BP=6，求△ABP的周长。
答案
8.解:(1)$\because AP$ 平分$∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAP=∠ PAB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ PAB=∠ DPA$，
$\therefore ∠ DAP=∠ DPA$，
$\therefore △ ADP$ 是等腰三角形，
$\therefore AD=DP=5$。
同理:$PC=CB=5$，
即 $AB=DC=DP+PC=10$。
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// CB,AB// CD$，
$\therefore ∠ DAB+∠ CBA=180°$。
又$\because AP$ 和 $BP$ 分别平分$∠ DAB$ 和$∠ CBA$，
$\therefore ∠ PAB+∠ PBA=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ CBA)=90°$，
在$△ APB$ 中,$∠ APB=180°-(∠ PAB+∠ PBA)=90°$；
在 $\mathrm{Rt}△ APB$ 中,$AB=10,BP=6$，
$\therefore AP=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore △ APB$ 的周长$=6+8+10=24$。
$\therefore ∠ DAP=∠ PAB$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ PAB=∠ DPA$，
$\therefore ∠ DAP=∠ DPA$，
$\therefore △ ADP$ 是等腰三角形，
$\therefore AD=DP=5$。
同理:$PC=CB=5$，
即 $AB=DC=DP+PC=10$。
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// CB,AB// CD$，
$\therefore ∠ DAB+∠ CBA=180°$。
又$\because AP$ 和 $BP$ 分别平分$∠ DAB$ 和$∠ CBA$，
$\therefore ∠ PAB+∠ PBA=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ CBA)=90°$，
在$△ APB$ 中,$∠ APB=180°-(∠ PAB+∠ PBA)=90°$；
在 $\mathrm{Rt}△ APB$ 中,$AB=10,BP=6$，
$\therefore AP=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore △ APB$ 的周长$=6+8+10=24$。
解析
【分析】
对于(1)，先结合平行四边形对边平行且相等的性质，联系角平分线的定义，可推出角的等量关系，进而得到等腰三角形，推导出DC边的长度，即可得到AB的长；对于(2)，先利用平行四边形邻角互补的性质，结合角平分线的定义推导得到△APB为直角三角形，再用勾股定理计算AP的长度，最后求和得到周长。
【解析】
(1) $\because AP$ 平分$∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAP=∠ PAB$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AD=BC=5$，$AB=DC$，
$\therefore ∠ PAB=∠ DPA$，
$\therefore ∠ DAP=∠ DPA$，
$\therefore △ ADP$ 是等腰三角形，
$\therefore AD=DP=5$。
同理可得$PC=CB=5$，
$\therefore AB=DC=DP+PC=5+5=10$。
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// CB$，
$\therefore ∠ DAB+∠ CBA=180°$。
又$\because AP$ 和 $BP$ 分别平分$∠ DAB$ 和$∠ CBA$，
$\therefore ∠PAB=\frac{1}{2}∠DAB$，$∠PBA=\frac{1}{2}∠CBA$，
$\therefore ∠ PAB+∠ PBA=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ CBA)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ APB$ 中,$∠ APB=180°-(∠ PAB+∠ PBA)=90°$，即$△ APB$是直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ APB$ 中,$AB=10,BP=6$，
由勾股定理得$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore △ APB$ 的周长$=AP+BP+AB=8+6+10=24$。
【答案】
(1) $AB=10$；(2) $△ ABP$的周长为$24$。
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是掌握“平行线+角平分线可推出等腰三角形”这一常用推导结论，同时结合平行四边形的性质判断直角三角形，再用勾股定理计算边长，对基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
对于(1)，先结合平行四边形对边平行且相等的性质，联系角平分线的定义，可推出角的等量关系，进而得到等腰三角形，推导出DC边的长度，即可得到AB的长；对于(2)，先利用平行四边形邻角互补的性质，结合角平分线的定义推导得到△APB为直角三角形，再用勾股定理计算AP的长度，最后求和得到周长。
【解析】
(1) $\because AP$ 平分$∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAP=∠ PAB$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AD=BC=5$，$AB=DC$，
$\therefore ∠ PAB=∠ DPA$，
$\therefore ∠ DAP=∠ DPA$，
$\therefore △ ADP$ 是等腰三角形，
$\therefore AD=DP=5$。
同理可得$PC=CB=5$，
$\therefore AB=DC=DP+PC=5+5=10$。
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// CB$，
$\therefore ∠ DAB+∠ CBA=180°$。
又$\because AP$ 和 $BP$ 分别平分$∠ DAB$ 和$∠ CBA$，
$\therefore ∠PAB=\frac{1}{2}∠DAB$，$∠PBA=\frac{1}{2}∠CBA$，
$\therefore ∠ PAB+∠ PBA=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ CBA)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ APB$ 中,$∠ APB=180°-(∠ PAB+∠ PBA)=90°$，即$△ APB$是直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ APB$ 中,$AB=10,BP=6$，
由勾股定理得$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore △ APB$ 的周长$=AP+BP+AB=8+6+10=24$。
【答案】
(1) $AB=10$；(2) $△ ABP$的周长为$24$。
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是掌握“平行线+角平分线可推出等腰三角形”这一常用推导结论，同时结合平行四边形的性质判断直角三角形，再用勾股定理计算边长，对基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
9.如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,AB=16。
(1)求AD的长；
(2)若∠CBE=36°,求∠ADC的度数。
(1)求AD的长；
(2)若∠CBE=36°,求∠ADC的度数。
答案
9.解:(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB=DC=16,DC// AB$，
$\therefore ∠ DEA=∠ EAB$。
$\because AE$ 平分$∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAE=∠ EAB$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DEA$，
$\therefore AD=DE=CD-CE=16-6=10$。
(2)$\because CE=6,BE=8,BC=10$，
$\therefore CE^2+BE^2=6^2+8^2=100=BC^2$，
$\therefore △ BCE$ 是直角三角形,且$∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ C=90°-∠ CBE=90°-36°=54°$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ D=180°-∠ C=180°-54°=126°$。
$\therefore AB=DC=16,DC// AB$，
$\therefore ∠ DEA=∠ EAB$。
$\because AE$ 平分$∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAE=∠ EAB$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DEA$，
$\therefore AD=DE=CD-CE=16-6=10$。
(2)$\because CE=6,BE=8,BC=10$，
$\therefore CE^2+BE^2=6^2+8^2=100=BC^2$，
$\therefore △ BCE$ 是直角三角形,且$∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ C=90°-∠ CBE=90°-36°=54°$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ D=180°-∠ C=180°-54°=126°$。
解析
【分析】
(1)求AD的长时，先结合平行四边形的性质，得到DC与AB相等、DC平行于AB，结合角平分线的定义，可推出∠DAE=∠DEA，得到△ADE为等腰三角形，即AD=DE，再通过DE=DC-CE代入数值计算即可。
(2)求∠ADC的度数时，先由平行四边形对边相等得到BC=AD，结合CE、BE的长度，用勾股定理逆定理判断△BCE是直角三角形，求出∠C的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质即可求出∠ADC。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC=16，DC//AB，
∴ ∠DEA=∠EAB。
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE=∠EAB，
∴ ∠DAE=∠DEA，
∴ AD=DE=CD-CE=16-6=10。
(2)
∵ CE=6，BE=8，BC=AD=10，
∴ CE²+BE²=6²+8²=100=BC²，
∴ △BCE是直角三角形，且∠BEC=90°，
∴ ∠C=90°-∠CBE=90°-36°=54°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD//BC，
∴ ∠ADC=180°-∠C=180°-54°=126°。
【答案】
(1)AD的长为10；(2)∠ADC的度数为126°
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题时需要将平行四边形的性质、等腰三角形判定、勾股定理逆定理结合使用，第一问中“平行线+角平分线得等腰三角形”是几何题的常见模型，第二问通过边长关系判断直角三角形是解题的突破口，整体考查学生对基础几何定理的应用能力和数形结合能力。
【难度系数】
0.7
(1)求AD的长时，先结合平行四边形的性质，得到DC与AB相等、DC平行于AB，结合角平分线的定义，可推出∠DAE=∠DEA，得到△ADE为等腰三角形，即AD=DE，再通过DE=DC-CE代入数值计算即可。
(2)求∠ADC的度数时，先由平行四边形对边相等得到BC=AD，结合CE、BE的长度，用勾股定理逆定理判断△BCE是直角三角形，求出∠C的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质即可求出∠ADC。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC=16，DC//AB，
∴ ∠DEA=∠EAB。
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE=∠EAB，
∴ ∠DAE=∠DEA，
∴ AD=DE=CD-CE=16-6=10。
(2)
∵ CE=6，BE=8，BC=AD=10，
∴ CE²+BE²=6²+8²=100=BC²，
∴ △BCE是直角三角形，且∠BEC=90°，
∴ ∠C=90°-∠CBE=90°-36°=54°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD//BC，
∴ ∠ADC=180°-∠C=180°-54°=126°。
【答案】
(1)AD的长为10；(2)∠ADC的度数为126°
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题时需要将平行四边形的性质、等腰三角形判定、勾股定理逆定理结合使用，第一问中“平行线+角平分线得等腰三角形”是几何题的常见模型，第二问通过边长关系判断直角三角形是解题的突破口，整体考查学生对基础几何定理的应用能力和数形结合能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，已知$□ ABCD$中，AE平分$∠ BAD$交DC于E，$DF⊥ BC$于F，交AE于G，且$AD=DF$。过点D作AB的垂线，分别交AE，AB于点M，N。
(1)若M为AG中点，且$DM=2$，求DE的长；
(2)求证：$AB=CF+DM$。
(1)若M为AG中点，且$DM=2$，求DE的长；
(2)求证：$AB=CF+DM$。
答案
10.(1)解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AB// CD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DEA$。
$\because AE$ 平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DEA$，
$\therefore DE=AD$。
$\because DF⊥ BC$，
$\therefore DF⊥ AD$。
$\because M$ 为 $AG$ 中点，
$\therefore AG=2DM=4$。
$\because DN⊥ CD$，
$\therefore ∠ ADM+∠ MDG=∠ MDG+∠ EDG$，
$\therefore ∠ ADM=∠ EDG$，
$\therefore ∠ DAE+∠ ADM=∠ DEA+∠ EDG$，
即$∠ DMG=∠ DGM$，
$\therefore DG=DM=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADG$ 中,$DE=AD=\sqrt{AG^2-DG^2}=2\sqrt{3}$。
(2)证法一:过点 $A$ 作 $AD$ 的垂线交 $DN$ 的延长线于点 $H$，
在$△ ADH$ 和$△ FDC$ 中，
$\begin{cases} ∠ ADH=∠ FDC,\\ AD=FD,\\ ∠ DAH=∠ DFC=90°, \end{cases}$
$\therefore △ DAH≌△ DFC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AH=FC,DH=DC$。
$\because DF⊥ AD$，
$\therefore AH// DF$，
$\therefore ∠ HAM=∠ DGM$。
$\because ∠ AMH=∠ DMG,∠ DMG=∠ DGM$，
$\therefore ∠ HAM=∠ HMA$，
$\therefore AH=MH$，
$\therefore MH=CF$，
$\therefore AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM$。
证法二:延长 $MD$ 到点 $P$,使 $DP=CF$,连接 $PE$。
由(1)知 $AD=DE$，
又 $AD=DF$，
$\therefore DF=DE$，
$∠ DFC=∠ EDP=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCF≌\mathrm{Rt}△ EPD$，
$\therefore DC=EP,∠ CDF=∠ PED$，
$\therefore PE// DF$，
$\therefore ∠ PEA=∠ DGA$。
由(1)得$∠ DGA=∠ DME$，
$\therefore ∠ PEA=∠ DME$，
$\therefore PM=PE$，
而 $PM=DM+DP=DM+CF,PE=CD=AB$，
$\therefore AB=DM+FC$。
证法三:过点 $A$ 作 $AH⊥ CB$ 于点 $H$，
易证$△ ABH≌△ DCF$，
从而证得四边形 $AHFD$ 为正方形。
把$△ ADG$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$得$△ AHP,∠ AHP=∠ AHB=90°$，
$\therefore P,H,B$ 三点共线。
$\because AE$ 平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$,而$∠ 2=∠ HAP$，
$\therefore ∠ HAB+∠ 1=∠ HAB+∠ HAP$，
即$∠ HAG=∠ PAB$。
$\because AH// DF$，
$\therefore ∠ HAG=∠ DGA$。
而$∠ DGA=∠ APB$，
$\therefore ∠ PAB=∠ APB$，
$\therefore AB=PB$。
$\because PB=PH+HB=DG+FC$，
$\therefore AB=DM+FC$。
证法四:如图(4)在 $DC$ 上截取 $DP=DM$,连接 $PF$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DEA$，
而$∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DEA⇒ DA=DE$。
又$∠ ADF=∠ MDE=90°$，
$\therefore ∠ ADM=∠ EDG$，
$\therefore △ ADM≌△ EDG$，
$\therefore DM=DG$，
$\therefore DG=DP$。
又 $AD=DF$，
$\therefore DF=DE$,而$∠ PDF=∠ FDP$，
$\therefore △ PDF≌△ GDE$，
$\therefore ∠ DPF=∠ DGE,∠ DFP=∠ DEG$，
$\therefore ∠ CPF=∠ DGM$。
$\because ∠ DFP+∠ CFP=∠ DEG+∠ DMG=90°$，
$\therefore ∠ CFP=∠ DMG$，
而$∠ DMG=∠ DGM$，
$\therefore ∠ CFP=∠ CPF⇒ CF=CP$，
而 $CD=DP+CP=DM+CF,AB=CD$，
$\therefore AB=DM+CF$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先结合平行四边形对边平行的性质和角平分线定义，推导得到∠DAE=∠DEA，从而得出DE=AD，将求DE的长度转化为求AD的长度；再由DF⊥BC推出DF⊥AD，得到△ADG为直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出AG的长；接着通过角的和差关系推导等角，得到DG=DM；最后在Rt△ADG中利用勾股定理计算AD的长度，即为DE的长。
(2) 解题思路：要证明AB=CF+DM，根据平行四边形对边相等可知AB=CD，因此只需证明CD=CF+DM。可通过构造全等三角形的方法转化线段：利用已知AD=DF的条件，构造与△DFC全等的三角形，将CF转化为与之相等的线段，再结合角的等量代换证明线段相等，最终将CD拆分为两条线段的和，对应DM和CF完成证明，也可通过截长补短、旋转等构造方法完成推导。
【解析】
(1) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AB// CD$，
$\therefore ∠BAE=∠DEA$。
∵ $AE$ 平分$∠BAD$，
$\therefore ∠DAE=∠BAE$，
$\therefore ∠DAE=∠DEA$，
$\therefore DE=AD$。
∵ $DF⊥BC$，$AD// BC$，
$\therefore DF⊥AD$，即$∠ADG=90°$。
∵ $M$ 为 $AG$ 中点，
$\therefore AG=2DM=2×2=4$。
∵ $DN⊥AB$，$AB// CD$，
$\therefore DN⊥CD$，
$\therefore ∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG=90°$，
$\therefore ∠ADM=∠EDG$，
$\therefore ∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG$，
由三角形外角性质可得$∠DMG=∠DGM$，
$\therefore DG=DM=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ADG$ 中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AG^2-DG^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore DE=AD=2\sqrt{3}$。
(2) 证明（证法一）：
过点 $A$ 作 $AD$ 的垂线交 $DN$ 的延长线于点 $H$，
在$△ADH$和$△FDC$ 中，
$\begin{cases} ∠ADH=∠FDC,\\ AD=FD,\\ ∠DAH=∠DFC=90°, \end{cases}$
$\therefore △DAH≌△DFC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AH=FC,DH=DC$。
∵ $DF⊥AD$，$AH⊥AD$，
$\therefore AH// DF$，
$\therefore ∠HAM=∠DGM$。
∵ $∠AMH=∠DMG$，且由(1)可知$∠DMG=∠DGM$，
$\therefore ∠HAM=∠HMA$，
$\therefore AH=MH$，
$\therefore MH=CF$。
∵ 平行四边形$ABCD$中$AB=CD$，
$\therefore AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM$，
即$AB=CF+DM$。
（其余证法合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{3}}$；
(2) 证明成立，辅助线参考：
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行四边形、直角三角形、全等三角形的相关知识，对逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求，解题的关键是合理转化线段关系，将线段和的证明问题转化为全等三角形对应边相等的问题求解。
【难度系数】
0.4
(1) 解题思路：首先结合平行四边形对边平行的性质和角平分线定义，推导得到∠DAE=∠DEA，从而得出DE=AD，将求DE的长度转化为求AD的长度；再由DF⊥BC推出DF⊥AD，得到△ADG为直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出AG的长；接着通过角的和差关系推导等角，得到DG=DM；最后在Rt△ADG中利用勾股定理计算AD的长度，即为DE的长。
(2) 解题思路：要证明AB=CF+DM，根据平行四边形对边相等可知AB=CD，因此只需证明CD=CF+DM。可通过构造全等三角形的方法转化线段：利用已知AD=DF的条件，构造与△DFC全等的三角形，将CF转化为与之相等的线段，再结合角的等量代换证明线段相等，最终将CD拆分为两条线段的和，对应DM和CF完成证明，也可通过截长补短、旋转等构造方法完成推导。
【解析】
(1) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC,AB// CD$，
$\therefore ∠BAE=∠DEA$。
∵ $AE$ 平分$∠BAD$，
$\therefore ∠DAE=∠BAE$，
$\therefore ∠DAE=∠DEA$，
$\therefore DE=AD$。
∵ $DF⊥BC$，$AD// BC$，
$\therefore DF⊥AD$，即$∠ADG=90°$。
∵ $M$ 为 $AG$ 中点，
$\therefore AG=2DM=2×2=4$。
∵ $DN⊥AB$，$AB// CD$，
$\therefore DN⊥CD$，
$\therefore ∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG=90°$，
$\therefore ∠ADM=∠EDG$，
$\therefore ∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG$，
由三角形外角性质可得$∠DMG=∠DGM$，
$\therefore DG=DM=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ADG$ 中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AG^2-DG^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
$\therefore DE=AD=2\sqrt{3}$。
(2) 证明（证法一）：
过点 $A$ 作 $AD$ 的垂线交 $DN$ 的延长线于点 $H$，
在$△ADH$和$△FDC$ 中，
$\begin{cases} ∠ADH=∠FDC,\\ AD=FD,\\ ∠DAH=∠DFC=90°, \end{cases}$
$\therefore △DAH≌△DFC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AH=FC,DH=DC$。
∵ $DF⊥AD$，$AH⊥AD$，
$\therefore AH// DF$，
$\therefore ∠HAM=∠DGM$。
∵ $∠AMH=∠DMG$，且由(1)可知$∠DMG=∠DGM$，
$\therefore ∠HAM=∠HMA$，
$\therefore AH=MH$，
$\therefore MH=CF$。
∵ 平行四边形$ABCD$中$AB=CD$，
$\therefore AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM$，
即$AB=CF+DM$。
（其余证法合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{3}}$；
(2) 证明成立，辅助线参考：
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行四边形、直角三角形、全等三角形的相关知识，对逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求，解题的关键是合理转化线段关系，将线段和的证明问题转化为全等三角形对应边相等的问题求解。
【难度系数】
0.4
